Funkce gama

Gama funkce je plně charakterizována mezi holomorfními funkcemi komplexní poloroviny Re ( z )> 0 následujícími třemi vlastnostmi ( Wielandtova věta ):

• Γ(1)=1{\ displaystyle \ Gamma (1) = 1 \,}
• Pro všechna z taková, že Re ( z )> 0 ,Γ(z+1)=zΓ(z){\ Displaystyle \ Gamma (z + 1) = z \; \ Gamma (z) \,}
• |Γ(z)|{\ displaystyle | \ Gamma (z) | \,}je ohraničen v pásmu 1 ≤ Re ( z ) ≤ 2.

Další vlastnosti

Doplňte vzorec

Funkce gama kontroluje Eulerův odrazový vzorec nebo doplňuje vzorec

∀z∈VS∖ZΓ(1-z)Γ(z)=πhřích⁡(πz),{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z} \ quad \ Gamma (1-z) \; \ Gamma (z) = {\ pi \ over \ sin (\ pi z)} ,}

což dokazujeme tím, že nejprve si všimneme, že Γ (1 - z ) Γ ( z ) je 2-periodické a má stejné póly a zbytky jako . πhřích⁡(πz){\ displaystyle {\ tfrac {\ pi} {\ sin (\ pi z)}}}

Násobení vzorec

Funkce gama také zkontroluje duplikační vzorec: Γ(z)Γ(z+12)=21-2zπΓ(2z).{\ displaystyle \ Gamma (z) \; \ Gamma \ vlevo (z + {\ frac {1} {2}} \ doprava) = 2 ^ {1-2z} \; {\ sqrt {\ pi}} \; \ Gama (2z).}

Duplikační vzorec je speciální případ věty o násobení:

Γ(z)Γ(z+1m)Γ(z+2m)⋯Γ(z+m-1m)=(2π)(m-1)/2m1/2-mzΓ(mz).{\ displaystyle \ Gamma (z) \; \ Gamma \ doleva (z + {\ frac {1} {m}} \ doprava) \; \ Gamma \ doleva (z + {\ frac {2} {m}} \ vpravo) \ cdots \ Gamma \ vlevo (z + {\ frac {m-1} {m}} \ vpravo) = (2 \ pi) ^ {(m-1) / 2} \; m ^ {1/2 -mz} \; \ Gamma (mz).}

Tato funkce se také objevuje ve vzorcích včetně funkce Riemann zeta .

Zbytky

Funkce gama má pól řádu 1 v z  = - n pro jakékoli přirozené číslo n . Zbytek funkce v této tyče je dána vztahem:

Res⁡(Γ,-ne)=(-1)nene!.{\ displaystyle \ operatorname {Res} (\ Gamma, -n) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}}.}

Deriváty

Funkce gama je nekonečně diferencovatelná na (to znamená, že p krát diferencovatelné pro jakékoliv celé číslo p ). Jeho derivát je vyjádřen pomocí funkce digamma  :R+∗{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}Γ′(z)=Γ(z)ψ0(z).{\ displaystyle \ Gamma '(z) = \ Gamma (z) \ psi _ {0} (z). \,}

Obecněji má jeho p- tý derivát následující integrální výraz: R+∗{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}

Γ(p)(X)=∫0+∞(ln⁡t)ptX-1E-tdt{\ displaystyle \ Gamma ^ {(p)} (x) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {(\ ln t) ^ {p} \, t ^ {x-1} \, \ operatorname {e} ^ {- t} \, \ mathrm {d} t}}

Spojení s Gaussovými částkami

Definování funkce gama jako integrálu způsobí, že se bude jevit jako konvoluce mezi aditivním znakem (exponenciálním) a multiplikativním znakem ( ). X↦Xs{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {s}}

Propojení s dalšími funkcemi

Funkce gama souvisí s Riemannovou funkcí ζ podle:

ζ(s)Γ(s)=∫0+∞ts-1Et-1dt{\ displaystyle \ zeta (s) \, \ gama (s) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {t ^ {s-1}} {\ mathrm {e} ^ {t} -1}} \, \ mathrm {d} t}

