Délka

Na rozdíl od vektoru posunutí je míra délky křivočarou integrální mírou. Klíčové údaje

SI jednotky	Metr
Ostatní jednotky	viz jednotka délky
Dimenze	L
Příroda	Velikost skalární rozsáhlá
Obvyklý symbol	$\ Ell$ , $l$ nebo $L$
Odkaz na jiné velikosti	${\ displaystyle \ ell = \ int _ {\ mathrm {A}} ^ {\ mathrm {B}} \ mathrm {d} \ ell}$

V geometrii je délka měřítkem křivky v prostoru, ve kterém je definován pojem vzdálenosti. Délka je lineární jednorozměrná míra, na rozdíl od oblasti, která je dvojrozměrnou mírou, a objem, který je trojrozměrný. Délka křivky by neměla být zaměňována se vzdáleností mezi dvěma body, která je obvykle menší než délka křivky, která je spojuje, přičemž kratší vzdálenost je vzdálenost měřená po přímce.

Délka je fyzikální veličina a prostorový rozměr . Je základní jednotkou téměř v každém systému jednotek . Jedná se zejména o jedinečnou základní dimenzi systému geometrických jednotek , která představuje jedinečnost neexistence jiné základní jednotky.

Symbol délky je „ L “ ( velké písmeno „L“ ). Všimněte si, že na rozdíl od toho je symbol šířky „ l “ ( malé písmeno „l“ ).

Úvod

Historický

Měření délek se pravděpodobně datuje do počátků neolitu a související sedentarizace : pokud může být civilizace lovce a sběrače spokojena s odhadováním jejích cest během denní procházky (tedy o jednotku času), měření délky se stává nezbytným, pokud jde o geometrický odhad práv k polím nebo diskusi o prodejní ceně látky.

První míry délky, které najdeme v historických stopách, jsou spojeny s člověkem, „míra všeho“: loket pro míry délky (zejména tkanin), deset stop dlouhý pól pro měření , tisíc dvojitých kroků ( římská míle) ) pro měření vzdálenosti. Tyto základní jednotky se zjevně liší od člověka k člověku nebo od populace k populaci a byly velmi proměnlivé v čase a prostoru, i když představovaly zhruba stejná množství: dvojitý krok d 'jednotlivec o hodnotě jeho výšky, římská míle 1479 m předpokládá, že římský voják je sotva 1,50 m ...

Tyto základní jednotky navíc mohly přijímat násobky nebo dílčí násobky podle víceméně konvenčních hodnot: palec je dvanáctina nohy a je čtvrtina dlaně atd.

Délka a geometrie

Základní představou je vzdálenost mezi dvěma body, kterou lze měřit přímo pravítkem nebo řetězem geodeta . Dalším krokem v abstrakci je odhadnout délku zakřivené čáry, což se provede uložením zákrutů a obratů této křivky na pružné, ale neroztažitelné lano, a poté změřením délky tohoto lana při roztažení. V přímém segmentu: takto měříme obvod hlavy.

Pro geodeta má délka cesty formu součtu základních délek, přičemž každá část cesty je dostatečně mírně zakřivená, aby ji bylo možné přirovnat k malému přímočarému segmentu. Pokud se zakřivení dráhy stane příliš velkým, stačí najít menší segmenty a najít uspokojivé přiblížení.

Je to postup, který je na spodní části nápravy teoretických křivek (kružnice, elipsy, atd), jejichž cílem není pro měření ale tentokrát k výpočtu se délka oblouku , křivky zvané následně zakřivené. Opravitelný , ve formě limitu součtu nekonečna nekonečně malých segmentů. Od dob Archimeda věděli Řekové, jak vypočítat s dobrou aproximací obvod kruhu metodou vepsaných nebo dříve vepsaných polygonů. Vývoj analytické geometrie umožnil rozšířit tento přístup na stále složitější křivky.

