Funkce Hurwitz zeta
V matematice je Hurwitzova zeta funkce jednou z mnoha zeta funkcí .
Je definováno, pro každou hodnotu q parametru, komplexní číslo z ryze kladné reálné části , pomocí následující série , sbíhajícími se směrem k funkce holomorphic na polorovině komplexů s tak, že Re ( y )> 1 :
ζ(s,q)=∑k=0∞(k+q)-s{\ displaystyle \ zeta (s, q) = \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + q) ^ {- s}}.
Podle analytické pokračování , se rozprostírá v meromorfní funkci v komplexní rovině , o jedno pole s = 1 .
ζ(⋅,q){\ displaystyle \ zeta (\ cdot, q)}
ζ(⋅,1){\ displaystyle \ zeta (\ cdot, 1)}je funkce Riemann zeta .
Plné zastoupení
ζ(s,q)=1Γ(s)∫0∞ts-1E-tq1-E-tdt{\ displaystyle \ zeta (s, q) = {\ frac {1} {\ operatorname {\ Gamma} (s)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {s-1 } \ operatorname {e} ^ {- tq}} {1- \ operatorname {e} ^ {- t}}} \, \ mathrm {d} t},
kde Γ označuje funkci gama .
Analytické rozšíření
Funkce sahá do funkce meromorfní, s jedním pólem s = 1 , jednoduchý, se zbytkem rovným 1 .
ζ(⋅,q){\ displaystyle \ zeta (\ cdot, q)}
Laurentův vývoj
Jeho vývoj Laurenta v tomto pólu je
ζ(s,q)=1s-1+∑ne=0∞(-1)nene!yne(q)(s-1)ne{\ displaystyle \ zeta (s, q) = {\ frac {1} {s-1}} + \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \ gamma _ {n} (q) (s-1) ^ {n}}kde koeficienty
yne(q)=limNE→∞{(∑k=0NElnne(k+q)k+q)-lnne+1(NE+q)ne+1},ne∈NE{\ displaystyle \ gamma _ {n} (q) = \ lim _ {N \ až \ infty} \ left \ {\ left (\ sum _ {k = 0} ^ {N} {\ frac {\ ln ^ { n} (k + q)} {k + q}} \ doprava) - {\ frac {\ ln ^ {n + 1} (N + q)} {n + 1}} \ doprava \}, \ qquad n \ in \ mathbb {N}}jsou „zobecněné Stieltjesovy konstanty“ ( obvyklé Stieltjesovy konstanty odpovídají Riemannově zeta funkci).
yne(1){\ displaystyle \ gamma _ {n} (1)}
Odpovídající zobecnění Jensen - Franel vzorce je Hermiteův vzorec :
yne(q)=(12q-lnqne+1)lnneq-i∫0∞dXE2πX-1{lnne(q-iX)q-iX-lnne(q+iX)q+iX}{\ displaystyle \ gamma _ {n} (q) = \ left ({\ frac {1} {2q}} - {\ frac {\ ln q} {n + 1}} \ right) \ ln ^ {n} q- \ mathrm {i} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ operatorname {e} ^ {2 \ pi x} -1}} \ left \ { {\ frac {\ ln ^ {n} (q- \ mathrm {i} x)} {q- \ mathrm {i} x}} - {\ frac {\ ln ^ {n} (q + \ mathrm {i } x)} {q + \ mathrm {i} x}} \ doprava \}}.
Konstanta indexu 0 je opakem funkce digamma :
y0(q)=-ψ(q)=-Γ′(q)Γ(q){\ displaystyle \ gamma _ {0} (q) = - \ psi (q) = - {\ frac {\ gama '(q)} {\ gama (q)}}}.
Hurwitzův vzorec
Hurwitzův vzorec je následující věta, platná pro 0 < q <1 a Re ( s )> 0 , stejně jako pro q = 1 a Re ( s )> 1 :
ζ(1-s,q)=Γ(s)(2π)s[E-iπs/2F(q,s)+Eiπs/2F(-q,s)]{\ displaystyle \ zeta (1-s, q) = {\ frac {\ gama (s)} {(2 \ pi) ^ {s}}} \ doleva [{\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} \ pi s / 2} F (q, s) + {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ pi s / 2} F (-q, s) \ vpravo] }nebo
F(q,s): =∑k=1∞exp(2πikq)ks=Lis(E2πiq){\ displaystyle F (q, s): = \ součet _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ exp (2 \ pi {\ rm {i}} kq)} {k ^ {s} }} = {\ mbox {Li}} _ {s} ({\ rm {e}} ^ {2 \ pi {\ rm {i}} q})},
Li s je funkce polylogaritmu .
