Distribuční funkce

Distribuční funkce je zobecněné funkce , která popisuje, v čase t , ve fázovém prostoru , distribuce částic daného druhu do média ( plynu , plazmy nebo paprsek nabitých částic ). ${\ displaystyle f ({\ vec {r}}, {\ vec {p}}, t)}$ ${\ displaystyle ({\ vec {r}}, {\ vec {p}})}$

N- funkce distribuce těla

Pokud médium obsahuje N částic, lze ho obecně popsat zoologií N distribučních funkcí s n těly ( ): ${\ displaystyle n \ in \ {1, N \}}$

{\ displaystyle f ({\ vec {r}} _ {i \ in \ {1, n \}}, {\ vec {p}} _ {i \ in \ {1, n \}}, t)}

Každá, funkce 6 × n +1 proměnných, umožňuje vypočítat interakce (nebo kolize) s n těly v médiu.

Funkce dávkování 1 barel

Obecně se omezujeme na studium distribuční funkce 1 těla , funkce 6 + 1 proměnných.

{\ displaystyle f ({\ vec {r}}, {\ vec {p}}, t)}

Počet částic v malém hyperobjemovém prvku v čase t je dán vztahem: ${\ displaystyle (\ mathrm {d} {\ vec {r}}, \ mathrm {d} {\ vec {p}})}$ ${\ displaystyle ({\ vec {r}}, {\ vec {p}})}$

{\ displaystyle f ({\ vec {r}}, {\ vec {p}}, t) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {p} }}

Bereme na vědomí, že:

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f ({\ vec {r}}, {\ vec {p}}, t) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {p}} = N}

Abychom popsali realitu, měla by tato distribuční funkce informovat jednotlivé polohy N částic a měla by být napsána:

{\ displaystyle f ({\ vec {r}}, {\ vec {p}}, t) = \ součet _ {i = 1} ^ {N} \ delta ({\ vec {r}} - {\ vec {r}} _ {0i} (t)) \ cdot \ delta ({\ vec {p}} - {\ vec {p}} _ {0i} (t))}

Časový vývoj distribuční funkce je pak dán Vlassovovou rovnicí .

Zájem o takové psaní je bohužel nízký, protože:

Sledování jeho vývoje vyžaduje transport všech částic;
Počáteční podmínky všech částic nejsou nikdy známy.

Za těchto podmínek se obecně používá spojitá verze distribuční funkce.

Všimněte si, že v tomto případě počet částic na malý hyperobjemový prvek obecně není celé číslo. Je pak logické, že v úvahu distribuční funkce jako hustota pravděpodobnosti vynásobí N .

Počet částic na malý hyperobjemový prvek se bude řídit Poissonovým zákonem, jehož očekávání je dáno: ${\ displaystyle (\ mathrm {d} {\ vec {r}}, \ mathrm {d} {\ vec {p}})}$

{\ displaystyle f ({\ vec {r}}, {\ vec {p}}, t) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {p} }}

Během numerického rozlišení, pokud je počet částic v médiu velmi velký (pokud existuje velký počet částic na hyperobjemový prvek fázového prostoru), nebo pokud je časový krok příliš velký, aby dokonale popsal krátké interakce mezi částicemi (často nazývanými „srážky“) je časový vývoj distribuční funkce dán jako funkce důležitosti vlivu srážek pomocí Vlassovovy rovnice , Fokker-Planckovy rovnice nebo Boltzmannovy rovnice .

Reference

Christian a Hélène Ngô, Statistická fyzika - úvod , Sciences sup, Dunod (str. 251).