Souvisí to s funkcí eta Dirichlet :

Γ(s)η(s)=∫0∞Xs-1EX+1dX{\ displaystyle \ Gamma (s) \, \ eta (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {s-1}} {\ mathrm {e} ^ {x} + 1}} \, \ mathrm {d} x}

∫01∫01(-ln⁡(Xy))s-21+XydXdy{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {(- \ ln (xy)) ^ {s-2}} {1 + xy}} \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}

V definici funkce gama v integrální formě jsou limity integrálu pevné; neúplné funkce gama je funkce získána modifikací dolní mez nebo horní hranice.

Funkce gama souvisí s funkcí beta podle vzorce:

B(X,y)=Γ(X)Γ(y)Γ(X+y).{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \; \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}.}

Logaritmus funkce gama se někdy nazývá lngamma . Podílí se zejména na řešení problémů s šířením vln  : funkční rovnice funkce lngamma je:

ln⁡Γ(z)=ln⁡Γ(z+1)-ln⁡(z){\ Displaystyle \ ln \ gama (z) = \ ln \ gama (z + 1) - \ ln (z)}

Pokud známe hodnoty funkce v pásmu šířky 1 v Re ( z ), získáme tímto vztahem hodnoty v sousedním pásmu stejné šířky a můžeme tento postup opakovat. Počínaje od z s Re ( z ) >> 1, pro které známe dobrou aproximaci, můžeme tedy dosáhnout hodnoty pro libovolné z .

Rocktaeschel (1922, po označení Gauss) navrhuje aproximaci pro Re ( z ) velký:

ln⁡Γ(z)≈(z-12)ln⁡z-z+12ln⁡(2π){\ displaystyle \ ln \ gama (z) \ přibližně (z - {\ tfrac {1} {2}}) \ ln z-z + {\ tfrac {1} {2}} \ ln (2 \ pi)}

Můžeme odvodit aproximaci ln Γ ( z ) pro menší Re ( z ) pomocí:

ln⁡Γ(z-m)=ln⁡Γ(z)-∑k=1mln⁡(z-k){\ displaystyle \ ln \ gama (zm) = \ ln \ gama (z) - \ součet _ {k = 1} ^ {m} \ ln (zk)}

Derivace logaritmu funkce gama se označuje jako funkce digamma . Deriváty vyššího řádu jsou polygammové funkce .

Analog funkce gama nad konečným polem nebo konečným prstencem je poskytován Gaussovými součty .

Podle Eulerova výraz pro funkci gama ( viz výše ), jeho inverzní  (en) je funkcí celé číslo .

Speciální hodnoty

Tato část uvádí některé konkrétní hodnoty funkce gama  (en) a jejích derivátů.

Hodnota Γ (1/2) = √ π je hodnota Gaussova integrálu  ; lze to také odvodit z doplňkového vzorce . Tato hodnota umožňuje indukcí určit další hodnoty funkce gama pro kladná celá čísla:

Γ(3/2)=π2,Γ(5/2)=3π4,...,{\ displaystyle \ Gamma (3/2) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}}, \ quad \ Gamma (5/2) = {\ frac {3 {\ sqrt {\ pi}} } {4}}, \ ldots,}

Γ(ne+12)=(ne-12)Γ(ne-12)=(ne-12)(ne-32)⋯3212Γ(12)=(2ne)!22nene!π{\ displaystyle \ Gamma \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) = \ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right) \ Gamma \ left (n - { \ frac {1} {2}} \ right) = \ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right) \ left (n - {\ frac {3} {2}} \ right) \ cdots {\ frac {3} {2}} \, {\ frac {1} {2}} \, \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = {\ frac {(2n )!} {2 ^ {2n} n!}} {\ Sqrt {\ pi}}}

ale také negativní, například:

Γ(-1/2)=-2π{\ displaystyle \ Gamma (-1/2) = - 2 {\ sqrt {\ pi}}}

Pokud jde o jeho derivátů, s y s Eulerova konstanta  :