Funkční rovnice
Funkční rovnice se týká hodnoty zeta funkce na levé - a pravé straně - komplexní roviny. Pro celá čísla 1≤m≤ne,{\ Displaystyle 1 \ leq m \ leq n,}
ζ(1-s,mne)=2Γ(s)(2πne)s∑k=1necos(πs2-2πkmne)ζ(s,kne){\ displaystyle \ zeta \ left (1-s, {\ frac {m} {n}} \ right) = {\ frac {2 \ Gamma (s)} {(2 \ pi n) ^ {s}}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ cos \ left ({\ frac {\ pi s} {2}} - {\ frac {2 \ pi km} {n}} \ right) \; \ zeta \ left (s, {\ frac {k} {n}} \ right)}zůstává v platnosti pro všechny hodnoty s .
Taylorův sériový vývoj
Dílčí derivací funkce zeta je Shefferova sekvence :
∂∂qζ(s,q)=-sζ(s+1,q){\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné q}} \ zeta (s, q) = - s \ zeta (s + 1, q)}.
To znamená, že Taylorova řada může být psána takto:
ζ(s,X+y)=∑k=0∞ykk!∂k∂Xkζ(s,X)=∑k=0∞(s+k-1s-1)(-y)kζ(s+k,X){\ displaystyle \ zeta (s, x + y) = \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {y ^ {k}} {k!}} {\ frac {\ částečné ^ {k }} {\ částečné x ^ {k}}} \ zeta (s, x) = \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} {s + k-1 \ vyberte s-1} (- y) ^ {k} \ zeta (s + k, x)}.
Fourierova transformace
Diskrétní Fourierova transformace zeta funkce Hurwitz s ohledem na pořadí, s je Legendrova chi funkce .
Vztah k Bernoulliho polynomům
Vzhledem k tomu, že s pojmem F zavedeným výše je Fourierova řada Bernoulliho polynomů (pro a ):
0<X<1{\ displaystyle 0 <x <1}ne∈NE∗{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}
Bne(X)=-neΓ(ne)(2π)ne((-i)neF(X,ne)+ineF(-X,ne)){\ displaystyle B_ {n} (x) = - n {\ frac {\ Gamma (n)} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ left ((- - \ mathrm {i}) ^ {n} F (x, n) + \ mathrm {i} ^ {n} F (-x, n) \ vpravo)},
Hurwitzův vzorec dává (pro 0 < x <1 a ):
ne∈NE{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}
ζ(-ne,X)=-Bne+1(X)ne+1{\ displaystyle \ zeta (-n, x) = - {B_ {n + 1} (x) \ nad n + 1}}.
Vztah s Dirichletovými L funkcemi
Nastavením celé číslo Q ≥ 1 , je funkce Dirichlet L pro znaky modulo Q jsou lineární kombinace £ ( s , q ), kde q = k / Q a k = 1, 2, ..., Q .
Přesněji řečeno, ať χ je Dirichletův charakter mod Q . Přidružená funkce Dirichlet L je zapsána:
L(s,χ)=∑ne=1∞χ(ne)nes=1Qs∑k=1Qχ(k)ζ(s,kQ){\ displaystyle L (s, \ chi) = \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ chi (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {1} { Q ^ {s}}} \ sum _ {k = 1} ^ {Q} \ chi (k) \; \ zeta \ left (s, {\ frac {k} {Q}} \ right)}.
Z Plancherelovy inverze odvodíme pro jakoukoli neredukovatelnou frakci :
k/Q∈]0,1]{\ displaystyle k / Q \ in \ left] 0,1 \ right]}
ζ(s,kQ)=Qsφ(Q)∑χχ¯(k)L(s,χ){\ displaystyle \ zeta \ left (s, {\ frac {k} {Q}} \ right) = {\ frac {Q ^ {s}} {\ varphi (Q)}} \ sum _ {\ chi} { \ overline {\ chi}} (k) L (s, \ chi)},
součet přes všechny znaky Dirichlet mod Q .
