V matematice , je reálné číslo je číslo , které může být reprezentován celočíselnou část a konečný nebo nekonečný seznam desetinných míst . Tato definice se tedy vztahuje na racionální čísla , jejichž desetinná místa se periodicky opakují od určité pozice, ale také na další takzvaná iracionální čísla , jako je druhá odmocnina 2 , π a e .
Koncepce reálného čísla postupně vynořuje manipulaci reportů veličiny geometrický kromě zpráv o přirozený celek pro jejich zvážení Eudoxus Cnidus v IV -tého století před naším letopočtem. AD také zapadá do přibližování problematiky řešení Algebraické a dá místo, v polovině XIX th století, zvýrazněné počty transcendentní . Ale definice reálných čísel nebyl formalizován až o několik desítek let později s konstrukcí z Dedekind na jedné straně a na Cantor a Meray na straně druhé.
Soubor reálných čísel, označený ℝ, pak tělo zcela uspořádané , to znamená, že je opatřeno čtyřmi aritmetickými operacemi splňujícími stejná pravidla pro zlomky a tyto operace jsou konzistentní s pořadím vztahů. Ale také splňuje vlastnost horní hranice, na které je založena skutečná analýza . Nakonec je tato sada charakterizována Hilbertem jako největší archimédské tělo . V dokončeném reálném řádku nekonečné hodnoty již nesplňují provozní pravidla polí, rozšíření pole komplexních čísel znemožňuje vztah kompatibilního s celkovým řádem, zatímco sousední nestandardní analýza nekonečně malých čísel, která zneplatňuje archimédský znak .
„Skutečný“ slovo se používá k popisu čísla ze XVII th století, ale to je výslovně definován jako protiklad k číslům představovali , že na konci XIX th století to bylo také na rozdíl od „formálního číslo“ v některých pojednání o teologii nebo filozofie ze stejného období.
Reálná čísla se používají k vyjádření jakýchkoli fyzických měr, jako jsou: cena produktu, čas mezi dvěma událostmi, nadmořská výška (kladná nebo záporná) geografického místa, hmotnost atomu nebo vzdálenost k nejbližší galaxii. Tato měření závisí na volbě měrné jednotky a výsledek je vyjádřen jako součin reálného čísla jednotkou. Reálná čísla se používají každý den, například v ekonomii, informatice, matematice, fyzice nebo strojírenství.
Nejčastěji se používají pouze určité podmnožiny reálných čísel:
Přestože jsou všechny tyto podmnožiny realit nekonečné mohutnosti, jsou všechny spočetné, a proto představují jen malou část množiny realit. Každý z nich má své vlastní vlastnosti. Matematiky studují zejména dvě: racionální čísla a algebraická čísla ; „ Iracionální “ nazýváme realitou, která není racionální, a „ transcendentní “ realitou, která není algebraická.
Fyzické využití reálných čísel ve výrazu měření ze dvou hlavních důvodů:
Na druhou stranu fyzik nemůže provádět měření s nekonečnou přesností. Číselné vyjádření výsledku výpočtu lze přibližně přesně určit pomocí desetinného čísla. Za současného stavu fyziky je to dokonce teoreticky nemožné provádět měření s nekonečnou přesností. To je důvod, proč pro experimentální i teoretické potřeby, pokud fyzik počítá měření v ℝ, vyjadřuje číselné výsledky ve formě desetinných čísel.
Fyzik tedy používá vlastnosti reálných čísel, které umožňují dávat smysl prováděným měřením a nabízejí silné věty k prokázání svých teorií. U číselných hodnot je spokojen s desítkovými čísly. Když změří vzdálenost uraženou hmotným bodem v celé kružnici, použije hodnotu bez zpochybnění její existence, ale pro výpočty postačuje často malý počet desetinných míst.
A konečně, i když reálná čísla mohou představovat jakoukoli fyzickou veličinu, reálná čísla nejsou nejvhodnější pro studium velmi mnoha fyzikálních problémů. Z supersetů postavených kolem real byly vytvořeny, aby bylo možné zvládnout některé fyzický prostor. Například :
Jakékoli reálné číslo lze vyjádřit jako „ nekonečné desetinné číslo rozšíření “. Tato definice se může zdát jednodušší než jiné, které matematici běžně používají, například limit konvergentní posloupnosti . Rychle se však jeví jako nevhodný a zahrnuje mnohem složitější definice a demonstrace. Skutečná čísla jsou skutečně zajímavá pro strukturu a vlastnosti množiny, které tvoří: sčítání, násobení, vztah pořadí a vlastnosti, které tyto pojmy spojují. Tyto vlastnosti se špatně odrážejí v definici „nekonečná desetinná expanze“ a objevují se teoretické problémy:
Jakmile je však vytvořena struktura množiny reálných čísel, umožňuje zápis desítkové expanze efektivní výpočty, přičemž je třeba mít na paměti, že se nepočítá ani tak přesná desetinná místa čísla, ale poloha čísla oproti s ostatními realitami.