Γ′(ne+1)=Γ(ne+1)ψ0(ne+1)=ne!(-y+∑1≤k≤ne1k){\ Displaystyle \ Gamma '(n + 1) = \ Gamma (n + 1) \ psi _ {0} (n + 1) = n! \ left (- \ gamma + \ suma _ {1 \ leq k \ leq n} {\ frac {1} {k}} \ vpravo)}

Γ′(ne+12)=Γ(ne+12)ψ0(ne+12)=(2ne)!22nene!π(-y-2ln⁡2+∑1≤k≤ne22k-1){\ displaystyle \ Gamma '\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) = \ Gamma \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) \ psi _ {0 } \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) = {\ frac {(2n)!} {2 ^ {2n} n!}} {\ sqrt {\ pi}} \ left ( - \ gamma -2 \ ln 2+ \ sum _ {1 \ leq k \ leq n} {\ frac {2} {2k-1}} \ right)}

Γ„(1/2)=π(y+2ln⁡(2))2+π5/22,Γ„(1)=y2+π26,Γ„(2)=(1-y)2+π26-1{\ displaystyle \ Gamma '' (1/2) = {\ sqrt {\ pi}} (\ gamma +2 \, \ ln (2)) ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {5/2 }} {2}}, \ quad \ Gamma '' (1) = \ gamma ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}, \ quad \ Gamma '' (2) = (1- \ gamma) ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} - 1}

Známe některé výsledky transcendence a dokonce algebraické nezávislosti na hodnotách Γ v určitých racionálních bodech .

Domněnka o Rohrlich Předpokládá se, že jakýkoliv multiplikativní vztah formy

πb/2∏Γ(nak)mk∈Q¯,(b∈Z,nak∈Q,mk∈Z){\ displaystyle \ pi ^ {b / 2} \ prod \ Gamma (a_ {k}) ^ {m_ {k}} \ in {\ overline {\ mathbb {Q}}}, \ quad (b \ in \ mathbb {Z}, \; a_ {k} \ in \ mathbb {Q}, \; m_ {k} \ in \ mathbb {Z})}

(kde ℚ označuje pole o algebraických čísel ) je odvozen ze tří standardních vztahů:

Γ(z+1)=zΓ(z),Γ(1-z)Γ(z)=πhřích⁡(πz),∏0≤k<neΓ(z+kne)=(2π)(ne-1)/2ne-nez+1/2Γ(nez){\ Displaystyle \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z), \ quad \ Gamma (1-z) \ Gamma (z) = {\ pi \ over \ sin (\ pi z)}, \ quad \ prod _ {0 \ leq k <n} \ Gamma \ left (z + {\ frac {k} {n}} \ right) = (2 \ pi) ^ {(n-1) / 2} n ^ {- nz +1/2} \ Gamma (nz)}

Asymptotický Stirlingův vzorec

Z Γ ( z ) a Γ ( z +1)

Na Stirlingův vzorec poskytuje ekvivalent v blízkosti nekonečna faktoru:

ne!=2πnene+12E-ne+μ(ne) pro ne∈NE ,{\ displaystyle n \ ,! = {\ sqrt {2 \ pi}} \, n ^ {n + {\ frac {1} {2}}} {\ rm {e}} ^ {- n + \ mu ( n)} {\ text {pro}} n \ v \ mathbb {N} \,}

s μ funkce Binet  :

μ(z)=∑k=1∞B2k2k(2k-1)z2k-1 ,{\ displaystyle \ mu (z) = \ součet _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2k}} {2k (2k-1) z ^ {2k-1}}} \,}

a B i na Bernoulli čísla . S vědomím, že Γ ( n +1) = n ! na ℕ , tento ekvivalent zobecňuje funkci gama:

Γ(z+1)=2πzz+12E-z+μ(z) pro z∈VS∖Z-∗ ,{\ displaystyle \ Gamma (z + 1) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z + {\ frac {1} {2}}} {\ rm {e}} ^ {- z + \ mu (z)} {\ text {pro}} z \ v \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z _ {-} ^ {*}} \,}

odkud :