Vztah k funkci polygammy
Hurwitzova zeta funkce zobecňuje funkci polygammy :
ψ(m)(z)=(-1)m+1m!ζ(m+1,z){\ displaystyle \ psi ^ {(m)} (z) = (- 1) ^ {m + 1} m! \ zeta (m + 1, z)}.
Vztah s Lerchovou transcendentní funkcí
Lerch transcendentní zobecňuje Hurwitz zeta funkce:
Φ(z,s,q)=∑k=0∞zk(k+q)s{\ displaystyle \ Phi (z, s, q) = \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {k}} {(k + q) ^ {s}}}}a tak
ζ(s,q)=Φ(1,s,q){\ displaystyle \ zeta (s, q) = \ Phi (1, s, q)}.
Vztah k funkci Jacobi theta
Pokud je tedy Jacobiho theta funkce
ϑ(z,τ){\ displaystyle \ vartheta (z, \ tau)}
∫0∞[ϑ(z,it)-1]ts/2dtt=π-(1-s)/2Γ(1-s2)[ζ(1-s,z)+ζ(1-s,1-z)]{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [\ vartheta (z, {\ rm {i}} t) -1 \ right] t ^ {s / 2} {\ frac {\ mathrm { d} t} {t}} = \ pi ^ {- (1-s) / 2} \ Gamma \ left ({\ frac {1-s} {2}} \ right) \ left [\ zeta (1- s, z) + \ zeta (1-s, 1-z) \ vpravo]}zůstává v platnosti pro Re s > 0 a necelé číslo komplexu z .
Pro z = n celé číslo je toto zjednodušeno na
∫0∞[ϑ(ne,it)-1]ts/2dtt=2 π-(1-s)/2 Γ(1-s2)ζ(1-s)=2 π-s/2 Γ(s2)ζ(s){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [\ vartheta (n, {\ rm {i}} t) -1 \ right] t ^ {s / 2} {\ frac {{\ rm {d}} t} {t}} = 2 \ \ pi ^ {- (1 s) / 2} \ \ Gamma \ vlevo ({\ frac {1-s} {2}} \ vpravo) \ zeta ( 1-s) = 2 \ \ pi ^ {- s / 2} \ \ Gamma \ left ({\ frac {s} {2}} \ right) \ zeta (s)}kde ζ je Riemannova zeta funkce. Toto rozlišení podle celého z odpovídá za to, že funkce Jacobi theta konverguje k Diracově funkci δ pro z, když t → 0 .
Aplikace
Hurwitzova zeta funkce se objevuje hlavně v teorii čísel , ale také v aplikované statistice ; viz Zipfův zákon a Zipf-Mandelbrotův zákon (en) .
Reference
(en) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článků s
anglickým názvem
„ Hurwitz zeta function “ ( viz seznam autorů ) a
„ Stieltjesovy konstanty “ ( viz seznam autorů ) .
-
Viz například toto opravené cvičení na Wikiversity .
-
Viz například Apostol 1976 , str. 255, nebo toto cvičení opraveno na Wikiversity .
-
(in) Bruce C. Berndt , „ Na funkci zeta Hurwitz “ , Rocky Mountain J. Math. , sv. 2, n O 1,1972, str. 151-158 ( číst online ).
-
(en) Iaroslav V. Blagouchine, „ Věta pro hodnocení uzavřené formy první zobecněné Stieltjesovy konstanty při racionálních argumentech a některých souvisejících sumacích “ , J. Number Theory , sv. 148,2015, str. 537-592 ( arXiv 1401.3724 )
.
-
Apostol 1976 , str. 257-259.
-
Viz například Apostol 1976 , str. 264, nebo toto cvičení opraveno na Wikiversity .
Podívejte se také
Související článek
Operátor Gauss-Kuzmin-Wirsing
Bibliografie
- (en) Tom M. Apostol , Úvod do teorie analytických čísel , Springer ,1976( číst online ) , kap. 12
-
(en) Milton Abramowitz a Irene Stegun , Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami [ podrobnosti vydání ] ( číst online ), § 6.4.10
- (en) Djurdje Cvijovic a Jacek Klinowski, „ Hodnoty Legendre chi a Hurwitz zeta fungují na základě racionálních argumentů “ , Math. Comp. , sv. 68,1999, str. 1623-1630 ( číst online )
Externí odkaz
(en) Eric W. Weisstein , „ funkce Hurwitz Zeta “ , na MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">