Kelvin-Besselova funkce

Vybaven Kelvin-Besselovy jsou matematické funkce získané z Besselových funkcí , přičemž jako argument pro druhé na druhé odmocniny jednoho čísla imaginární čisté.
Používají se v elektromagnetismu ke studiu řešení Maxwellových rovnic ve vodivých polích válcového tvaru.

Definice

Definujeme dvě rodiny Kelvin-Besselových funkcí. První rodina má dvě funkce a řád související s Besselovými funkcemi prvního druhu: ${\ displaystyle \ mathrm {ber} _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {bei} _ {\ nu}}$ $\nahý$

{\ displaystyle J _ {\ nu} (e ^ {i \, 3 \, \ pi / 4} \, x) = \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) + i \, \ operatorname {bei } _ {\ nu} (x)}

Dalším způsobem, jak definovat tyto funkce, je zapsat je jako sérii :

{\ displaystyle \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) = \ součet _ {p = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos \ pi \, ({\ frac {3 \, \ nu } {4}} + {\ frac {p} {2}})}} {p! \, \ Gamma (\ nu + p + 1)}} \ vlevo ({\ frac {x} {2}} \ vpravo ) ^ {2p + \ nu}}

{\ displaystyle \ operatorname {bei} _ {\ nu} (x) = \ součet _ {p = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ pi \, ({\ frac {3 \, \ nu } {4}} + {\ frac {p} {2}})}} {p! \, \ Gamma (\ nu + p + 1)}} \ vlevo ({\ frac {x} {2}} \ vpravo ) ^ {2p + \ nu}}

Druhá rodina zahrnuje dvě další funkce a pořadí související s upravenými Besselovými funkcemi druhého druhu: ${\ displaystyle \ mathrm {ker} _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {kei} _ {\ nu}}$ $\nahý$

{\ displaystyle e ^ {- i \, \ pi \, \ nu / 2} \, K _ {\ nu} (e ^ {i \, \ pi / 4} \, x) = \ operatorname {ker} _ {\ nu} (x) + i \, \ operatorname {kei} _ {\ nu} (x)}

Některé vlastnosti

Grafické znázornění

Kelvin-Besselovy funkce řádu , jednodušeji poznamenané, a jsou na následujícím obrázku znázorněny pro malé hodnoty : ${\ displaystyle \ nu = 0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {ber} (x)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {bei} (x)}$ $X$

Přidružená diferenciální rovnice

Funkce a řešení následujících speciálních Besselových rovnic: ${\ displaystyle \ mathrm {ber} _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {bei} _ {\ nu}}$

{\ displaystyle x ^ {2} \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} + x \, {\ frac {\ mathrm {d } y} {\ mathrm {d} x}} - (i \, x ^ {2} + \ nu ^ {2}) \, y = 0}

jehož obecné řešení je napsáno

{\ displaystyle y (x) = \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) + i \, \ operatorname {bei} _ {\ nu} (x)}

Primitivní

{\ displaystyle \ int \ operatorname {ber} _ {\ nu} (x) \, x ^ {1+ \ nu} \, \ mathrm {d} x = - {\ frac {x ^ {1+ \ nu} } {\ sqrt {2}}} \, (\ operatorname {ber} _ {\ nu +1} (x) - \ operatorname {bei} _ {\ nu +1} (x))}

{\ displaystyle \ int \ operatorname {bei} _ {\ nu} (x) \, x ^ {1+ \ nu} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {x ^ {1+ \ nu}} {\ sqrt {2}}} \, (\ operatorname {ber} _ {\ nu +1} (x) - \ operatorname {bei} _ {\ nu +1} (x))}

Reference

A. Angot, matematické doplňky pro použití inženýrů elektrotechniky a telekomunikací , 6 -té vydání, Masson, Paříž, 1972.