Distribuce (matematika)
V matematické analýze je distribuce (nazývaná také zobecněná funkce ) objektem, který zobecňuje pojem funkce a míry . Teorie distribucí rozšiřuje pojem derivát ke všem funkcím lokálně integrovatelných i mimo ni, a používá se formulovat řešení určitých parciálních diferenciálních rovnic . Jsou důležité ve fyzice a inženýrství kde mnoho nespojitých problémů přirozeně vede k diferenciálním rovnicím, jejichž řešením jsou spíše distribuce než běžné funkce.
Teorie distribucí byl formován francouzský matematik Laurent Schwartz a vyhrál ho Fields Medal v roce 1950 . Jeho úvod využívá pojmy lineární algebry a topologie soustředěné kolem myšlenky duality . Původ této teorie je třeba hledat v symbolickém počtu Heaviside (1894) a Poincaré (1912) a v úvodu fyziků k „Diracově funkci“ (1926). Cílem pak bylo zobecnit pojem funkce, dát správný matematický smysl, kterým tyto objekty manipulují fyzici, přičemž se zachovala další možnost provádět operace, jako jsou větve , konvoluce , Fourierovy transformace nebo Laplaceova . Jacques Hadamard , Salomon Bochner a Sergueï Sobolev byli po sobě jdoucími řemeslníky této práce, jejíž poslední část je zásluhou Laurenta Schwartze. Toto zobecnění pojmu funkce bylo sledováno různými směry a zejména vedlo k pojmu hyperfunkce způsobené Mikioem Sato . Další cesta vedla k distribucím Colombeau (en) , které sám Laurent Schwartz oslavoval jako objev dobrého funkčního hlediska distribucí . Zejména na rozdíl od toho, co se stane s Schwartzovými distribucemi, je multiplikace konečně plně definována v Colombeauových distribucích.
Diracovu distribuci je zajímavý příklad distribuce, protože to není funkce , ale mohou být reprezentovány neformálně degenerované funkci, která by byla nulová nad všemi svém oboru definice kromě 0 ° C a jehož integrální by 1. Ve skutečnosti, zcela striktně je to limit ve smyslu distribuce řady funkcí s integrálem 1 a rovnoměrně konvergujících k 0 na libovolném kompaktu neobsahujícím 0. Takový matematický objekt je užitečný ve fyzice nebo při zpracování signálu , ale žádná běžná funkce nemá tyto vlastnosti.
Základní myšlenky
Funkci obvykle vyhodnocujeme výpočtem její hodnoty v bodě. Tato metoda však hraje významnou roli při nesrovnalostech (například diskontinuitách) funkce. Myšlenka teorie distribucí spočívá v tom, že existuje lepší metoda hodnocení: vypočítat průměr hodnot funkce ve stále více zúžené doméně kolem bodu studia. Zvažováním vážených průměrů jsme proto vedeni k prozkoumání výrazů formuláře
If(φ)=∫Rf(x)φ(x)dx{\displaystyle I_{f}(\varphi )=\int _{\mathbb {R} }f(x)\varphi (x)\,\mathrm {d} x}, ve kterém je funkce, které mají být hodnoceny je lokálně integrovatelná funkce a je funkce s názvem „test funkce“, do nekonečna diferencovatelná a identicky nulový mimo omezené množiny .
f:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }φ:R→R{\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
Integrální je reálné číslo , které závisí na lineárním a kontinuálním způsobem na tedy vidíme, že můžeme spojit s integrovatelné funkce na souvislý lineární formu na prostor testovacích funkcí. Dvě místně integrovatelné funkce a dávající stejnou spojitou lineární formu jsou téměř všude stejné . To znamená, že je stejné znát ( kromě zanedbatelné množiny) nebo lineární formu vyhodnocení přidružených testovacích funkcí.
If(φ){\displaystyle I_{f}(\varphi )}φ.{\displaystyle \varphi .}f{\displaystyle f}f{\displaystyle f}g{\displaystyle g}f{\displaystyle f}
Obecněji řečeno, je-li míra Borel na reálných číslech a je testovací funkcí, pak integrál
μ{\displaystyle \mu }φ{\displaystyle \varphi }
Iμ(φ)=∫Rφ(x)dμ(x){\displaystyle I_{\mu }(\varphi )=\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)\,\mathrm {d} \mu (x)}je reálné číslo, které závisí lineárně a spojitě na Měření lze také spojit s spojitými lineárními formami v prostoru testu funkcí. Tento pojem „spojitého lineárního tvaru v prostoru testovacích funkcí“ se proto používá jako definice distribucí.