Vzhledem k tomu, starověku reprezentaci měřitelné veličiny - například délka nebo trvání - splnil potřebu. První odpovědí byla konstrukce zlomků (podíl dvou kladných celých čísel). Toto řešení, implementované velmi brzy mezi Sumery a Egypťany , je nakonec účinné. Umožňuje vám přiblížit se na libovolnou délku se vší požadovanou přesností.
Korespondence s délkamiPrvní formalizace postavena v systému, který známe, je výsledkem práce Euclid v III -tého století před naším letopočtem. AD . Jeho konstrukce, zapsaná v jejích prvcích , přináší dvě skvělé myšlenky významného přínosu v historii matematiky.
Předpokládejme, že daná délka je vybrána jako jednotka. Geometrická úvaha, jistě již známo, že Babylonians , vyplývá, že v případě, je čtvercový s bočním jednoty a B čtverec se stranou, která se rovná diagonální d z A , pak se oblast z B je dvakrát vyšší než v A , jinak říká: d 2 = 2.
Pravděpodobně V th století před naším letopočtem. AD , řečtí matematici ukazují, že délky úhlopříčky čtverce a jeho strany jsou neměřitelné : neexistuje žádný segment, bez ohledu na to, jak malý, což umožňuje „měřit“ přesně tyto dvě velikosti. Dnes říkáme, že tento poměr délky, který je druhou odmocninou 2 , je iracionální , tj. Nerovná se zlomku: pokud by to byl zlomekmnerozdělením úhlopříčky čtverce na m stejných částí a jeho strany na n stejných částí bychom získali segmenty všechny stejné délky.
To ukazuje, že zlomky nemohou být dostatečné k tomu, aby představovaly měřitelné veličiny.
O tomto výsledku existuje jednoduchý aritmetický důkaz , který se opírá o paritní argument. Ve IV -tého století před naším letopočtem. AD , Aristoteles se o tom zmiňuje v jednom ze svých spisů. To je nalezené v podrobněji knihy X o Prvky Euclid .
Neomezené neperiodické rozšiřování desetinných místPokud zlomky skutečně umožňují vyjádřit libovolnou délku s požadovanou přesností, mělo by se rozumět, že operace a zejména dělení se stávají složitými, pokud není systém číslování přizpůsoben. Problém popisuje článek o egyptských zlomcích, který nabízí několik konkrétních příkladů.
Ne, dokud V th století vidět Indian School objevil koncept nuly a vytvořit systém numeration desítkové a poziční .
Poté se objeví druhý problém. Všechny zlomky mají desetinnou expanzi, pokud je tato expanze nekonečná a periodická, to znamená, že posloupnost desetinných míst se nezastaví, ale smyčky přes konečný počet hodnot. Poté vyvstává otázka, jaký je smysl dát objektu charakterizovanému posloupností neperiodických desetinných míst. Například číslo s nekonečným desetinným rozšířením, které je vyjádřeno jako
0.1010010001 ... kde číslo 0 mezi číslicemi 1 roste neomezeně dlouho, odpovídá to délce? Apartmá a sérieVe druhé polovině XVII th století , tam je mimořádný rozvoj matematiky v oblasti výpočetní sérii a apartmá .
Nicolaus Mercator , Bernoulli , James Gregory , Gottfried Wilhelm Leibniz a další pracují na seriálech, které se sice sbíhají, ale jejichž limity nejsou racionální. Jedná se například o:
Horší je, že Liouville v roce 1844 dokazuje existenci transcendentních čísel, to znamená, že není kořenem polynomu s celočíselnými koeficienty. Nestačí tedy dokončit racionální funkce přidáním algebraických čísel k získání množiny všech čísel.
