Booleova nerovnost

V teorii pravděpodobnosti , logické nerovnost se uvádí, že pro jakoukoli metodou konečných nebo spočetně rodiny z událostí , pravděpodobnost, že alespoň jedna z událostí nastane, je menší než nebo se rovná součtu pravděpodobností událostí odebraných odděleně. Formálněji

Booleova nerovnost  -  Pro nejpočetnější rodinu událostí A 1 , A 2 , A 3 ,… máme:

P(⋃neNAne)≤∑neP(NAne).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n} A_ {n} \ right) \ leq \ sum _ {n} \ mathbb {P} \ left (A_ {n} \ right).} Demonstrace

• První ukázka.

Nejprve indukcí ošetříme případ konečné rodiny událostí. (NA1,...,NAm){\ displaystyle (A_ {1}, \ tečky, A_ {m})}

To je třeba dokázat . P(NA1∪⋯∪NAm)≤P(NA1)+⋯+P(NAm){\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {m} \ right) \ leq \ mathbb {P} (A_ {1}) + \ cdots + \ mathbb {P} (A_ {m})}

Nerovnost je na hodnosti pravdivá . Domníváme se, že je to pravda v jedné řadě a považujeme rodinu o událostech. m=1{\ displaystyle m = 1}m{\ displaystyle m}(NA1,...,NAm+1){\ displaystyle (A_ {1}, \ tečky, A_ {m + 1})}m+1{\ displaystyle m + 1}

Buď  : (indukční hypotéza). E=NA1∪⋯∪NAm{\ displaystyle E = A_ {1} \ pohár \ cdoty \ pohár A_ {m}}P(E)≤P(NA1)+⋯+P(NAm){\ displaystyle \ mathbb {P} (E) \ leq \ mathbb {P} (A_ {1}) + \ cdots + \ mathbb {P} (A_ {m})}

Pak řekl: , P(NA1∪⋯∪NAm+1)=P(E∪NAm+1)=P(E)+P(NAm+1)-P(E∩NAm+1){\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {m + 1}) = \ mathbb {P} (E \ cup A_ {m + 1}) = \ mathbb {P} ( E) + \ mathbb {P} (A_ {m + 1}) - \ mathbb {P} (E \ cap A_ {m + 1})}

kde: . P(NA1∪⋯∪NAm+1)≤P(E)+P(NAm+1)≤P(NA1)+⋯+P(NAm)+P(NAm+1){\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {m + 1}) \ leq \ mathbb {P} (E) + \ mathbb {P} (A_ {m + 1}) \ leq \ mathbb {P} (A_ {1}) + \ cdots + \ mathbb {P} (A_ {m}) + \ mathbb {P} (A_ {m + 1})}

Nyní se zabýváme případem spočetné posloupnosti událostí. (NAne)ne≥1{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ geq 1}}

Pro jakékoli přísně kladné celé číslo to znamená  ; pak . ne{\ displaystyle n}Ene=NA1∪⋯∪NAne{\ displaystyle E_ {n} = A_ {1} \ pohár \ cdoty \ pohár A_ {n}}P(Ene)≤∑k=1neP(NAk){\ displaystyle \ mathbb {P} (E_ {n}) \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (A_ {k})}

Z toho vyplývá Booleova nerovnost předáním limitu  ; Ve skutečnosti, a pro všechny , takže . ne{\ displaystyle n}⋃ne≥1Ene=⋃ne≥1NAne{\ displaystyle \ bigcup _ {n \ geq 1} E_ {n} = \ bigcup _ {n \ geq 1} A_ {n}}ne{\ displaystyle n}Ene⊂Ene+1{\ displaystyle E_ {n} \ podmnožina E_ {n + 1}}limP(Ene)=P(⋃ne≥1NAne){\ displaystyle \ lim \ mathbb {P} (E_ {n}) = \ mathbb {P} \ vlevo (\ bigcup _ {n \ geq 1} A_ {n} \ vpravo)}

• Další metoda (řešení konečných i spočetných případů).

Vytvořili jsme a všechno , .  NA1′=NA1{\ displaystyle \ A '_ {1} = A_ {1}}ne≥2{\ displaystyle n \ geq 2}NAne′=NAne∖(NA1∪⋯∪NAne-1){\ displaystyle A '_ {n} = A_ {n} \ setminus (A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {n-1})}

Tak , a události jsou po dvou neslučitelných; navíc za všechno tedy (růst ). ⋃neNAne=⋃neNAne′{\ displaystyle \ bigcup _ {n} A_ {n} = \ bigcup _ {n} A '_ {n}}NA1′,NA2′,...{\ displaystyle A '_ {1}, A' _ {2}, \ dots}
ne,NAne′⊂NAne{\ displaystyle n, A '_ {n} \ podmnožina A_ {n}}P(NAne′)≤P(NAne){\ displaystyle \ mathbb {P} (A '_ {n}) \ leq \ mathbb {P} (A_ {n})}P{\ displaystyle \ mathbb {P}}

Z toho všeho vyplývá,: . P(⋃neNAne)=P(⋃neNAne′)=∑neP(NAne′)≤∑neP(NAne){\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n} A_ {n} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n} A '_ {n} \ right) = \ součet _ {n} \ mathbb {P} (A '_ {n}) \ leq \ sum _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n})}

Z hlediska teorie míry booleovská nerovnost vyjadřuje skutečnost, že míra pravděpodobnosti je σ -subadditivní (jako každá míra).

Důsledek  -  Průnik konečné nebo spočetné rodiny téměř určitých událostí , B 1 , B 2 , B 3 ,…, je téměř jistý (postačí použít booleovskou nerovnost na doplňky B n ).

Bonferroniho nerovnosti

Nerovnost Bonferroniho , kvůli Carlo Emilio Bonferroniho , rozšířený nerovnosti Boole. Poskytují horní a dolní mez pravděpodobnosti konečných spojů událostí.

Bonferroniho nerovnosti  -  stanovme :

S1: =∑i=1neP(NAi),{\ displaystyle S_ {1}: = \ součet _ {i = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (A_ {i}),}S2: =∑i<jP(NAi∩NAj),{\ displaystyle S_ {2}: = \ součet _ {i <j} \ mathbb {P} (A_ {i} \ cap A_ {j}),}

a pro 2 < k ≤ n ,

Sk: =∑P(NAi1∩⋯∩NAik),{\ displaystyle S_ {k}: = \ sum \ mathbb {P} (A_ {i_ {1}} \ cap \ cdots \ cap A_ {i_ {k}}),}

kde součet se provádí za všechny přísně rostoucí k - n-tice celých čísel mezi 1 a n .

Pak pro libovolné liché celé číslo k takové, že 1 ≤ k ≤ n

P(⋃i=1neNAi)≤∑j=1k(-1)j+1Sj,{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ leq \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ { j + 1} S_ {j},}

a pro každé sudé celé číslo k takové, že 2 ≤ k ≤ n

P(⋃i=1neNAi)≥∑j=1k(-1)j+1Sj.{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) \ geq \ sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ { j + 1} S_ {j}.}

Zjistíme booleovskou nerovnost pro k = 1.

Reference

Tento článek je založen na překladu anglického článku na Wikipedii , který je převzat z článku PlanetMath , dostupného pod GFDL.

Podívejte se také

• Axiomy pravděpodobností
• Princip začlenění-vyloučení
• Carlo Emilio Bonferroni
• George Boole

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">