Bernoulliho nerovnost

V analýze se Bernoulli nerovnost - pojmenoval Jacques Bernoulli - stanoví, že:

(1 + x) ^ {n}> 1 + nx

pro jakékoli celé číslo $n > 1$ a jakékoli skutečné $x, které$ není nula a větší nebo rovno $-1$ .

Důkaz indukcí

Buď skutečné . Ukažme nerovnost pro jakékoliv celé číslo $n$ $> 1$ , a indukce na $n$ . ${\ displaystyle x \ in \ left [-1,0 \ right [\ cup \ left] 0, + \ infty \ right [}$

Inicializace: proto vlastnost platí pro $n$ $= 2$ . $(1 + x) ^ {2} = 1 + 2x + x ^ {2}> 1 + 2x$
Dědičnost: předpokládejme (indukční hypotéza), že a ukážeme, že vlastnost je pravdivá v následujícím pořadí $k$ $+ 1$ , tj. Ukaž to . Vynásobením oba členy nerovnosti indukční hypotézy o $1 +$ $x$ (který podle předpokladu pozitivní nebo nulové), se získá: . $(1 + x) ^ {k}> 1 + kx$ ${\ displaystyle (1 + x) ^ {k + 1}> 1+ (k + 1) x}$
${\ displaystyle (1 + x) ^ {k + 1} = (1 + x) ^ {k} (1 + x) \ geq (1 + kx) (1 + x) = 1 + (k + 1) x + kx ^ {2}> 1+ (k + 1) x}$
Závěr: vlastnost je pravdivá na úrovni $2$ a je dědičná, proto platí pro jakékoli celé číslo $n \geq 2$ .

Zobecnění

Pro libovolné reálné $r > 1$ a jakékoli reálné $x, které$ není nula a větší nebo rovno $-1$ , stále máme:

{\ displaystyle (1 + x) ^ {r}> 1 + rx}

. Demonstrace studiem variací rozdílu

Tentokrát je to $r$ , které opravíme (přísně větší než $1$ ), a studujeme variace funkce $f$ definované na $D = [-1, + \infty [$ podle:

{\ displaystyle f (x) = (1 + x) ^ {r} - (1 + rx)}

jehož účelem je ukázat, že $f ( x )> 0$ pro všechny $x$ nenulová patří do $D$ .

První dva deriváty $f$ on $] -1, + \infty [$ jsou dány vztahem:

{\ displaystyle f '(x) = r \ vlevo (1 + x \ vpravo) ^ {r-1} -r = r \ vlevo (\ vlevo (1 + x \ vpravo) ^ {r-1} -1 \ že jo)}

{\ displaystyle f '' (x) = r (r-1) \ vlevo (1 + x \ vpravo) ^ {r-2}> 0}

proto je nula na $0$ a přísně roste. Je proto přísně negativní na $] -1, 0 [$ a přísně pozitivní na $] 0, + \infty [$ . $f '$

V důsledku toho se funkce $f$ (spojitá v $0$ a $-1$ ) striktně snižuje na $[-1, 0]$ a striktně se zvyšuje na $[0, + \infty [$ .

Vzhledem k tomu, zmizí při $0 ° C$ , proto musíme $f > 0$ na . ${\ displaystyle \ left [-1,0 \ right [\ cup \ left] 0, + \ infty \ right [}$

Poznámky a odkazy

(en) zobrazení interaktivní animací na demonstations.wolfram.com
Rychlejší metodou je použít binomický vzorec, pokud $x > 0$ ( (en) Eric W. Weisstein , „ Bernoulliho nerovnost “ , na MathWorld ) a vzorec pro součet prvních členů geometrické posloupnosti, pokud $- 1 \leq x <0$ ( ). ${\ displaystyle n> 1+ (1 + x) + \ tečky + (1 + x) ^ {n-1} = {\ frac {1- (1 + x) ^ {n}} {- x}}}$