φ.{\displaystyle \varphi .}
Distribuce lze vynásobit libovolným reálným číslem a sečíst. Sada distribucí tak tvoří skutečný vektorový prostor. Není možné obecně definovat součin dvou distribucí jako zobecnění bodového součinu dvou funkcí, ale rozdělení lze vynásobit funkcemi neurčitě diferencovatelnými.
Oblast testovacích funkcí
Ω je otevřená neprázdná ℝ N . Testovací funkce na? Je funkce Q v ℝ, neomezeně dlouho diferencovatelná a s kompaktním nosičem .
Příklad
Na Ω = ℝ N , funkce
x↦{exp(−11−‖x‖2)si ‖x‖<10sinon{\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}\right)&{\text{si }}\|x\|<1\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}}je
C ∞ a jeho podporou je uzavřená koule B (0, 1) pro použitou normu ║. norme.
Označíme vektorový prostor testovacích funkcí na Ω a poskytneme mu následující topologii : sousedství prvku prostoru jsou - jako v jakékoli topologické skupině - přeložena tímto prvkem sousedství 0 a množina je sousedství funkce null, pokud pro jakoukoli kompaktní K o Ω existuje celé číslo m > 0 takové, že V obsahuje následující množinu:
D(Ω){\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}V⊂D(Ω){\displaystyle V\subset {\mathcal {D}}(\Omega )}
AK,m:={φ∈DK(Ω)|maxα∈NN|α|≤m‖∂αφ‖∞≤1/m},{\displaystyle A_{K,m}:=\left\{\varphi \in {\mathcal {D}}_{K}(\Omega )\left|\max _{\alpha \in \mathbb {N} ^{N} \atop |\alpha |\leq m}\|\partial ^{\alpha }\varphi \|_{\infty }\leq 1/m\right.\right\},}
kde označuje množinu funkcí, jejichž podpora je obsažena v K , a ‖ f ‖ ∞ je normou f ve smyslu jednotné konvergence (pro f spojité s kompaktní podporou je to globální maximum | f |).
DK(Ω){\displaystyle {\mathcal {D}}_{K}(\Omega )}D(Ω){\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}
Jinými slovy, je-li Ω sjednocením rostoucí sekvence kompaktů K n , tvoří se základ sousedství 0 , když prochází ( nespočetnou ) množinou sekvencí s hodnotami v ℕ *.
Vm:=∪n∈NAKn,mn{\displaystyle V_{m}:=\cup _{n\in \mathbb {N} }A_{K_{n},m_{n}}}m=(mn)n∈N{\displaystyle m=(m_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
Tato topologie je vybavena místně konvexním prostorem, který nelze měřit, protože je štíhlý sám o sobě a je postupně úplný (je dokonce kompletní ).
D(Ω){\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}
V konvergenci posloupnosti funkcí k 0 má φ n za následek existenci kompaktního K o Ω, obsahujícího podpory všech φ n z určité pozice, a to tak, že φ n stejně jako všechny jeho deriváty mají tendenci k 0 jednotně na k .
D(Ω),{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega ),}
Distribuce
Definice
Distribuce na je spojitá lineární forma na množině distribucí na je tedy topologické dual to je důvod, proč jsme ho označujíΩ{\displaystyle {\mathcal {\Omega }}} D(Ω).{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega ).}Ω{\displaystyle {\mathcal {\Omega }}}D(Ω),{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega ),}D′(Ω).{\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega ).}
Jednou z přirozených topologií lokálně konvexního prostoru na tomto duálním je slabá * topologie (ta s jednoduchou konvergencí na ).
D(Ω){\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}
Charakterizace
Pro lineární tvar T na spojitosti v 0 stačí k zajištění celkové spojitosti.
