Axiom (ve starořecké : ἀξίωμα / Axioma , „princip sloužící jako základ pro demonstraci , princip zřejmá sama o sobě“ - sám pocházel z άξιόω ( Axioo ), „ohodnotí vhodné, věřit jen“) je neprokázané tvrzení , používá se jako základ pro uvažování nebo matematickou teorii .
Pro Euclid a některých starověkých řeckých filozofů , axiom bylo tvrzení, které vzali jako samozřejmost a který nepotřeboval demonstraci.
Pro epistemologii (obor filosofie vědy ) je axiom samozřejmou pravdou, na níž mohou spočívat další znalosti, jinými slovy lze je konstruovat. Všimněte si, že ne všichni epistemologové připouštějí, že axiomy v tomto smyslu tohoto pojmu existují. V určitých filozofických proudech, jako je objektivismus , má slovo axiom zvláštní konotaci. Výrok je axiomatický, pokud je nemožné jej popřít, aniž by si to odporovalo. Příklad: „Existuje absolutní pravda“ nebo „Jazyk existuje“ jsou axiomy.
V matematice slovo axiom označovalo výrok, který je evidentní v matematické tradici Euklidových prvků . Axiom se nyní v matematické logice používá k označení primární pravdy v rámci teorie . Soubor axiomů teorie se nazývá axiomatická nebo axiomatická teorie . Tato axiomatika nesmí být rozporuplná . Tento axiom definuje teorii. Axiom tedy představuje výchozí bod v systému logiky . Relevance teorie závisí na relevanci jejích axiomů a jejich interpretaci. Axiom tedy spočívá v matematické logice , jaký je princip v teoretické fyzice . V každém systému formální logiky existují jako výchozí bod axiomy.
Příklad: obvyklá aritmetikaNapříklad můžeme definovat jednoduchou aritmetiku , která obsahuje sadu „ čísel “, zákon složení : doplněk označený „+“, interní pro tuto sadu, rovnost, která je reflexivní, symetrická a přechodná, a nastavením (inspirovaný podle Peano ):
Některé věty lze demonstrovat z těchto axiomů.
Použitím těchto axiomů a definováním obvyklých slov 1, 2, 3 atd. Označíme nástupce 0: succ (0), succ (succ (0)), succ (succ (succ (0))) můžeme prokázat následující:
succ (X) = X + 1 (axiom 4 a 3)a
| 1 + 2 = 1 + succ (1) | Rozšíření zkratky (2 = succ (1)) |
| 1 + 2 = succ (1) + 1 | Axiom 4 |
| 1 + 2 = 2 + 1 | Rozšíření zkratky (2 = succ (1)) |
| 1 + 2 = 2 + succ (0) | Rozšíření zkratky (1 = succ (0)) |
| 1 + 2 = 2 + 1 = succ (2) + 0 = 0 + succ (2) | Axiom 4 |
| 1 + 2 = 3 = 0 + 3 | Axiom 3 a použití zkratky (succ (2) = 3) |
| 0 + 1 = 1 + 0 = 1 | Axiom 4 a 3 (1 + 0 = 1) |
| X + succ (X) = succ (X) + X | pro všechny X Axiom 4 a symetrii rovnosti |
Jakýkoli výsledek, který lze odvodit z axiomů, není axiomem. Jakékoli tvrzení, které nelze odvodit z axiomů a jejichž negaci nelze odvodit z těchto stejných axiomů, lze přidat jako axiom bez úpravy jeho soudržnosti. Říká se, že takové tvrzení je nezávislé na předchozích axiomech. Na druhou stranu přidání nového axiomu umožňuje dokázat nové věty.
Pravděpodobně nejstarší a také nejznámější systém axiomů je to 5 postulátů z Euclid . Ukázalo se, že jsou zcela neúplné, a k plné charakterizaci euklidovské geometrie je zapotřebí mnohem více axiomů ( Hilbert jich použil 26 ve své euklidovské geometrii axiomatice ).
Pátý postulát (bodem mimo linii prochází přesně jednu rovnoběžku s touto linií) byl podezřelý jako důsledek prvních 4 po téměř dvě tisíciletí. Nakonec se ukázalo, že pátý postulát je nezávislý na prvních čtyřech. Ve skutečnosti můžeme předpokládat, že žádná rovnoběžka neprochází bodem umístěným mimo přímku, nebo že existuje jedna rovnoběžka, nebo že existuje nekonečno. Každá z těchto možností nám dává různé alternativní formy geometrie, ve kterých se míry vnitřních úhlů trojúhelníku sčítají, aby poskytly hodnotu menší než, rovnou nebo větší než míru úhlu tvořeného úsečkou (plochý úhel) . Tyto geometrie jsou známé jako eliptické , euklidovské a hyperbolické geometrie . Obecná teorie relativity říká, že hmota dává prostor zakřivení, to znamená, že fyzický prostor není euklidovský.
Ve XX -tého století se věty o neúplnosti Gödel státní žádný explicitní seznam axiomů dostatečné k prokázání některé věty velmi jednoduchý na celý (např aritmetické Robinson ) nemohou být kompletní (každý návrh může být prokázána či vyvrácena v rámci systému) a konzistentní (žádný návrh nelze prokázat ani vyvrátit).
Robert Blanché , L'Axiomatique , ed. PUF kol. Quadriga, 112 stran, 1955.
(cs) Stránka Metamath axioms