Γ(z)=Γ(z+1)z=2πzz-12E-z+μ(z) pro z∈VS∖Z- .{\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ frac {\ Gamma (z + 1)} {z}} = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z - {\ frac {1} {2 }}} {\ rm {e}} ^ {- z + \ mu (z)} {\ text {pour}} z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z _ {-}} \.}

Výpočtem prvních členů e μ díky exponenciálnímu vzorci  (en) získáme asymptotickou expanzi  :

Γ(z)=2πzz-12E-z[1+112z+1288z2-13951840z3-5712488320z4+163879209018880z5+Ó(1z6)] .{\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z - {\ frac {1} {2}}} {\ rm {e}} ^ {- z} \ vlevo [1 + {\ frac {1} {12z}} + {\ frac {1} {288z ^ {2}}} - {\ frac {139} {51840z ^ {3}}} - {\ frac {571} {2488320z ^ {4}}} + {\ frac {163879} {209018880z ^ {5}}} + {\ mathcal {O}} \ doleva ({\ frac {1} {z ^ {6}}} \ doprava ) \ že jo] \.}

Od Γ ( z + ½)

Ekvivalent v z + ½ má hodnotu:

Γ(z+12)=2πzzE-z+β(z) ,{\ displaystyle \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {2}} \ right) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z} {\ rm {e}} ^ {- z + \ beta (z)} \,}

s:

β(z)=∑k=1∞(122k-1-1)B2k2k(2k-1)z2k-1 ,{\ displaystyle \ beta (z) = \ součet _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ vlevo ({\ frac {1} {2 ^ {2k-1}}} - 1 \ vpravo) B_ {2k}} {2k (2k-1) z ^ {2k-1}}} \,}

tedy asymptotický vývoj:

Γ(z+12)=2πzzE-z[1-124z+11152z2+1003414720z3-402739813120z4-51284236688604160z5+Ó(1z6)] .{\ displaystyle \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {2}} \ right) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z} {\ rm {e}} ^ {- z} \ left [1 - {\ frac {1} {24z}} + {\ frac {1} {1152z ^ {2}}} + {\ frac {1003} {414720z ^ {3}}} - {\ frac {4027} {39813120z ^ {4}}} - {\ frac {5128423} {6688604160z ^ {5}}} + {\ mathcal {O}} \ vlevo ({\ frac {1} {z ^ {6} }} \ doprava) \ doprava] \.}

Obecný případ

Obecněji pro | a | <| z | , ekvivalent v z + a ∉ ℤ - má hodnotu:

Γ(z+na)=2πzz+na-12exp⁡(-z-∑k=2∞Bk(na)k(k-1)(-z)k-1){\ displaystyle \ Gamma (z + a) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-z- \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {k} (a)} {k (k-1) (- z) ^ {k-1}}} \ vpravo)}

kde B k jsou Bernoulliho polynomy .

Zevšeobecněním komplexů Stirlingova vzorce víme, že pro z ∉ ℤ -  :

Γ(z)=2πzz-12exp⁡(-z+∑k=1∞B2k2k(2k-1)z2k-1){\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-z + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2k}} {2k (2k-1) z ^ {2k-1}}} \ right)}

Vzhledem k tomu, že Bernoulliho čísla liché řady větší nebo rovna 3 jsou nula , můžeme také psát změnou proměnné i = 2 k a zavedením (nulových) podmínek liché řady:

Γ(z)=2πzz-12exp⁡(-z+∑i=2∞Bii(i-1)zi-1){\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-z + \ sum _ {i = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i}} {i (i-1) z ^ {i-1}}} \ vpravo)}

odkud :

Γ(z+na)=2π(z+na)z+na-12exp⁡(-(z+na)+∑i=2∞Bii(i-1)(z+na)i-1){\ displaystyle \ Gamma (z + a) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, (z + a) ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (- (z + a) + \ sum _ {i = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i}} {i (i-1) (z + a) ^ {i-1}}}} vpravo )}

z nenulové, můžeme faktor z + a do z × (1+ a / z )  :