Během druhé části XVII th století , Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz vynalezl zcela nové odvětví matematiky. Nyní se tomu říká analýza , v té době to bylo známé jako nekonečně malý počet . Tato větev téměř okamžitě získává nesmírnou slávu, protože je základem zcela nové univerzální fyzikální teorie: Newtonovské teorie gravitace . Jedním z důvodů této slávy je vyřešení staré otázky, zda se Země točí kolem Slunce nebo naopak.
Infinitezimální počet však nelze v sadě racionálních čísel důkladně demonstrovat. Pokud jsou výpočty správné, jsou vyjádřeny jazykem velké složitosti a důkazy vycházejí spíše z geometrické intuice než z důsledného vysvětlení ve smyslu naší doby.
Nemožnost konstrukce analýzy v množině zlomků spočívá ve skutečnosti, že toto odvětví matematiky je založeno na analýze nekonečně malých. Můžeme však porovnat racionální čísla s nekonečnem malých zrn písku (nekonečně malé velikosti) na reálné linii, které zanechává nekonečně více děr než hmoty. Analýzu nelze s takovou podporou uspokojit. Vyžaduje úplný prostor pro podporu . Slovo se zde používá ve dvojím smyslu, intuitivní význam, což znamená, že malé díry v nekonečném počtu musí být ucpané a význam, který dnes matematici dávají abstraktnější, ale důsledně formalizovaný.
Tento pojem je tak důležité, aby se stal na začátku XX th století velké odvětví matematiky zvané topologie .
Proč je pro analýzu zásadní?Analýza předpokládá, že skutečná funkce reálné proměnné je v zásadě známá podle jejího nekonečně malého chování. Pokud je například po celou dobu známo zrychlení planety a je známa její počáteční poloha a rychlost, je možné odvodit přesnou trajektorii. Řetěz teorémů, věta konečných přírůstků, kterou dokazuje Rolleova věta, kterou dokazuje limitní věta, se na racionálních zlomcích stává nepravdivou. Pokud představujeme tuto větu v obrazových pojmech, můžeme tyto věty popsat takto: pro větu o konečném přírůstku, pokud auto najede 120 km za 2 hodiny, pak toto auto cestuje alespoň jednou rychlostí 60 km / h ; pro Rolleovu větu (respektive limitní větu), pokud auto opustí a přijede ze stejného místa, aniž by kdykoli změnilo jízdní pruhy, udělalo obrat alespoň jednou (v daném okamžiku je vůz nejvzdálenější od svého výchozí bod).
Právě tyto věty jsou intuitivně tak zřejmé, že si člověk dokonce klade otázku, jak je možné je dokázat. Newton nesl důsledky těchto důkazů tak daleko, že jen několik vzácných lidí v jeho době skutečně pochopilo jeho hlavní dílo Philosophiae Naturalis Principia Mathematica . Důkazy byly vždy nakonec založeny na tušení .
Pojďme si tedy vysvětlit, proč důkaz limitní věty vyžaduje hluboké pochopení topologické povahy reálných čísel. Uvažujme proto funkci f na racionálních číslech intervalu v ℚ, kde ℚ označuje množinu racionálních čísel definovaných:
Funkce se zdá diskontinuální v bodě, jehož čtverec se rovná 2, ale tento bod neexistuje v racionálních číslech, takže funkce je spojitá všude, kde je definována. Všimli jsme si, že malé díry narušují naši intuitivní představu o kontinuitě. Infinitezimální popis proto nemůže adekvátně popsat funkci, protože malé otvory umožňují skoky, které nejsou infinitezimálním chováním popsány . Naše intuitivní představa kontinuity proto nemá v ℚ stejný význam jako v ℝ. Čím více se úsečka blíží přímkou tohoto bodu, který neexistuje v ℚ, tím více se zvyšuje. Neexistuje tedy žádný bod, který by dosáhl maxima. Skutečné právoPokud se existence záporných čísel objeví velmi brzy v historii ( indická matematika ), až v roce 1770 získali díky Eulerovi skutečný stav čísla a ztratili charakter výpočetní rafinovanosti. Musíte však počkat celé století, než se setkáte se skutečným partnerem ve všech bodech správně orientované, tzv. Skutečné linie.
Uvažujeme přímku D obsahující bod O, který budeme nazývat podle konvence počátek. Nechť jsem bodem I odlišným od O patřícího k D, který identifikujeme s číslem 1. Podle konvence řekneme, že vzdálenost od O k I je rovna 1 a že orientace přímky je orientace O směrem k I V kterémkoli bodě M na přímce spojíme vzdálenost mezi O a M. Pokud jsou M a I na stejné straně vzhledem k O, vzdálenost se počítá kladně, jinak je záporná.