D(Ω),{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega ),}
Podle definice topologie , T je kontinuální (v 0 ° C), jestliže a pouze v případě, pro všechny kompaktní K z Q,
D(Ω){\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}
∃NK∈N∃CK∈R∀φ∈DK(Ω)|T(φ)|≤CKmaxα∈NN|α|≤NK‖∂αφ‖∞.{\displaystyle \exists N_{K}\in \mathbb {N} \quad \exists C_{K}\in \mathbb {R} \quad \forall \varphi \in {\mathcal {D}}_{K}(\Omega )\quad |T(\varphi )|\leq C_{K}\max _{\alpha \in \mathbb {N} ^{N} \atop |\alpha |\leq N_{K}}\|\partial ^{\alpha }\varphi \|_{\infty }.}
Navíc, pokud T je spojitý, pak je postupně spojitý (v 0), to znamená, že pro jakoukoli posloupnost funkcíφn∈D(Ω),{\displaystyle \varphi _{n}\in {\mathcal {D}}(\Omega ),}
φn→0⇒T(φn)→0.{\displaystyle \varphi _{n}\to 0\Rightarrow T(\varphi _{n})\to 0.}
Jelikož se však jedná o bornologický prostor , je tato nezbytná podmínka - mnohem lépe zvládnutelná - také dostatečná .
D(Ω){\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}
Hodnocení
If je distribuce a je označena testovací funkce číslaT{\displaystyle T}φ{\displaystyle \varphi }D(Ω),{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega ),}T(φ){\displaystyle T(\varphi )}⟨T,φ⟩.{\displaystyle \langle T,\varphi \rangle .}
Objednávka distribuce
Distribuce T na Ω je považována za řádově menší nebo rovný přirozenému celému číslu p, pokud pro jakýkoli kompaktní K o Ω platí
∃CK∈R∀φ∈DK(Ω)|⟨T,φ⟩|≤CKmaxα∈NN|α|≤p‖∂αφ‖∞,{\displaystyle \exists C_{K}\in \mathbb {R} \quad \forall \varphi \in {\mathcal {D}}_{K}(\Omega )\quad |\langle T,\varphi \rangle |\leq C_{K}\max _{\alpha \in \mathbb {N} ^{N} \atop |\alpha |\leq p}\|\partial ^{\alpha }\varphi \|_{\infty },}
to znamená, že v případě, že N K v charakterizaci kontinuity T vždy možné roven p .
Samozřejmě se říká, že je řádu p, pokud je řádu menšího nebo rovného p, ale ne p - 1, a nekonečného řádu, pokud je řádu menšího nebo rovného jakémukoli celému číslu.
Příklady
Příkladem rozdělení nekonečného řádu na ℝ je
φ↦∑n∈Nφ(n)(n).{\displaystyle \varphi \mapsto \sum _{n\in \mathbb {N} }\varphi ^{(n)}(n).}
K rozdělení pořadí 0, jsou ty, které zasahují do o opatřeních Radon ( podepsán ). Zde je několik příkladů:
- pozitivní distribuce (v) , jako je Diracova distribuce (v 0) definovaná ;δ0{\displaystyle \delta _{0}}⟨δ0,φ⟩=φ(0){\displaystyle \langle \delta _{0},\varphi \rangle =\varphi (0)}
- libovolná „normální“ distribuce, tj. jakákoli distribuce T f spojená s lokálně integrovatelnou funkcí f :∀φ∈D(Ω)⟨Tf,φ⟩=∫Rf(x)φ(x)dx.{\displaystyle \forall \varphi \in {\mathcal {D}}(\Omega )\quad \langle T_{f},\varphi \rangle =\int _{\mathbb {R} }f(x)\varphi (x)\,\mathrm {d} x.}Lineární (kontinuální) použití L 1 loc (w) v je injective , může splést jsme f a T f . Slavný příklad pravidelné distribuce je spojen s funkcí Heaviside , kterou označujeme Y nebo H , definovanou:D′(Ω){\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}
⟨Y,φ⟩=∫0+∞φ(x)dx.{\displaystyle \langle Y,\varphi \rangle =\int _{0}^{+\infty }\varphi (x)\,\mathrm {d} x.}
Odvození distribucí
Abychom definovali derivaci rozdělení, uvažujme nejprve případ pravidelného rozdělení na ℝ, jehož hustota f je třídy C 1 . Buď per partes umožňuje psát:
φ∈D(R).{\displaystyle \varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ).}
∫Rf′(x)φ(x)dx=−∫Rf(x)φ′(x)dx,soit⟨Tf′,φ⟩=−⟨Tf,φ′⟩.{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }f'(x)\varphi (x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\mathbb {R} }f(x)\varphi '(x)\,\mathrm {d} x,\qquad \mathrm {soit} \qquad \langle T_{f'},\varphi \rangle =-\langle T_{f},\varphi '\rangle .}Protože funkce φ je mimo omezenou množinu nulová, podmínky hran se navzájem ruší.