Γ(z+na)=2πzz+na-12(1+naz)z+na-12exp⁡(-z-na+∑i=2∞Bii(i-1)zi-1(1+naz)i-1)=2πzz+na-12exp⁡(-z+(z+na-12)ln⁡(1+naz)-na+∑i=2∞Bii(i-1)zi-1(1+naz)-(i-1)).{\ displaystyle {\ begin {seřazeno} \ Gamma (z + a) & = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}}} vlevo ( 1 + {\ tfrac {a} {z}} \ vpravo) ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-za + \ sum _ {i = 2} ^ { \ infty} {\ frac {B_ {i}} {i (i-1) z ^ {i-1} (1 + {\ frac {a} {z}}) ^ {i-1}}}} vpravo ) \\ & = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-z + \ left (z + a- { \ frac {1} {2}} \ right) \ ln \ left (1 + {\ frac {a} {z}} \ right) -a + \ sum _ {i = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i}} {i (i-1) z ^ {i-1}}} \ left (1 + {\ frac {a} {z}} \ right) ^ {- (i-1)} \ right). \ end {zarovnáno}}}

Po pózování | a | <| z | , máme | a / z | <1 , což umožňuje na jedné straně vyvinout Taylorovu řadu logaritmu ln (1 + x ) (platí pro | x | <1 ) a na druhé straně záporný binomický (1 + x ) - n (platí pro | x | <1 a n ∈ ℕ * ):

ln⁡(1+naz)=-∑k=1∞(-naz)kk=-∑k=1∞(-na)kkzk=-∑k=2∞(-na)k-1(k-1)zk-1{\ displaystyle \ ln \ left (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) = - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (- {\ frac { a} {z}} \ vpravo) ^ {k}} {k}} = - \ součet _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k}} {k \, z ^ {k}}} = - \ součet _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k-1}} {(k-1) \, z ^ {k- 1}}}}

(1+naz)-(i-1)=∑j=0∞(i+j-2j)(-naz)j=∑j=0∞(i+j-2)!(-na)j(i-2)!j!zj.{\ displaystyle \ left (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) ^ {- (i-1)} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ binom {i + j-2} {j}} \ left (- {\ frac {a} {z}} \ right) ^ {j} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(i + j-2)! \, (- a) ^ {j}} {(i-2)! \, j! \, z ^ {j}}}.}

Na jedné straně tedy máme vývoj logaritmu:

zln⁡(1+naz)=-∑k=1∞(-na)kkzk-1=na-∑k=2∞(-na)kkzk-1{\ displaystyle z \ ln \ left (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) = - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k }} {k \, z ^ {k-1}}} = a- \ součet _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k}} {k \, z ^ {k-1}}}}

a:

naln⁡(1+naz)=-na∑k=2∞(-na)k-1(k-1)zk-1=∑k=2∞(-na)k(k-1)zk-1{\ displaystyle a \ ln \ left (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) = - a \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ { k-1}} {(k-1) \, z ^ {k-1}}} = \ součet _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k}} { (k-1) \, z ^ {k-1}}}}

odkud :

(z+na-12)ln⁡(1+naz)-na=na+∑k=2∞(1k-1-1k)(-na)kzk-1+12∑k=2∞(-na)k-1(k-1)zk-1-na=∑k=2∞(-na)kk(k-1)zk-1+12∑k=2∞(-na)k-1(k-1)zk-1=∑k=2∞(-na)k+k2(-na)k-1k(k-1)zk-1.{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ left (z + a - {\ tfrac {1} {2}} \ right) \ ln \ left (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) - a & = a + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {k-1}} - {\ frac {1} {k}} \ right) {\ frac {(-a) ^ {k}} {z ^ {k-1}}} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(- a) ^ {k-1}} {(k-1) \, z ^ {k-1}}} - a \\ & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {( -a) ^ {k}} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}} + {\ frac {1} {2}} \ součet _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-a) ^ {k-1}} {(k-1) \, z ^ {k-1}}} \\ & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty } {\ frac {(-a) ^ {k} + {\ frac {k} {2}} \, (- a) ^ {k-1}} {k \, (k-1) \, z ^ {k -1}}}. \ Konec {zarovnáno}}}

