Kubická funkce

V matematice je kubická funkce funkcí formy

{\ displaystyle f (x) = sekera ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}

kde $a$ je nenulová.

Rovnice $f ( x ) = 0$ je pak kubické rovnice .

Řešení tohoto polynomu rovnice se nazývají nuly z polynomické funkce $f$ .

Kritické body

Považujeme zde kubickou funkci $f$ definovanou $f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d,$ jejíž koeficienty i proměnná $x$ jsou skutečné.

Tyto kritické body z $F$ jsou úsečky z bodů v grafu , kde je sklon k tangenty je nula, to jest $x$ , ve kterém derivát z $f$ mizí:

{\ displaystyle 3ax ^ {2} + 2bx + c = 0}

Řešení této rovnice jsou dána pomocí kvadratického vzorce se sníženým rozlišujícím :

{\ displaystyle x _ {\ text {kritika}} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {\ Delta _ {0}}}} {3a}}}

{\ displaystyle \ Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}

Znak z $delta 0$ určuje počet kritických místech a lokální extrémy o $f$ :

pokud $Δ 0 > 0$ - jako na následujícím obrázku - pak $f$ má lokální maximum a lokální minimum;
jestliže $Δ 0 = 0$ , pak je inflexní bod (viz níže) jediným kritickým bodem;
pokud $Δ 0 <0$ , pak $f$ nemá kritický bod.

V případech, kdy $Δ 0 \leq 0$ , $f$ je přísně monotónní, proto nemá lokální extremum.

Hodnota $Δ 0$ také hraje důležitou roli při určování povahy a hodnot kořenů kubické rovnice .

Inflexní bod a symetrie

Křivka obecné kubické funkce,

{\ displaystyle f (x) = sekera ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}

má vždy inflexní bod , tj. bod, kde křivka mění konkávnost .

Vzhledem k tomu, druhá derivace z $f je$ vyjádřena $f '' ( x ) = 6 ax + 2 b$ , x-ová osa tohoto bodu je

{\ displaystyle x_ {0}: = - {\ frac {b} {3a}}}

hodnota, která je také důležitá při řešení kubické rovnice.

Koordinovat je

{\ displaystyle y_ {0}: = f (x_ {0}) =}

2 b 3 / 27 až 2 - před naším letopočtem / 3 a + d

Křivka je kolem tohoto bodu symetrická .

Demonstrace

Integrací dvakrát , dostaneme pak , což je lichá o $h$ . ${\ displaystyle f '' (x_ {0} + h) = 6ah}$ ${\ displaystyle f '(x_ {0} + h) = 3ah ^ {2} + f' (x_ {0})}$ ${\ displaystyle f (x_ {0} + h) -y_ {0} = ah ^ {3} + hf '(x_ {0})}$

Aplikace

Kubické funkce se objevují v různých kontextech.

V Marden teorém ukazuje, že ohniska ze Steiner inellipse trojúhelníku lze nalézt pomocí kubické funkce, jejíž kořeny jsou souřadnice v letadle komplexu tři vrcholy trojúhelníku. Kořeny první derivace této krychle jsou komplexní souřadnice těchto ohnisek.

Charakteristický polynom na 3 x 3 matice je stupeň 3.

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku anglické Wikipedie s názvem „ Kubická funkce “ ( viz seznam autorů ) .

(in) Michael de Villiers, „ Všechny kubické polynomy jsou symetrické body “ , Learning & Teaching Mathematics , sv. 1,2004, str. 12–15 ( číst online ).

Podívejte se také