Pokud jde o otevřené rozdělení ℝ n , tento příklad navrhuje definovat jeho k - tou parciální derivaci pomocí:
T∈D′(Ω){\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )} ∂T∂xk{\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}}}
⟨∂T∂xk,φ⟩=−⟨T,∂φ∂xk⟩.{\displaystyle \left\langle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}},\varphi \right\rangle =-\left\langle T,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{k}}}\right\rangle .}
Tato definice se vztahuje klasický pojem derivát: každý distribuce stává nekonečně diferencovatelná (lineární i nadále , aby v sobě) a pravidlo Leibnizovo je kontrolována (pro distribuci odvozené , produkt T od funkčního ln do nekonečna diferencovatelné), stejně jako analog z Schwarzova věta . Navíc, pokud T je řádu p, pak je řádu menší nebo roven p + 1.
T↦∂T∂xk{\displaystyle T\mapsto {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}}}D′(Ω){\displaystyle {\mathcal {D}}'(\Omega )}φ↦⟨T,ψφ⟩{\displaystyle \varphi \mapsto \langle T,\psi \varphi \rangle } ∂T∂xk{\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}}}
Například derivací ve smyslu distribucí funkce Heaviside je Diracova distribuce při 0 .
Alternativně a obecněji lze derivaci T následující po vektoru h definovat:
∂hT=limt→0t≠0τthT−Tt.{\displaystyle \partial _{h}T=\lim _{t\to 0 \atop t\neq 0}{\frac {\tau _{th}T-T}{t}}.}
(Překlad vektorem v je definován na distribucích - opět se inspiruje v případě pravidelných distribucí - jako transpozice překladu pomocí - v na testovacích funkcích:
⟨τvT,φ⟩:=⟨T,τ−vφ⟩, avec τwφ(x):=φ(x+w).){\displaystyle \langle \tau _{v}T,\varphi \rangle :=\langle T,\tau _{-v}\varphi \rangle ,{\text{ avec }}\tau _{w}\varphi (x):=\varphi (x+w).)}
Ve skutečnosti pro každou testovací funkci φ,{\displaystyle \varphi ,}
⟨τthT−Tt,φ⟩=⟨T,τ−thφ−φt⟩⟶t→0t≠0⟨T,∂−hφ⟩=−⟨T,∂hφ⟩.{\displaystyle \left\langle {\frac {\tau _{th}T-T}{t}},\varphi \right\rangle =\left\langle T,{\frac {\tau _{-th}\varphi -\varphi }{t}}\right\rangle {\underset {\overset {t\to 0 \atop t\neq 0}{}}{\longrightarrow }}\langle T,\partial _{-h}\varphi \rangle =-\langle T,\partial _{h}\varphi \rangle .}Libovolná distribuce T na ℝ má primitiva (tj. Distribuce, jejichž derivací je T ) a dvě z nich se liší konstantou.
Aby distribuce na ℝ měla míru jako svoji derivaci, je nutné a dostačující, aby to byla funkce s omezenou variací v jakémkoli omezeném intervalu.
Jestliže F je absolutně spojitá funkce na ℝ, derivát téměř všude f , pak se pravidelné rozdělení T f je derivát T F . Naopak, pokud má distribuce T pro derivaci pravidelné rozdělení T f, pak T = T F s F absolutně spojitým, neurčitým integrálem f ; v téměř každém bodě a v kterémkoli bodě, kde f je spojité, F je diferencovatelné a má derivaci f .
Derivace ve smyslu rozdělení funkcí patřících do prostoru L p zasahuje do definice Sobolevových prostor .
Když distribuční T modeluje fyzikální jev , lze testovací funkci φ interpretovat jako měřicí přístroj, jehož výsledkem je 〈T , φ;; výše uvedená definice pak představuje experimentální měření (alespoň myšlenkové ) derivace jevu T pomocí nástroje φ.
Speciální distribuce
Obzvláště užitečné jsou dvě konkrétní třídy distribucí konečných objednávek (první je zahrnuta ve druhé):
Kompaktní podpěrné dávkovače
Označíme - nebo - Fréchetův prostor funkcí neurčitě diferencovatelných na Ω. Jeho topologický duální je identifikován takto se sadou distribucí kompaktní podpory: kontinuální inkluze a hustý obraz , indukuje lineární injekci, jejíž obraz je přesně vektorovým podprostorem distribucí T takový, že supp ( T ) je kompaktní, supp zde označuje podporu distribuce .