Na druhou stranu máme vývojem záporného binomia a poté pokračováním ke změně proměnné k = i + j  :

Bii(i-1)zi-1(1+naz)-(i-1)=∑j=0∞Bi(i+j-2)!(-na)ji!j!zi-1+j=∑k=i∞Bi(k-2)!(-na)k-ii!(k-i)!zk-1=∑k=i∞(ki)Bi(-na)k-ik(k-1)zk-1 .{\ displaystyle {\ frac {B_ {i}} {i \, (i-1) \, z ^ {i-1}}} \ vlevo (1 + {\ frac {a} {z}} \ vpravo) ^ {- (i-1)} = \ součet _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i} \, (i + j-2)! \, (- a) ^ {j }} {i! \, j! \, z ^ {i-1 + j}}} = \ sum _ {k = i} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i} \, (k-2 )! \, (- a) ^ {ki}} {i! \, (ki)! \, z ^ {k-1}}} = \ suma _ {k = i} ^ {\ infty} {\ binom {k} {i}} {\ frac {B_ {i} \, (- a) ^ {ki}} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}} \.}

Vzhledem k tomu, že pro k < i a i je alespoň 2 , můžeme rozšířit výše uvedený součet pro k od 2 (níže bychom měli neurčitý tvar 0/0 ) na i - 1 (součet i - 2 členů, takže v nejhorším případě prázdný , platný součet , pokud i = 2 ): (ki)=0{\ displaystyle {\ tbinom {k} {i}} = 0}

Bii(i-1)zi-1(1+naz)-(i-1)=∑k=2∞(ki)Bi(-na)k-ik(k-1)zk-1{\ displaystyle {\ frac {B_ {i}} {i \, (i-1) \, z ^ {i-1}}} \ vlevo (1 + {\ frac {a} {z}} \ vpravo) ^ {- (i-1)} = \ součet _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ binom {k} {i}} {\ frac {B_ {i} \, (- a) ^ {ki }} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}}}

Připomínáme, že Bernoulliho polynomy ověřují  :

Bk(X)=∑i=0k(ki)BiXk-i=B0Xk+kB1Xk-1+∑i=2k(ki)BiXk-i=Xk-k2Xk-1+∑i=2k(ki)BiXk-i{\ displaystyle B_ {k} (x) = \ součet _ {i = 0} ^ {k} {\ binom {k} {i}} B_ {i} \, x ^ {ki} = B_ {0} \ , x ^ {k} + k \, B_ {1} \, x ^ {k-1} + \ sum _ {i = 2} ^ {k} {\ binom {k} {i}} B_ {i} \, x ^ {ki} = x ^ {k} - {\ frac {k} {2}} \, x ^ {k-1} + \ sum _ {i = 2} ^ {k} {\ binom { k} {i}} B_ {i} \, x ^ {ki}}

stejně jako  :

Bk(-X)=(-1)k[Bk(X)+kXk-1]=(-1)kBk(X)-k(-X)k-1{\ displaystyle B_ {k} (- x) = (- 1) ^ {k} \ vlevo [B_ {k} (x) + k \, x ^ {k-1} \ vpravo] = (- 1) ^ {k} B_ {k} (x) -k \, (- x) ^ {k-1}}

odkud :

