Heronův vzorec

V euklidovské geometrii je vzorec Heron , pojmenoval Heron Alexandrie , umožňuje vypočítat plochu $S$ v každém trojúhelníku tím, že zná pouze na délky $o$ , $b$ a $c$ ve svých třech stranách:

{\ displaystyle S = {\ sqrt {p (pa) (pb) (pc)}} \ quad {\ text {with}} \ quad p = {\ frac {a + b + c} {2}}.}

Demonstrace

Heron of Alexandria uvádí a demonstruje svou větu ve svém pojednání The Metrics . Jeho důkaz je založen na vlastnostech kruhu zapsaného do trojúhelníku a na využití délkových poměrů v podobných trojúhelnících .

Trigonometrické vlastnosti umožňují kratší důkaz této rovnosti.

Heronův vzorec lze tedy algebraicky odvodit ze zákona kosinů .

Demonstrace pomocí kosinusového zákona

Kosinová věta je napsáno ${\ displaystyle 2ab \ cos \ gamma = a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2},}$

připojil se ke klasickému vzorci pro plochu trojúhelníku danou tímto úhlem a sousedními stranami: ${\ displaystyle {\ begin {aligned} S & = {\ frac {ab} {2}} \ sin \ gamma \\ & = {\ frac {2ab} {4}} {\ sqrt {1- \ cos ^ { 2} \ gamma}} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {2ab (1+ \ cos \ gamma) 2ab (1- \ cos \ gamma)}} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(2ab + a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) (2ab-a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2})}} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {\ left ((a + b) ^ {2} -c ^ {2} \ right) \ left (c ^ {2} - (ab) ^ {2} \ right)}} \\ & = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a + b + c) (a + bc) (c + ab ) (c-a + b)}}. \ end {zarovnáno}}}$

Poté si všimněte, $p = a + b + c / 2$ poloviční obvod , uzavíráme: ${\ displaystyle S = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {2p (2p-2c) (2p-2b) (2p-2a)}} = {\ sqrt {p (pc) (pb) ( pa)}}.}$

Existuje mnoho dalších demonstrací: viz zejména článek „ Zákon kotangensů “.

K dispozici je také jednoduchý způsob, jak najít vzorec Heron úvahami na formu, která polynom $S 2$ musí přijmout tím, že využívá vlastnosti plochých trojúhelníků, vlastnosti homogenity a symetrie.

Hledání dimenzionální analýzy

Plocha trojúhelníku závisí na délce 3 stran: $S ( a , b , c )$ a tyto tři proměnné mají přesně stejnou důležitost (existuje symetrie).

Pokud předpokládáme, že čtverec oblasti je polynomem v $( a , b , c )$ , je tento polynom symetrický. Podle rozměrové analýzy víme, že tento polynom má stupeň 4, protože je to čtverec oblasti, a že polynom je homogenní.

Kromě toho je oblast zrušena pouze tehdy, když je trojúhelník plochý, tj. Když se součet délek dvou stran rovná délce třetí. Existují tedy tři způsoby, jak polynom zrušit.

Polynom $S 2$ je pak ve tvaru

{\ displaystyle S ^ {2} (a, b, c) = k \ krát (b + ca) (a + cb) (a + bc).}

Nyní, když $S 2$ je homogenní symetrický stupně 4, $k$ je symetrický a homogenní polynom stupně 1 ve tvaru $k = C ( a + b + c ),$ přičemž $C$ má být určena skutečná konstanta.

Abychom našli $C$ , podíváme se na konkrétní případ, kterým je rovnoramenný pravý trojúhelník. Byla pak $S = 2 /2$ , $A = B$ a , což ${\ displaystyle c = a {\ sqrt {2}}}$

{\ displaystyle {\ frac {a ^ {4}} {4}} = C \ levý (2a + {\ sqrt {2}} a \ pravý) \ levý (2a - {\ sqrt {2}} a \ pravý ) \ left ({\ sqrt {2}} a \ right) ^ {2} = C (4a ^ {2} -2a ^ {2}) (2a ^ {2})}

proto $C = 1/16$ .

Takže máme . ${\ displaystyle S ^ {2} (a, b, c) = {\ frac {1} {16}} (a + b + c) (b + ca) (a + cb) (a + bc)}$

Poté najdeme vzorec demonstrovaný výše trigonometrií nahrazením $p$ za . ${\ displaystyle {\ frac {a + b + c} {2}}}$

Alternativní vzorce

Použití symetrických polynomů

Podle výše uvedených přechodných výpočtů máme také: ${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} 16 \, S ^ {2} & = (a + b + c) (a + bc) (- a + b + c) (a-b + c) \\ & = 2 ( a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}) - (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ { 4}) \\ & = (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} -2 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} ). \ End {zarovnáno}}}$ ${\ displaystyle S = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} -2 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})}}.}$

Pro digitální implementaci

Heronův vzorec představuje nestabilitu během numerického výpočtu, která se projevuje u trojúhelníkových trojúhelníků, to znamená, že jedna jeho strana je ve srovnání s ostatními velmi malá (srovnání malých a velkých hodnot).

Výběrem jmen stran tak, aby a > b > c , a reorganizací termínů tak, aby se optimalizovaly přidané nebo odečtené veličiny, William Kahan navrhuje stabilnější vzorec:

${\ displaystyle S = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {[a + (b + c)] \, [c- (ab)] \, [c + (ab)] \, [a + (bc)]}}.}$

Zobecnění

Ve sférické geometrii

Ve sférické trigonometrii existuje vzorec podobný Heronovu vzorci, který umožňuje odvodit sférický trojúhelník z jeho stran: je dán Huilierovou větou .

Pro čtyřúhelníky

Podobné formulace existují pro určení oblasti čtyřúhelníku , ale pokud není zapisovatelný , jsou zapotřebí další údaje o úhlech nebo úhlopříčkách. Viz: Formula Bretschneider (in) a Formula Brahmagupta .

Pro čtyřstěn

Objem čtyřstěnu je dán jako funkce délky jeho okrajů Cayley-Mengerovým determinantem (en) .

Poznámky a odkazy

Podrobná studie demonstrace viz (v) Christy Williams, Crystal Kayla Holcomb a Gifford, „ Heronův vzorec pro trojúhelníkové aery “ na University of Kentucky .
. Matematická cvičení -CSK - 2017/2018 , cvičení 14, na webu animath.fr
(in) W. Kahan, „ přepočet oblasti a úhlů trojúhelníku podobného jehle “ , na UC Berkeley ,2014.
Viz také „ Cayley-Mengerovy determinanty “ na mathafou.free.fr .

Podívejte se také

Související články

externí odkazy

Michel Hort, „ Héronův vzorec “ , na le-triangle-et-ses-calculs.ch
(en) Eric W. Weisstein , „ Heronův vzorec “ , na MathWorld
(en) A. Bogomolny, „ heronův vzorec “ , na Cut uzel