Ideografie

Ideography ( Begriffsschrift ) je plně formalizovaný jazyk vynalezl logik Gottlob Frege a jeho cílem je představovat dokonalý, takže matematické logiky .

Úvod

Projekt plně formalizovaného jazyka není nový: Leibniz vyvinul jeden, který neuspěl, pod názvem univerzální charakteristiky .

Zrození ideografie

První publikací o ideografii je text Idéographie ( Begriffsschrift - Eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache of reinen Denkens ) publikovaný v roce 1879 . Frege pokračoval v práci na ideografii v The Foundations of Arithmetic ( Die Grundlagen der Arithmetik , 1884 ).

Grafické znázornění ideografie

Tento jazyk používá plán jako pracovní prostor a není omezen na linii (jako dnešní logika, založená na Principia Mathematica od Bertranda Russella a Alfreda North Whiteheada, který je na něm závislý). Tento jazyk je dnes nepoužívaný, i když po něm zůstávají stopy, například v symbolu negace „¬“, následku „ ⊢ “ nebo tautologického modelování „⊨“.

Ideografie	Význam	Vysvětlení
─A	A je návrh , logicky ho potvrzujeme	Znamená něco, co má význam a lze jej považovat za pravdivý nebo nepravdivý, vodorovná čára se nazývá řádka obsahu
┬─A	A je také výrok, vyjadřujeme jeho logickou negaci	A je popřená věta, ale pozor, nenapsali jsme, že A byla nepravdivá
├─A	A je tautologie	A je návrh - takže A něco znamená - a navíc A je pravda, svislá čára se nazývá čára úsudku
├┬─A	A je rozpor	A je návrh a navíc A je nepravdivé
─┬─B └─A nebo ─┬┬─A └┬─B	A znamená B	Implikace je Frege popsána jako B nebo ne A, jedná se o klasickou logickou implikaci, viz níže
─┬──B └┬─A	žádné A neznamená B, buď A nebo B.	Vzhledem k horní linii máme B nebo ne A, buď B nebo A.
─┬┬─B └┬─A	(ne A) znamená (ne B)
─┬┬─B └──A	A neznamená žádné B nebo žádné (A a B)	Je mylné, že A a ne B
┬┬──B └┬─A	ne (ne A znamená B)	ne (A nebo B)
┬┬┬─B └──A	ne (A znamená ne B)	A a B
┬┬┬┬─A │ └─B └─┬─B └─A	A odpovídá B
── A ≡ B	A a B mají stejný obsah	Musíme rozlišovat logickou rovnocennost identity obsahu

Základní pojmy	Frege notace	Moderní notace
Rozsudek	${\ displaystyle \ vdash A, \ Vdash A}$	${\ displaystyle p (A) = 1}$ ${\ displaystyle p (A) = i}$
Účast		${\ displaystyle B \ rightarrow A}$ ${\ displaystyle B \ supset A}$
Univerzální kvantifikace		${\ displaystyle \ forall x \ colon F (x)}$
Existenční kvantifikace		${\ Displaystyle \ sim \ forall x \ colon \ sim F (x)}$ ${\ displaystyle \ existuje x \ dvojtečka F (x)}$
Rovnocennost / totožnost	${\ displaystyle A \ equiv B}$	A ↔ B ${\ displaystyle A \ equiv B}$ $A = B$

Důsledek vyjadřuje Frege, takže když máme dvě tvrzení A a B, máme 4 případy:

A je uplatněno a B je uplatněno
A je uplatněno a B je zamítnuto
A je zamítnuto a B je uplatněno
A je zamítnuto a B je zamítnuto

Z implikace B vyplývá, že A (B⊃A) popírá třetí případ, jinými slovy je nepravdivé, že máme jak B true, tak A false.

Ideografie je postavena na implikaci, která usnadňuje použití pravidla odloučení, tj. Pokud A je pravda a pokud A znamená B je pravda, pak B je také pravda (A ∧ (A⊃B)) ⊃ B.

Obsahuje univerzální kvantifikátor ∀, kódovaný malou prohlubní převyšovanou gotickým písmenem, které nahrazuje řádek ─ (není k dispozici v unicode). Logický čtverec je také přítomen.

Obsahuje také definici zakódovanou v ideografii následujícím znakem unicode: ╞═.