∑i=2∞Bii(i-1)zi-1(1+naz)-(i-1)=∑k=2∞∑i=2∞(ki)Bi(-na)k-ik(k-1)zk-1=∑k=2∞Bk(-na)-(-na)k+k2(-na)k-1k(k-1)zk-1=∑k=2∞(-1)kBk(na)-k(-na)k-1-(-na)k+k2(-na)k-1k(k-1)zk-1=∑k=2∞(-1)kBk(na)-(-na)k-k2(-na)k-1k(k-1)zk-1=-∑k=2∞Bk(na)k(k-1)(-z)k-1-[(z+na-12)ln⁡(1+naz)-na].{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sum _ {i = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {i}} {i \, (i-1) \, z ^ {i-1}} } \ left (1 + {\ frac {a} {z}} \ right) ^ {- (i-1)} & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} \ sum _ {i = 2 } ^ {\ infty} {\ binom {k} {i}} {\ frac {B_ {i} \, (- a) ^ {ki}} {k \, (k-1) \, z ^ {k -1}}} = \ součet _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {k} (- a) - (- a) ^ {k} + {\ frac {k} {2} } \, (- a) ^ {k-1}} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}} \\ & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty } {\ frac {(-1) ^ {k} B_ {k} (a) -k \, (- a) ^ {k-1} - (- a) ^ {k} + {\ frac {k} {2}} \, (- a) ^ {k-1}} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}} \\ & = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} B_ {k} (a) - (- a) ^ {k} - {\ frac {k} {2}} \, (- a) ^ {k-1}} {k \, (k-1) \, z ^ {k-1}}} \\ & = - \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ { k} (a)} {k \, (k-1) \, (- z) ^ {k-1}}} - \ left [\ left (z + a - {\ tfrac {1} {2}} \ right) \ ln \ left (1 + {\ tfrac {a} {z}} \ right) -a \ right]. \ end {aligned}}}

Takže pro | a | <| z |  :

Γ(z+na)=2πzz+na-12exp⁡(-z-∑k=2∞Bk(na)k(k-1)(-z)k-1){\ displaystyle \ Gamma (z + a) = {\ sqrt {2 \ pi}} \, z ^ {z + a - {\ frac {1} {2}}} \ exp \ left (-z- \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {k} (a)} {k (k-1) (- z) ^ {k-1}}} \ vpravo)}

Nastavením příslušně se rovnají 0 , ½ a 1 , a jsou známy konkrétní hodnoty z polynomů v těchto místech Bernoulliho, okamžitě najít ekvivalentu Z , z + ½ a z + 1 je uvedeno výše.

Dějiny

První výskyt produktu, který později povede ke vzniku funkce gama, má na svědomí Daniel Bernoulli v dopise Christian Goldbach .

V moderní notaci

X!=limne→∞(ne+1+X2)X-1∏i=1nei+1i+X{\ displaystyle x! = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (n + 1 + {\ frac {x} {2}} \ right) ^ {x-1} \ prod _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {i + 1} {i + x}}}

Také v roce 1729 se Euler ujal studia tohoto produktu a dal mu jeho nedílnou podobu.

Byl to Legendre, kdo v roce 1811 tuto funkci zaznamenal a přinesl do jeho studia mnoho doplňků. Γ{\ displaystyle \ Gamma}

Článek Borweina a Corlesse shrnuje tři století matematické práce na gama funkci.