E(Ω){\displaystyle {\mathcal {E}}(\Omega )}C∞(Ω){\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(\Omega )} E′(Ω){\displaystyle {\mathcal {E}}'(\Omega )}D(Ω)⊂E(Ω),{\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )\subset {\mathcal {E}}(\Omega ),} E′(Ω)↪D′(Ω),S↦S|D(Ω),{\displaystyle {\mathcal {E}}'(\Omega )\hookrightarrow {\mathcal {D}}'(\Omega ),S\mapsto S_{|{\mathcal {D}}(\Omega )},}
Demonstrace
- Jakékoli omezení spojité lineární formy S on má kompaktní podporu: pro jakoukoli distribuci T s nekompaktní podporou existuje řada testovacích funkcí ověřujících následující dvě vlastnosti:
D(Ω){\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}E(Ω){\displaystyle {\mathcal {E}}(\Omega )}(φn)n{\displaystyle (\varphi _{n})_{n}}
- pro všechna n je podpora disjunktní od koule
B (0, n ), tak dovnitř a následně ;φn{\displaystyle \varphi _{n}}φn→0{\displaystyle \varphi _{n}\to 0}E(Ω){\displaystyle {\mathcal {E}}(\Omega )}S(φn)→0{\displaystyle S(\varphi _{n})\to 0}
- T(φn)=1.{\displaystyle T(\varphi _{n})=1.}
Libovolné rozdělení T na Ω, jehož podpora je kompaktní, je omezením na (jedinečný) spojitý lineární tvar S na : stačí libovolně zvolit funkci rovnou 1 na podporu T a definovat S pomocíD(Ω){\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}E(Ω){\displaystyle {\mathcal {E}}(\Omega )}χ∈D(Ω){\displaystyle \chi \in {\mathcal {D}}(\Omega )}∀ψ∈E(Ω)⟨S,ψ⟩E′,E=⟨T,χψ⟩D′,D.{\displaystyle \forall \psi \in {\mathcal {E}}(\Omega )\quad \langle S,\psi \rangle _{{\mathcal {E}}',{\mathcal {E}}}=\langle T,\chi \psi \rangle _{{\mathcal {D}}',{\mathcal {D}}}.}
Mírné distribuce
Mírné distribuce jsou ty, které se neustále rozšiřují do Schwartzova prostoru . Hrají velmi důležitou roli, protože pojem Fourierovy transformace lze rozšířit i na druhou.
Věty o struktuře
Věty o místní a globální struktuře distribucí mají „zjevně velký teoretický i praktický význam“ a jsou „v praxi velmi použitelné i bez znalosti jejich demonstrace“ , což není elementární.
Lokálně nejsou distribuce ničím jiným než „deriváty“ (ve smyslu distribucí a v jakémkoli pořadí) spojitých funkcí:
Věta -
-
Lokální struktura distribuce - „Distribuce na ℝ N se rovná v každém otevřeném w o ℝ N o kompaktní adheze W , aby derivát spojité funkce, podpora, která může být zvolena v libovolném okolí w . "
-
Struktura temperovaného rozdělení - Distribuce nad ℝ N je temperována právě tehdy, pokud se jedná o derivaci pomalu rostoucí spojité funkce, tj. Součin polynomu omezenou spojitou funkcí.
-
Struktura distribuce s kompaktní podporou - „Libovolné rozdělení T [na Ω] s kompaktní podporou K může být v nekonečném množství způsobů reprezentováno v celém prostoru ℝ N součtem konečného počtu odvozeného od spojitého funkce, které mají své podpěry v libovolném okolí U z k . "
Ve vyjádření distribuce s kompaktním nosičem, součet by , jako v případě distribuce mírného, se redukuje na jednoduchou termín integrací, někdy za cenu zvýšení pořadí derivace (například ∂ (1, 0) g + ∂ (0,1) h lze transformovat na ∂ (1, 1) f ), ale především ztrátou vlastnosti kompaktnosti podpory funkce , „která by z ní odstranila jakýkoli zájem“ . Například distribuce Dirac není iterovanou derivací jakékoli spojité funkce s kompaktní podporou.