Tento vztah, který současná formalizace nazývá bijekce, umožňuje identifikovat reálné číslo v bodě čáry.
Vývoj analýzy v XVIII th a XIX -tého století vedl francouzsky a německy matematici zpochybňovat povahu reálných čísel. Tyto otázky je vedly k identifikaci základních vlastností (úplnost, sousední sekvence atd.), Na nichž by mohly být založeny možné konstrukce ℝ, které formalizovaly kolem roku 1870 Cantor, Méray a Dedekind.
KonstrukceVe své analýze ovšem na École Polytechnique , Augustin Louis Cauchy navrhuje první přísné definici hranice . Posloupnost reálných čísel indexovaných přirozenými čísly (tzv. Posloupnost ) konverguje k limitu (nutně jedinečnému) x, když je vzdálenost | x - x n | stává se tak malý, jak je to žádoucí pro n dost velké. Stanoví kritérium, které dnes nese jeho jméno, Cauchyho kritérium : je nutné a dostatečné, aby vzdálenosti | x n - x m | jsou tak malé, jak je požadováno, pro n a m dostatečně velké. Uvedením tohoto kritéria Cauchy potvrzuje úplnost pole reálných čísel, což je vlastnost, na které může být založena jeho definice. Tento přístup formalizoval Méray v roce 1869, poté Cantor v roce 1872. Tato myšlenka, zvláště vhodná pro analýzu, nalézá rozšíření metod dokončení .
Druhá konstrukce byla publikována Richardem Dedekindem v roce 1872. Vyplývá ze studia relačního řádu na zlomcích. Dedekindův řez je sada racionálního jako každý racionální je menší než kterýkoliv rozumný na komplementu A . Skutečný je pak reprezentován Dedekindovým řezem. Například druhá odmocnina 2 je reprezentována množinou záporných racionálních a kladných racionálních čtverců menších než 2. Podle autorů existují varianty definice mezní hodnoty.
Třetí konstrukce je založena na metodě vnořených segmentů. Vnoření je klesající posloupnost uzavřených intervalů racionálních čísel, jejichž délka má sklon k 0. Skutečné číslo je pak definováno jako třída vnoření modulo a relace ekvivalence. Podle Mainzera (de) je „kontrola vlastností objednaného pole relativně bolestivá“ , což vysvětluje, proč se tento přístup jeví jako méně výhodný než předchozí dva. Existuje také další metoda z desítkových expanzí, nicméně sčítání a násobení není snadné definovat.
V roce 1899 David Hilbert dal první axiomatickou definici pole reálných čísel. Všechny předchozí metody konstruují „stejnou“ množinu, tedy skutečných čísel.
Řešení je bohatší, než se očekávaloXIX th století ukazuje, že této nové struktury, množina reálných čísel, operace a pořadí souvislosti plní nejen svůj slib, ale přesahuje.
Vývoj konceptů reálného čísla a kontinuity je stejně filozofický i matematický. To, že reálná čísla tvoří spojitou entitu, znamená, že nedochází k žádnému „skoku“ nebo „ odstupu pásma “. Intuitivně je to jako lidské vnímání prostoru nebo plynutí času. Někteří filozofové si myslí, že je to pro všechny přírodní jevy navíc úplně stejné. Tuto koncepci shrnuje motto matematika a filozofa Leibnize: natura non facit saltus , „příroda nedělá skoky“.
Příběh kontinuity začíná ve starověkém Řecku . V V -tého století před naším letopočtem. AD , atomisté nejen věří, že příroda je tvořena „skoky“, ale také tím, že existují nedělitelné základní částice, atomy . Mezi synechists tvrdí, že vše, co je spojeno, kontinuální. Democritus je stoupencem přírody vytvořené z atomů rozptýlených prázdnotou, zatímco Eudoxus mu odporuje, takže jeho práce je jedním z nejstarších předchůdců analýzy. Ty se později vyvinuly v takzvanou euklidovskou geometrii .
Přesto XVII th století , matematici énonçaient spojitá funkce je ve skutečnosti skládá z nekonečně malých přímek, to znamená, že nekonečně malá. Takto může koncept nekonečně malého, viděný z atomistické perspektivy, podporovat tento způsob koncipování přírody. Otázka nekonečna je proto ústřední pro pochopení kontinuity a reálných čísel.