Délky v moderní fyzice

V geometrii a klasické fyzice je pojem délka chápán jako něco, co je vlastní vesmíru a je nezávislé na pozorovateli. Ačkoli non-Euclidean geometrie byla známá již od počátku XIX th století , nikdo už si představit, že fyzický prostor by mohl být něčím jiným než Euclidean prostoru před koncem XIX th století .

Fyzika zjistila speciální relativitou , že měření vzdálenosti mezi dvěma body nebo délky objektu ve skutečnosti záviselo na pozorovateli, a proto nebylo skutečným měřítkem. Avšak i v obecné relativitě se domníváme, že prostor obklopující pozorovatele se mu jeví jako lokálně euklidovský. Ale i tento známý rámec zpochybňuje kvantová mechanika , kde vidíme, že pro vzdálenosti řádově Planckovy délky přestává měření vzdálenosti mít fyzický význam a dimenze čas a prostor nelze ani snadno rozlišit v co se pak jeví jako druh nediferencované kvantové pěny .

Fyzická velikost

Délka, vzdálenost, posunutí, ...

Zneužíváním jazyka se člověk také kvalifikuje jako „délka“ fyzické veličiny, která obecně překládá prostorové rozšíření něčeho, kvantitu podle dimenze prostoru. Prostorové rozšíření však může pokrývat zcela odlišné případy, které nejsou všechny označeny výrazem „délka“:

Prostorové prodloužení mezi dvěma body se konkrétně nazývá vzdálenost . Je to délka úsečky spojující tyto dva body.
Geometricky je délka objektu skalární a obecně měří jeho prostorové prodloužení podél největší z jeho rozměrů. Je to obvykle jeho maximální průměr , který se může vyskytovat v jakékoli orientaci; ale pokud objekt představuje přirozené osy, bude „délka" měřena na projekci jedné z těchto os, a pokud objekt představuje přirozený směr postupu, bude „délka" vzata s ohledem na tuto osu. „Délka“ kluzáku je tedy často menší než jeho rozpětí křídel .
Ve fyzice fyzických bodů vede prostorové rozšíření posunutí mezi dvěma situacemi k vektoru posunutí bodu v prostoru, který je identifikován prostřednictvím směru (bezrozměrný) a vzdálenosti (který má rozměr délky). Podobně poloha bodu odpovídá posunutí, kterému je třeba projít, aby se dostal z bodu původu do uvažovaného bodu.
V mechanice deformovatelných těles je každý bod charakterizován svým vlastním posunutím vzhledem k referenční situaci.

V těchto posledních dvou bodech bude derivace s ohledem na čas kvalifikována jako rychlost . Na prvních dvou si povíme více o růstu .

Pojem „délka“

Termín „délka“ je spíše vyhrazen pro geometrické měření objektu, vzdálenosti nebo cesty. Taková délka je pak rozsáhlým skalárem (celková délka vlaku je součtem délek jeho složek). Podle definice je délka aditivní veličinou: délka cesty je součtem délek jejích částí. Je to navíc vždy kladné množství.

„ Posun “ je na druhou stranu vektorová veličina (charakterizovaná směrem a normou) a intenzivní (je definována v každém bodě a nelze ji přidat z jednoho bodu do druhého).

Podél křivky je elementární posunutí intenzivní veličina, jejíž integrál v celém segmentu může vést k: ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {\ mathrm {d} \ ell}}}$

na délku křivky: ${\ displaystyle L = \ int _ {A} ^ {B} \ mathrm {d} \ ell}$
posun mezi jeho dvěma konci: ${\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} = \ int _ {A} ^ {B} {\ overrightarrow {\ mathrm {d} \ ell}}}$

V obou případech je tedy integrál rozsáhlá veličina (skalární nebo vektorová). Je však jasné, že například na uzavřené křivce může „délka“ měřit obvod tělesa, i když „posun“ bude nutně nulový mezi počátečním a koncovým bodem.