Z tvrzení o kompaktních distribucích podpory odvodíme analog nahrazením „průběžných funkcí“ „opatřeními“, které můžeme vylepšit, pokud je K „dostatečně pravidelný“, nahrazením více „podpor v libovolném sousedství K “ výrazem „podporuje v K “. Bez předpokladu pravidelnosti můžeme přinejmenším říci, že pro jakékoli rozdělení T s kompaktní podporou K a jakoukoli testovací funkcí φ závisí hodnota 〈T , φ〉 pouze na omezeních K derivací řádu ≤ p z φ, kde p je řád distribuční T . Použitím tohoto majetku, nebo pomocí že předpoklad pravidelnost je splněn, jakmile K je konvexní , najdeme:
Distribuce podporované body
- Nechť T je distribuce podpory zahrnutá v
singletonu a p její
pořadí . Pak existuje konečný
multi-index sérii o
scalars taková, že
{x0}{\displaystyle \{x_{0}\}}(aα)α{\displaystyle (a_{\alpha })_{\alpha }}T=∑|α|≤paα∂αδx0.{\displaystyle T=\sum _{|\alpha |\leq p}a_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{x_{0}}.}
Tato posloupnost skalárů je jedinečná, protože tento rozklad T zahrnuje:aα=(−1)|α|α!⟨T,xα⟩.{\displaystyle a_{\alpha }={\frac {(-1)^{|\alpha |}}{\alpha !}}\langle T,x^{\alpha }\rangle .}
Díky jednotkovému oddílu umožňuje struktura kompaktně podporovaných distribucí snadno určit strukturu všech distribucí:
Celková struktura distribuce - Každý rozvod T , mohou být rozloženy do konvergentní nekonečné součet derivátů spojitých funkcí, jejichž nosiče jsou kompaktní, vzdálit do nekonečna, a jsou obsaženy v libovolném sousedství nosného T .
Konvoluce distribucí
Konvoluce distribuce testovací funkcí
Produkt konvoluce pomocí testovací funkcí, snadno se rozkládá od lokálně integrovatelných funkcí k rozdělení.
Definice
Konvoluce distribuce a testovací funkce je třídní funkce C ∞ na ℝ N definovaná:
T∗φ{\displaystyle T\ast \varphi }T∈D′(RN){\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{N})}φ∈D(RN){\displaystyle \varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{N})}
T∗φ:x↦⟨T,φ(x−⋅)⟩=⟨T,τ−xφ~⟩,{\displaystyle T\ast \varphi :x\mapsto \langle T,\varphi (x-\cdot )\rangle =\langle T,\tau _{-x}{\widetilde {\varphi }}\rangle ,}
kde antipody na testovací funkce je kompozice podle stejnolehlost Z ↦ - Z :~{\displaystyle {\widetilde {}}}
φ~(z)=φ(−z).{\displaystyle {\widetilde {\varphi }}(z)=\varphi (-z).}
Příklad
Neboť distribuce Diraca má, to znamenáT=δa:=τ−a(δ0){\displaystyle T=\delta _{a}:=\tau _{-a}(\delta _{0})}
⟨δa,φ⟩=φ(a),{\displaystyle \langle \delta _{a},\varphi \rangle =\varphi (a),}
získáváme:
δa∗φ=τ−aφ.{\displaystyle \delta _{a}\ast \varphi =\tau _{-a}\varphi .}
Vlastnosti
- Pravidelnost pochází z toho a jeho deriváty jsou dány vztahemT∗φ{\displaystyle T\ast \varphi }φ{\displaystyle \varphi }∂α(T∗φ)=(∂αT)∗φ=T∗(∂αφ).{\displaystyle \partial ^{\alpha }(T\ast \varphi )=(\partial ^{\alpha }T)\ast \varphi =T\ast (\partial ^{\alpha }\varphi ).}
- Konvoluce si zachovává svoji vlastnost zvyšování podpory:supp(T∗φ)⊂supp(T)+supp(φ).{\displaystyle {\textrm {supp}}(T\ast \varphi )\subset {\rm {supp}}(T)+{\rm {supp}}(\varphi ).}
Zejména pokud má T kompaktní podporu, pak jde o testovací funkci, takže konvoluce vhodnou přibližnou jednotkou „nám dává pravidelný lineární proces pro aproximaci distribuce posloupností neurčitě diferencovatelných funkcí“ s kompaktními podporami.
T∗φ{\displaystyle T\ast \varphi }
V tomto případě konvoluce nemůžeme mluvit o komutativitě ani o asociativitě, protože získaná funkce nemusí nutně mít kompaktní podporu.