Tyto paradoxy Zena ilustrují proti-intuitivností pojmu nekonečna. Jedním z nejznámějších je šíp, ve kterém si představujeme šíp za letu. Šipka je kdykoli v přesné poloze a je-li okamžik příliš krátký, nemá šipka čas se pohybovat a zůstává v daném okamžiku v klidu. V následujících okamžicích zůstává ze stejného důvodu nehybná. Šipka je stále nehybná a nemůže se pohybovat: pohyb je nemožný. Abychom tento paradox vyřešili, musíme tyto nekonečně malé a nekonečně mnohokrát přidat metodou limitu , objevenou během vývoje analýzy.
Koncept kontinuity reálných čísel je v analýze ústřední od počátku její historie. Základní otázkou je, zda je daná funkce ve skutečnosti spojitou funkcí . V XVIII -tého století , my formuloval tuto otázku jako: „Je to variace nekonečně ve svém oboru generuje změnu nekonečně ve svém obraze? ". V XIX th století , tato formulace je opuštěn a nahrazen limity .
Od XVIII -tého století , nekonečně pád z milosti: jsou prý praktické využití, ale mylná, zbytečná a rozporné. Limity nahradit úplně a od počátku XX -tého století , nekonečně již nejsou základem analýzy. V matematice zůstávají svým způsobem nekoncepční, dokud nejsou znovu zavedeni s velkými náklady v diferenciální geometrii , což jim dává matematický stav tenzorového pole .
V aplikovaných vědách, zejména ve fyzice a inženýrství , vždy používáme infinitesimals. To zjevně způsobuje komunikační problémy mezi těmito vědami a matematikou.
Stručně můžeme charakterizovat množinu reálných čísel, kterou obecně označujeme větou Davida Hilberta : ℝ je poslední archimédovo komutativní pole a je úplné . „Poslední“ znamená, že jakékoli archimédovské komutativní pole je izomorfní s podmnožinou ℝ. Zde „izomorfní“ intuitivně znamená, že má stejný tvar nebo se chová přesně stejným způsobem , takže můžeme bez velkých obtíží říci, že jsou stejné.
Axiomatický přístup spočívá v charakterizaci konceptu řadou definic. Tento názor, který je prekurzor Hilbert ve své moderní formalismu, se ukázal jako mimořádně plodný v XX th století. Pojmy jako topologie, teorie měření nebo pravděpodobnosti jsou nyní definovány axiomaticky. Axiomatický přístup předpokládá dokonalé pochopení dané struktury a umožňuje důkaz vět pouze z těchto definic. To je důvod, proč mohou být dobré definice v matematice tak silné. Axiomatická definice ℝ však neukazuje, že taková množina existuje. Poté se zdá nutné tuto strukturu vybudovat (viz článek Konstrukce reálných čísel ).
Máme několik ekvivalentních axiomatických definic:
Definice 1 je uvedena na začátku této části. Ekvivalence mezi definicemi 2 a 3 je demonstrována v článku Konstrukce reálných čísel . Ekvivalence mezi definicemi 3 a 4 je v podstatě výsledkem uspořádaných množin (viz článek Topologie řádu ).
Jedinečnost je až do (jedinečného) izomorfismu, tj. Pokud K je zcela uspořádané pole splňující stejné předpoklady, existuje (jedinečný) přísně rostoucí izomorfismus z K v ℝ.
Pojďme podrobně definovat 2:
Tato část je v zásadě technická. Zabývá se základními a základními vlastnostmi pro analytickou práci na ℝ.
Následující vlastnost lze odvodit ze skutečnosti, že ℝ je Archimedean.
Ostatní vlastnosti jsou důsledky vlastnosti horní meze.
Existuje řada zvláště zajímavých funkcí, polynomy . Někdy lze polynom zohlednit . To znamená, že je vyjádřeno jako produkt nekonstantních polynomů menších stupňů. Ideální je, že lze faktorizovat jakýkoli polynom v faktorech stupně 1 (tj. Ve tvaru ax + b ). Tato vlastnost závisí na poli, ze kterého tyto polynomy konstruujeme. Například na poli racionálů, ať už je n celé číslo větší nebo rovno 2 , existují neredukovatelné polynomy stupně n , to znamená, že je nelze vyjádřit ve formě součinu polynomů menších stupňů. U reálných čísel dokazujeme, že největší stupeň neredukovatelného polynomu se rovná dvěma. Jinými slovy, pokud se polynom nerozkládá, je to proto, že má tvar ax 2 + bx + c . Pole, která mají pouze polynomy stupně 1 jako neredukovatelné polynomy, jsou považována za algebraicky uzavřená .