Definice

V analytické geometrii lze některé křivky definovat pomocí rovnice . Poté můžeme vypočítat délku oblouku výpočtem integrálu .

Délka je fyzická míra vzdálenosti. V obecném případě je délka trajektorie mezi bodem O a bod T je křivočarý integrál ze na základní posunutí vektoru cestování bodu podél této dráhy mezi dvěma body. Pokud má bod P souřadnice v ortonormálním souřadnicovém systému , bude délka jeho trajektorie: ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left [x (\ tau), y (\ tau), z (\ tau) \ doprava]}$

{\ displaystyle L (t) = \ int _ {o} ^ {t} \ vlevo \ Vert {\ overrightarrow {\ částečné P \ over \ částečné \ tau}} \ vpravo \ Vert \ mathrm {d} \ tau = \ int _ {o} ^ {t} {\ sqrt {\ left [{\ částečné x \ over \ částečné \ tau} \ pravé] ^ {2} + \ left [{\ částečné y \ over \ částečné \ tau} \ vpravo] ^ {2} + \ vlevo [{\ částečné z \ přes \ částečné \ tau} \ pravé] ^ {2}}} \, \ mathrm {d} \ tau}

Je možné překonfigurovat křivku projetou bodem P podle ujeté délky : $\ Ell$

{\ displaystyle \ ell = L (t) \ qquad}

{\ Displaystyle \ quad P (t) = P (L (t)) = P (\ ell)}

S tímto nastavením je částečná derivace polohy bodu vzhledem k jeho křivkové úsečce normalizovaný vektor, tečný ke křivce a délka trajektorie je přímo dána křivočarým integrálem :

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ částečné P \ over \ částečné \ ell}}. \ mathrm {d} \ ell = {\ overrightarrow {\ mathrm {d} \ ell}} \ qquad}

{\ displaystyle \ quad L (t) = \ int _ {o} ^ {t} \ vlevo \ Vert {\ overrightarrow {\ částečné P \ over \ částečné \ ell}} \ vpravo \ Vert \ mathrm {d} \ ell = \ int _ {o} ^ {t} {\ overrightarrow {\ částečné P \ over \ částečné \ ell}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {d} \ ell}}}

Jednotka

Mezinárodní jednotka pro měření délky je metr (zkráceně: m). V mezinárodním systému jednotek lze také vyjádřit:

ve zlomcích metru : decimetr (dm), centimetr (cm), milimetr (mm), mikrometr (µm);
nebo v násobcích metrů: dekametr (přehrada), hektometr (hm), kilometr (km).

Mimo mezinárodní systém existují jednotky délky, konkrétně palec , stopa a míle .

Použití délky

Délka oblouku

V geometrii se často snažíme vypočítat délku křivek . To umožňuje například určit rozměry objektu z plánu a umožnit jeho konstrukci. Chcete-li například postavit válcovou nádrž, je nutné znát délku plechu, který se bude válcovat, aby se vytvořil plášť (centrální tělo).

Délka objektu

Délka objektu je vzdálenost mezi jeho dvěma nejvzdálenějšími konci. Je-li objekt nitkový nebo krajkový, jeho délka odpovídá délce plně vyvinutého objektu.

Délka objektu je kolmá na jeho šířku . U záznamu je symbol šířky „l“ ( malé písmeno „l“ ); ale tato představa nemá žádnou zřetelnou matematickou realitu.

Délka objektu umožňuje ocenit jeho velikost. Délka je prostorová dimenze , kterou lze měřit pomocí jednotek , jako jsou jednotky identifikované Mezinárodním systémem jednotek : metr a jeho násobky nebo dílčí násobky.

Délka fyzického objektu není vnitřní vlastností; to může záviset na teplotě, tlaku, rychlosti atd.

Příklad měření délky

Změřte stránku papíru pomocí pravítka složeného ze 3 decimetrů se stupnicí v milimetrech (mm); stránka je 21 centimetrů široká a 29,7 centimetrů dlouhá.