Poznámky a odkazy

1. Viz například začátek tohoto opraveného přiřazení na Wikiversity .
2. Konkrétní případ, kdy z je přísně pozitivní reálný, viz článek Bohr-Mollerupova věta . Obecný případ naleznete v tomto opraveném cvičení na Wikiversity .
3. (De) O. Schlömilch, „  Einiges über die Eulerischen Integrale der zweiten Art  “ , Archiv der Mathematik und Physik , sv.  4,1844, str.  171 ( číst online ).
4. (in) JLWV Jensen , „  Elementární výklad teorie funkce gama  “ , Ann. matematiky. , 2 nd série, vol.  17, n o  3,1916, str.  124-166 ( JSTOR  2007272 )( str.  128 ).
5. „V roce 1844, 32 let před slavnou Weierstrassovou prací o celočíselných funkcích  “  : (en) SS Dragomir, RP AgarwalRavi Agarwal a NS Barnett, „  Nerovnosti pro funkce Beta a Gamma prostřednictvím klasických a nových integrálních nerovností  “ , J. Inequal. Appl.  (nl) , sv.  5, n O  22000, str.  103-165 ( číst online )( str.  107 ).
6. (in) Jesús Guillera a Jonathan Sondow, „  Dvojité integrály a nekonečné produkty pro některou klasickou konstantu prostřednictvím analytických pokračování Lerchova transcendentu  “ , The Ramanujan Journal , sv.  16, n o  3,2008, str.  247-270 ( DOI  10.1007 / s11139-007-9102-0 , arXiv  math / 0506319 ).
7. (in) Karl rawer , Wave Propagation in the Ionosphere , Dordrecht, Kluwer Academic Publishers,1993.
8. From (de) OR Rocktäschel, Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument , University of Technology Dresden ,1922, disertační práce.
9. (de) PE Böhmer, Differenzengleichungen und bestimmte Integrale , Lipsko, Köhler Verlag,1939.
10. (in) Serge Lang , Complex Analysis , Springer , al.  "  GTM  " ( n o  103)1998, 489  s. ( ISBN  978-0-387-98592-3 , číst online ) , s.  418.
11. Paul Heinrich Fuss , matematické a fyzikální korespondence některých známých matematiků XVIII th  století , sv.  II, Petrohrad, Imperial Academy of Sciences ,1843( číst online ) , s.  324-325.
12. (in) Detlef Gronau , „  Proč je funkce gama taková, jaká je?  ” , Teaching Mathematics and Computer Science , vol.  1, n o  1,2003, str.  43-53.
13. G. K. Srinivasan, „  Gamma funkce: eklektický Tour  “, The American Mathematical Monthly , vol.  114, n O  4,2007, str.  297-315 ( DOI  10.1080 / 00029890.2007.11920418 )
14. L. Euler, „  De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt  “ , na adrese http://eulerarchive.maa.org
15. A.-M. Legendre, Cvičení integrálního počtu na různých řádech transcendentních a na kvadraturách , t.  1, Vve Courcier (Paříž),1811( číst online ) , s.  221
16. (in) Jonathan M. Borwein a Robert M. Corless, Gamma and Factorial in the Monthly , 17. března 2017 arXiv : 1703.05349

Podívejte se také

Související články

• Gaussova konstanta
• Zákon gama
• Funkce Beta
• Funkce digamma
• Eliptická funkce gama  (en)
• Neúplná funkce gama
• Multidimenzionální funkce gama
• Funkce Polygamma
• Funkce Trigamma  (cs)
• Chowla-Selbergův vzorec
• Hadjicostasův vzorec
• Stirlingův vzorec
• Bohr-Mollerupova věta
• Speciální funkce
• Hölderova věta

Bibliografie

• (en) Emil Artin , The Gamma Function , Dover ,2015( 1 st  ed. 1964), 48  str. ( číst online )Elementary and Classical, přeloženo z (de) Einführung in die Theorie der Gammafunktion , 1931.
• Jean Dieudonné , Calculus infinitesimal [ detail vydání ]p. 292-296 v ed. Hermann z roku 1968
• (en) Refaat El Attar, Speciální funkce a ortogonální polynomy , Lulu Press,2006, 310  s. ( ISBN  978-1-4116-6690-0 , číst online ) , s.  57-76
• Maurice Godefroy, Gamma funkce: teorie, historie, bibliografie , Gauthier-Villars ,1901( číst online )
• Thomas Joannes Stieltjes , „  O vývoji log Γ (a)  “, J. Math. Pure Appl. , 4 th série, vol.  5,1889, str.  425-466 ( číst online )
• ( fr ) Edmund Taylor Whittaker a George Neville Watson , Kurz moderní analýzy , CUP , sb.  "Cambridge Matematická knihovna",1927( Repr.  1996), 4 th  ed. , 608  s. ( ISBN  0-521-58807-3 , číst online ) , kap.  XII („Funkce Gamma“) , s.  235-264

externí odkazy

• (en) Eric W. Weisstein , „  Gamma Function  “ , na MathWorld
• RA Askey a R. Roy , „  Gamma function  “ , v příručce NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press,2010( ISBN  978-0521192255 )