Multidimenzionální funkce gama

Multivariační funkce gama , Γ p (·), je zobecnění funkce gama . Ve vícerozměrných statistikách se objevuje ve funkci hustoty Wishartova zákona a inverzního Wishartova zákona .

Definice

{\ displaystyle \ Gamma _ {p} (a) = \ int _ {S> 0} \ vlevo | S \ vpravo | ^ {a- (p + 1) / 2} \ e ^ {- {\ rm {trasování (S)}}} dS,}

kde S> 0 znamená, že S je pozitivní určitá matice .

V praxi používáme

{\ displaystyle \ Gamma _ {p} (a) = \ pi ^ {p (p-1) / 4} \ prod _ {j = 1} ^ {p} \ Gamma \ left [a + (1-j) / 2 \ vpravo].}

Výpočet usnadňují relace opakování:

{\ displaystyle \ Gamma _ {p} (a) = \ pi ^ {(p-1) / 2} \ Gamma (a) \ Gamma _ {p-1} (a - {\ tfrac {1} {2} })}

{\ displaystyle = \ pi ^ {(p-1) / 2} \ gama _ {p-1} (a) \ gama [a + (1-p) / 2].}

Tak,

${\ displaystyle \ Gamma _ {1} (a) = \ Gamma (a)}$
${\ displaystyle \ Gamma _ {2} (a) = \ pi ^ {1/2} \ Gamma (a) \ Gamma (a-1/2)}$
${\ displaystyle \ Gamma _ {3} (a) = \ pi ^ {3/2} \ Gamma (a) \ Gamma (a-1/2) \ Gamma (a-1)}$

atd.

Definujeme funkci vícerozměrného digammy :

{\ displaystyle \ psi _ {p} (a) = {\ frac {\ částečný \ log \ gamma _ {p} (a)} {\ částečný a}} = \ součet _ {i = 1} ^ {p} \ psi (a + (1-i) / 2),}

{\ displaystyle \ psi _ {p} ^ {(n)} (a) = {\ frac {\ částečné ^ {n} \ log \ gama _ {p} (a)} {\ částečné a ^ {n}} } = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ psi ^ {(n)} (a + (1-i) / 2).}

Výpočet

Vzhledem k tomu, že

{\ displaystyle \ Gamma _ {p} (a) = \ pi ^ {p (p-1) / 4} \ prod _ {j = 1} ^ {p} \ gama (a + {\ frac {1-j } {2}}),}

střílíme

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ Gamma _ {p} (a)} {\ částečné a}} = \ pi ^ {p (p-1) / 4} \ součet _ {i = 1} ^ {p } {\ frac {\ částečné \ Gamma (a + {\ frac {1-i} {2}})} {\ částečné a}} \ prod _ {j = 1, j \ neq i} ^ {p} \ Gamma (a + {\ frac {1-j} {2}}).}

Podle definice funkce digamma ψ,

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ Gamma (a + {\ frac {1-i} {2}})} {\ částečné a}} = \ psi (a + {\ frac {1-i} {2 }}) \ Gamma (a + {\ frac {1-i} {2}})}

z toho vyplývá, že

{\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ Gamma _ {p} (a)} {\ částečné a}} = \ pi ^ {p (p-1) / 4} \ prod _ {j = 1} ^ {p } \ Gamma (a + {\ frac {1-j} {2}}) \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ psi (a + {\ frac {1-i} {2}})}

{\ displaystyle = \ Gamma _ {p} (a) \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ psi (a + {\ frac {1-i} {2}}).}

James A., „Distribuce maticových variací a latentních kořenů odvozených z normálních vzorků“, Annals of Mathematical Statistics vol.35 / 2, 1964, strany 475–501