Souhrnně si povšimneme: šířka = 21 cm = 21 × 1 cm = 21 × 0,01 × 1 m = 0,21 m a délka = 29,7 cm = 29,7 × 1 cm = 29,7 × 0,01 × 1 m = 0,297 m .

Není možné měřit tloušťku plechu pomocí stejného pravítka. Na druhou stranu můžeme změřit tloušťku stohu 500 listů (jeden balík ) a zjistit, že 500 × tloušťka = 5 cm . Lze odvodit, že tloušťka plechu je desetina milimetru.

Měřicí nástroj

Pro malé délky - mezi 1 dm a 1 µm - se používají nástroje jako posuvné měřítko nebo mikrometr "Palmer" .

Pod mikrometru - nanometrů (nm), pikometr (pm), femtometer (FM) -, lze dále používat pohled na měření objekt ( difrakční problém , na vlnové délce ve viditelném světle bytí řádově 500 nm ). Poté je nutné použít další záření, například elektronový paprsek .

Mluvíme spíše o „vzdálenosti“ mezi dvěma body, abychom určili míru délky úsečky oddělující tyto dva body.

„Vzdálenost“ mezi dvěma body, které nejsou příliš blízko ani příliš daleko od sebe - mezi 1 mm a několika metry - se měří přímým pravítkem ( měřicí tyčí ), které lze odstupňovat. Abychom změřili objekt, spojíme dva konce objektu s body na pravítku. Předmět a pravidlo musí být samozřejmě přísné a nedeformovatelné. Lze také použít lano nebo metr ( metr ), který umožňuje snadné skladování a přepravu nástroje; pak je nutné zajistit, aby byla páska pro měření dobře napnutá a její pružnost nesmí být příliš velká.

Na velké vzdálenosti - mezi 1 ma několika km - se používají optické jevy, jako je rozdíl paralaxy nebo měřítko vytvořené vzdáleností pro stadimetrický dálkoměr , nebo dokonce trigonometrie , s technikou triangulace . Používají se také vlnové jevy , obvykle doba zpáteční vlny: zvuková vlna pro sonar , světelná vlna pro laserový dálkoměr , rádiová vlna pro radar . V seismologie , rozdíl v rychlosti šíření vln P a S se používá pro určení vzdálenosti od hypocenter dusičnanu amonného zemětřesení .

Přístroje pro měření délky

Astronomická měření

Žebříku kosmické vzdálenosti se provádí pomocí měření času potřebný pro lehké nebo obecněji elektromagnetické vlny cestovat přímky mezi dvěma objekty, nebo jevu rudý posuv . Používáme jednotky jako:

astronomická jednotka (ua, au), která se rovná vzdálenosti od Země ke Slunci je asi 8 světelných minut, tedy s přihlédnutím k rychlosti světla , asi 150 milionů kilometrů;
světelný rok (al), vzdálenost, kterou urazí světlo v průběhu roku, nebo přibližně 10.000 miliard kilometrů;
parsec (pc), což je vzdálenost, ze které Slunce-Země vzdálenost jeví jako oblouku jedné sekundy ; parsec má hodnotu asi 3,26 al .

Další významy délky

Délka může v určitých situacích představovat trvání, jako v délce dnů, nebo ve výrazu „celý den“, což znamená během celého dne, nebo v „přetahování do délky“, což znamená trvat příliš dlouho.

V informatice odpovídá délka slova napsaného v jakékoli abecedě počtu písmen, která slovo tvoří. Podobně délka řetězce znaků odpovídá počtu znaků, které tvoří řetězec.

Podívejte se také

Související články

Mezinárodní systém jednotek

Britský imperiální systém

Staré jednotky délky

Jiné délkové jednotky

Námořní míle

Poznámky a odkazy

National Physical Laboratory, „ Dějiny Délka měření “.
Platón , Protagoras .