Konvoluce distribuce distribucí s kompaktní podporou
Definice
Konvoluce distribuce a distribuce s kompaktní podporou je distribuce na ℝ N definovaná:
T∗S{\displaystyle T\ast S}T∈D′(RN){\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{N})}S∈E′(RN){\displaystyle S\in {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{N})}
∀φ∈D(RN)⟨T∗S,φ⟩=⟨T,S~∗φ⟩,{\displaystyle \forall \varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{N})\quad \langle T\ast S,\varphi \rangle =\langle T,{\widetilde {S}}\ast \varphi \rangle ,}kde je na distribucích definována jako transpozice protilátky na testovací funkce:~{\displaystyle {\tilde {}}}⟨S~,φ⟩=⟨S,φ~⟩.{\displaystyle \langle {\widetilde {S}},\varphi \rangle =\langle S,{\widetilde {\varphi }}\rangle .}
Vlastnosti
- Zahrnutím in rozšiřuje tato konvoluce předchozí.D{\displaystyle {\mathcal {D}}}E′{\displaystyle {\mathcal {E}}'}
- Vždy má vlastnost zvýšení podpory:supp(T∗S)⊂supp(T)+supp(S).{\displaystyle {\textrm {supp}}(T\ast S)\subset {\rm {supp}}(T)+{\rm {supp}}(S).}Konvoluční operace je proto zejména interní E′(RN).{\displaystyle {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{N}).}
- Konvoluce je komutativní . Definováním rozdělení podle vzorceS∗T{\displaystyle S\ast T}∀φ∈D(RN)⟨S∗T,φ⟩=⟨S,T~∗φ⟩E′,E{\displaystyle \forall \varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{N})\quad \langle S\ast T,\varphi \rangle =\langle S,{\widetilde {T}}\ast \varphi \rangle _{{\mathcal {E}}',{\mathcal {E}}}}takT∗S=S∗T.{\displaystyle T\ast S=S\ast T.}
- Konvoluce je asociativní . Dovolit být tři distribuce na ℝ N , z nichž alespoň dvě mají kompaktní podporu. TakR,S,T{\displaystyle R,S,T}R∗(S∗T)=(R∗S)∗T=R∗S∗T.{\displaystyle R\ast (S\ast T)=(R\ast S)\ast T=R\ast S\ast T.}
- Odvození konvolučního produktu je následující. Pro jakýkoli multi-indexα∈NN,{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{N},}∂α(T∗S)=(∂αT)∗S=T∗(∂αS).{\displaystyle \partial ^{\alpha }(T\ast S)=(\partial ^{\alpha }T)\ast S=T\ast (\partial ^{\alpha }S).}
- Bilineární aplikace, která k přidruženému točivému momentu je spojitá, když je omezena na S s podporou v pevném kompaktu.S∈E′,T∈D′{\displaystyle S\in {\mathcal {E}}',T\in {\mathcal {D}}'}S∗T∈D′{\displaystyle S\ast T\in {\mathcal {D}}'}
Příklad
Pro libovolnou distribuci a libovolný vektor a ℝ N ,T∈D′(RN){\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{N})}
T∗δa=τaT.{\displaystyle T\ast \delta _{a}=\tau _{a}T.}
Zejména (pro = 0 ) je distribuce Dirac je neutrální pro konvoluce, takže komutativní prsten je jednotná .
