Lerchova funkce zeta

V matematice , Lerch je zeta funkce je speciální funkce , která zobecňuje Hurwitz je zeta funkci a polylogarithm . Je definován jako součet řady následovně:

{\ displaystyle L (\ lambda, \ alpha, s) = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} \ lambda n} } {(n + \ alpha) ^ {s}}}}

Lerchova funkce zeta souvisí s Lerchovou transcendentní funkcí definovanou vzorcem:

{\ displaystyle \ Phi (z, s, \ alfa) = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {(n + \ alpha) ^ {s}}} }

podle identity:

{\ displaystyle \ Phi (\ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} \ lambda}, s, \ alpha) = L (\ lambda, \ alfa, s)}

Speciální případy

Funkce zeta Hurwitz je speciální případ, daný:

{\ displaystyle \ zeta (s, \ alfa) = L (0, \ alfa, s) = \ Phi (1, s, \ alfa)}

Polylogarithm je zvláštní případ Lerch je zeta funkce, dána vztahem:

{\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z) = z \ Phi (z, s, 1)}

Funkce Riemann zeta je následující speciální případ:

{\ displaystyle \ zeta (s) = \ zeta (s, 1) = \ operatorname {Li} _ {s} (1) = \ Phi (1, s, 1)}

Funkce eta Dirichlet je zvláštní případ, dán vztahem:

{\ displaystyle \ eta (s) = \ Phi (-1, s, 1) = - \ operatorname {Li} _ {s} (- 1)}

Nakonec funkce Legendre chi připouští výraz:

{\ displaystyle \ chi _ {n} (z) = 2 ^ {- n} z \ Phi (z ^ {2}, n, 1/2)}

(en) Ramunas Garunkstis, „ Aproximace funkce Lerch zeta “ , lith. Matematika. J. (nl) , sv. 44,2004, str. 140-144 ( číst online )
Matyáš Lerch , „ Poznámka k funkci ${\ displaystyle {\ mathfrak {K}} (w, x, s) = \ součet \ limity _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {2k \ pi ix}} {\ vlevo ( {w + k} \ vpravo) ^ {s}}}}$ “, Acta Math. , sv. 11,1887, str. 19-24 ( číst online )
(en) M. Jackson, „ O Lerchově transcendentu a základní bilaterální hypergeometrické řadě ${\ displaystyle _ {2} \ psi _ {2}}$ “ , J. London Math. Soc. , sv. 25,1950, str. 189-196 ( DOI 10.1112 / jlms / s1-25.3.189 )