Překonání logiky Frege

Axiomatizovaná prezentace logiky ve Frege, která je založena na ideografii používané mimo jiné v základních zákonech aritmetiky ( Grundgesetze der Arithmetik ), byla Russellovým paradoxem narušena . Obsahuje kromě verze z roku 1879 zákon V, který vede k rozporu jako ∃x (F (x) ∧¬F (x)). Ideografie z roku 1879 a věty Grundgesetze der Arithmetik používající tento zákon V jsou stále platné.

Tento zákon V vyjadřuje, že dvě rozšíření pojmů jsou identická, pokud mají stejné případy pravd, to znamená, jak píše Frege v základních zákonech ἐF (ε) = ἀG (α) = ∀x (F (x) = G (x)), která zavádí ekvipotenci (dokonce kardinální) mezi množinou rozšíření pojmů a pojmem, což je v rozporu se skutečností, že sada má kardinála striktně nižšího než je sada jejích podsestav. Důsledkem tohoto zákona V je navíc to, že jakýkoli koncept připouští rozšíření, včetně těch excentrických, jako je tento, „aby byl rozšířením konceptu, pod který člověk nespadá“, což je vyjádřeno v ideografii základních zákonů jako no. x = εF ∧ ¬F (x), vede k paradoxu holiče .

Kalkul ve Fregeově práci

Frege uvedl, že devět jeho tvrzení jsou axiomy , a ospravedlnil je neformálním argumentem, že vzhledem k jejich zamýšlenému významu vyjadřují zjevné pravdy. Tyto axiomy, vyjádřené v současné notaci, jsou:

${\ displaystyle \ vdash \ \ A \ rightarrow \ left (B \ rightarrow A \ right)}$
${\ displaystyle \ vdash \ \ \ vlevo [\ A \ rightarrow \ left (B \ rightarrow C \ right) \ \ right] \ \ rightarrow \ \ left [\ \ left (A \ rightarrow B \ right) \ rightarrow \ left (A \ rightarrow C \ right) \ \ right]}$
${\ displaystyle \ vdash \ \ \ vlevo [\ D \ rightarrow \ left (B \ rightarrow A \ right) \ \ right] \ \ rightarrow \ \ left [\ B \ rightarrow \ left (D \ rightarrow A \ right) \ \ že jo]}$
${\ displaystyle \ vdash \ \ \ vlevo (B \ rightarrow A \ right) \ \ rightarrow \ \ left (\ lnot A \ rightarrow \ lnot B \ right)}$
${\ displaystyle \ vdash \ \ \ není \ není \ A pravá šipka A}$
${\ displaystyle \ vdash \ \ A \ rightarrow \ lnot \ lnot A}$
${\ Displaystyle \ vdash \ \ \ doleva (c = d \ pravá) \ pravá šipka \ levá (f (c) = f (d) \ pravá)}$
${\ displaystyle \ vdash \ \ c = c}$
${\ displaystyle \ vdash \ \ \ vše af (a) \ rightarrow \ f (c)}$

(1) - (3) řídí materiální implikaci , (4) - (6) negaci , (7) a (8) identitu a (9) univerzální kvantifikátor . (7) se vyjadřuje identitu indiscernibles z Leibniz , a (8), uvádí, že identita je reflexivní vztah .

Všechny ostatní návrhy jsou odvozeny z (1) - (9) díky jednomu z následujících odvozovacích pravidel :

Tyto Modus ponens nám umožňuje odvodit z a ; $\ vdash B$ ${\ displaystyle \ vdash A \ až B}$ $\ vdash A$

Zákon zobecnění nám umožňuje odvodit z zda x nedochází od P ; ${\ Displaystyle \ vdash P \ to \ forall xA (x)}$ ${\ displaystyle \ vdash P \ do A (x)}$

Pravidlo substituce, které Frege výslovně neurčuje. Frege použil výsledky Begriffsschrifft v The Foundations of Arithmetic .

Bibliografie

Gottlob Frege (přeloženo Corine Besson), Ideografie , Vrin, 1999
Gottlob Frege (překlad Claude Imbert ), Základy aritmetiky , Filozofický řád, Seuil, 1969
Paul Tannery , „ Dr. Frege. - Begriffschrift “, in Philosophical Review of France and Foreigners , svazek VIII, 1879

Podívejte se také

externí odkazy

(en) Fregeova věta a základy aritmetiky na MS
(en) Frege's Logic, Theorem, and Foundations for Arithmetic ve své poslední aktualizaci (léto 2013), v archivu MS
(de) G. Frege, Begriffsschrift , 1879, Gallica
F. Schmitz, „ Frege, od čísla k konceptu “ , The Atlantic Center of Philosophy of the University of Nantes ,2000

Související články