(E(RN),+,∗){\displaystyle ({\mathcal {E}}(\mathbb {R} ^{N}),+,\ast )}
Vektorové distribuce
Distribuce s hodnotami ve vektorovém prostoru ℝ m může být definována jako prvek , nebo v ekvivalentním způsobem, prvek , na odpovídající topologie výrobek používán. Druhá forma této definice umožňuje velmi jednoduše vyjádřit derivační operátory běžně používané v oblasti parciálních diferenciálních rovnic ve slabé formulaci a definici určitých Sobolevových prostorů , zejména gradient ( ), divergence ( ) a rotační ( ) kdy ; poznámkou a máme vztahy :
(D′(Ω))m{\displaystyle \left({\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )\right)^{m}}(D(Ω)m)′{\displaystyle \left({\mathcal {D}}(\Omega )^{m}\right)^{\prime }}∇{\displaystyle \nabla }∇⋅{\displaystyle \nabla \cdot }∇×{\displaystyle \nabla \times }n=m=3{\displaystyle n=m=3}S∈D′(Ω){\displaystyle S\in {\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )}T∈(D(Ω)3)′{\displaystyle {\boldsymbol {T}}\in \left({\mathcal {D}}(\Omega )^{3}\right)^{\prime }}∀φ∈D(Ω), ∀ϕ∈(D(Ω))3{\displaystyle \forall \varphi \in {\mathcal {D}}(\Omega ),\ \forall {\boldsymbol {\phi }}\in \left({\mathcal {D}}(\Omega )\right)^{3}}
⟨∇S,ϕ⟩=−⟨S,∇.ϕ⟩{\displaystyle \langle \nabla S,{\boldsymbol {\phi }}\rangle =-\langle S,\nabla .{\boldsymbol {\phi }}\rangle }
⟨∇⋅T,φ⟩=−⟨T,∇φ⟩{\displaystyle \langle \nabla \cdot {\boldsymbol {T}},\varphi \rangle =-\langle {\boldsymbol {T}},\nabla \varphi \rangle }
⟨∇×T,ϕ⟩=⟨T,∇×ϕ⟩{\displaystyle \langle \nabla \times {\boldsymbol {T}},{\boldsymbol {\phi }}\rangle =\langle {\boldsymbol {T}},\nabla \times {\boldsymbol {\phi }}\rangle }
Když jsou tyto distribuce definovány funkcemi, výsledkem těchto derivací je obvykle normální distribuce plus singulární distribuce na podporách, z nichž jsou vyjádřeny diskontinuity, které se týkají, alespoň když jsou těmito podporami povrchy, stopa pro gradient, normální stopa pro divergenci a tangenciální stopa pro rotaci. Tyto rozklady jsou známy pod obecným názvem Greenových vzorců.
Poznámky a odkazy
-
H. Poincaré, "na kvantové teorie", Journal of Theoretical and Applied Physics , 5 th série, vol. 2, s. 5 −34 (kapitola 6).
-
Jean-Michel Kantor (de) , „Matematika od východu na západ - teorie a praxe: příklad distribucí“, s. 2 33-43 a Adolphe P. Yuskevitch, „Některé poznámky k historii teorie zobecněných řešení parciálních diferenciálních rovnic a zobecněných funkcí]“, s. 44-50 , Gazette des mathématiciens , n o 100, duben 2004.
-
(en) Philippe Blanchard a Erwin Brüning , Matematické metody ve fyzice: Distribuce, Hilbertovy vesmírné operátory a Variační metody , Springer ,2003, 471 str. ( ISBN 978-0-8176-4228-0 , číst online ) , s. 20.
-
Jako přísné induktivními koncovými z : N. Bourbaki , prvky matematiky : topologických vektorových prostorů , Springer ,DK{\displaystyle {\mathcal {D}}_{K}}2006, 368 s. ( ISBN 3-540-34497-7 , číst online ) , s. III.9 - III.10.
-
(in) Abdellah El Kinani a Mohamed Oudadess, Theory Distribution and Applications , World Scientific ,2010( číst online ) , s. 19.
-
Laurent Schwartz , teorie distribuce , Hermann ,1966( 1 st ed. 1950 až 1951), str. 55.
-
Schwartz 1966 , str. 51.
-
Schwartz 1966 , str. 53.
-
Schwartz 1966 , str. 54.
-
Schwartz 1966 , str. 63.
-
(en) Robert S. Strichartz (de) , Průvodce teorií distribuce a Fourierovými transformacemi , World Scientific,2003, 226 s. ( ISBN 978-981-238-430-0 , číst online ) , s. 85.
-
Schwartz 1966 , str. 82.
-
Schwartz 1966 , str. 239.
-
Schwartz 1966 , str. 91.
-
Strichartz 2003 , str. 84.
-
Schwartz 1966 , str. 92.
-
Schwartz 1966 , str. 99.
-
Schwartz 1966 , str. 93.
-
Schwartz 1966 , str. 100.
-
Schwartz 1966 , str. 96.
-
Schwartz 1966 , str. 166 (viz také str. 75 ).
-
Schwartz 1966 , str. 157-158.
Laurent Schwartz , Matematické metody pro fyzikální vědy , Hermann ,1965
Podívejte se také
Související články
Externí odkaz
[PDF] (en) Poznámky k přednášce o skutečné analýze ( úvod do distribuce Master 1) Nicolasa Lernera, profesora v Paříži 6 .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">