Pokud ℝ není algebraicky uzavřeno, můžeme toto tělo ponořit do většího těla. Toto je nové tělo, tělo komplexních čísel . Toto tělo však není celkově „lepší“. Jeho algebraické uzavření je velmi zajímavá vlastnost, ale má cenu: pole komplexů nemůže mít řádový vztah kompatibilní s jeho dvěma operacemi. Svým způsobem se to, co se získá na jedné straně, ztratí na druhé.
Účelem reálných čísel je poskytnout sadu čísel se správnými vlastnostmi pro sestavení analýzy. Jsou možné dva přístupy využívající dva různé koncepty.
Elegance upřednostňuje slabší axiomatický základ. Ve XX th století dílem všeobecného přeformulování matematiky se provádí pomocí kombinace Bourbaki a výsledky při psaní knihy s názvem matematické prvky . Tato práce se důsledně zabývá velkou částí současné matematiky. Z tohoto důvodu prvky vyvíjejí a demonstrují vlastnosti množiny realit z topologie. Toto je volba, kterou zde budeme sledovat.
VlastnostiKolik reálných čísel existuje? Nekonečno , ale který z nich? Dvě množiny mají stejnou mohutnost (intuitivně: stejný „počet prvků“), pokud jsou ekvipotentní . Například sady ℕ , ℤ , ℚ nebo ℚ , když vnořené a každý sudý obsahující několik „kopie“ z předchozí, mají stejnou velikost „“: to je hlavní ze spočetné množiny , uvedeno ℵ₀ . Georg Cantor ukázal, že existují přísně větší nekoneční kardinálové, a svým diagonálním argumentem poskytl důkaz, že ℝ se nepočítá: viz článek Cantorův diagonální argument . Tady je další.
Další důkaz nepočítatelnosti ℝUkažme, že interval [0, 1] nelze spočítat tím, že ukážeme, že posloupnost v [0, 1] není nikdy surjektivní . Stačí najít bod v [0, 1], který není v obrazové sadě sekvence. Za to, že nám definovat indukcí dvě sekvence , jako například:
Pojďme inicializovat naše dvě sady dotazem:
Je zřejmé, že vlastnost (1) je pravdivá, pokud n je rovno 0. Definujme potom naše posloupnosti pro hodnost n + 1.
Interval, který je zahrnut v intervalu , nemůže obsahovat žádný prvek sekvence řádu striktně menší než n , indukční hypotézou . Podle konstrukce také nemůže obsahovat a je kontrolována vlastnost (1).
Tyto dvě sekvence jsou sousedící ( ), jejich společné hranice patří, pro všechna n , na intervalu , a proto se liší od prvních n hodnot sekvence . Protože n je libovolné, je tvrzení prokázáno.
Mohutnost množiny reálných čísel se nazývá síla kontinua a někdy se uvádí c . Rovněž je třeba poznamenat, 2 ℵ₀, protože ℝ je ve skutečnosti ekvipotentní k množině částí ℕ - což podle jiné Cantorovy věty poskytuje přesnější důkaz jeho nepočítatelnosti:
ℵ₀ = karta (ℕ) <karta ( P (ℕ)) = karta (ℝ) = c .Cantor si položil otázku existence kardinála přísně mezi ℵ₀ a c . Jeho hypotéza, zvaná hypotéza kontinua , je, že takový kardinál neexistuje. Problematiku kardinálů zahrnoval Cantor do větší teorie , teorie množin , která nyní slouží jako základ pro většinu matematiky. To nebylo až do druhé poloviny XX -tého století najít odpověď na otázku hypotézy kontinua: je undecidable v obvyklé teorie množin ( ZFC ). To znamená, že je nemožné prokázat existenci i neexistenci takového kardinála, pokud nezměníme použitý axiomatický základ.
Sada reálných čísel opatřená obvyklým sčítáním a násobením racionálními čísly je vektorový prostor nad ℚ (sada racionálních čísel ). V roce 1905, při hledání non - kontinuální řešení na funkční Cauchyho rovnice , Georg Hamel vykazuje základnu z ℝ považovat za vektorový prostor na . Existence takového základu je zajištěna, pokud předpokládáme axiom výběru . Hamelův základ ℝ je nespočetný.