Filozofie algebry

Gauss představuje podle Vuillemina samotný typ matematického génia v jistém smyslu, který je jak meliorativní, tak pejorativní. Z prvního, subjektivního hlediska, může výjimečná intuice, kterou ukazuje matematik, vzbudit jen obdiv. Ale z objektivního hlediska vědy je genialita charakteristická pro samotný vědecký obsah a může jej dokonce poškodit, pokud může zpomalit axiomatizaci, „formalizaci rozumu“:

Vuillemin má přirozeně určitou ironii, když se postavil proti genialitě Gaussa metodické přísnosti Ábela a Galoise, když víme, že poslední dva, v tradičních obrazech, často dostávají kvalifikaci géniů, protože zemřeli mladí po revoluci v matematické disciplíně. Ale pod Vuilleminovým perem označuje pojem genialita vynalézavost, pokud jde nad rámec schopnosti podrobit jej přísné axiomatice. V tomto smyslu by byl Gauss „brilantnější“ než Abel a Galois, což z objektivního hlediska vědy není takovým přínosem, jako spíše omezením.

Vuillemin rozlišuje dva matematické intuicionismy , které nazývá vnitřní a vnější.

První se domnívá, že jakýkoli platný důkaz musí být založen na aritmetické intuici, kterou je posloupnost přirozených čísel , a že toto je neredukovatelné; charakterizuje myšlenky Descarta , Kroneckera a Henriho Poincarého . Abychom se drželi tohoto posledního příkladu, Poincaré skutečně drží důkaz indukcí - nebo „úplnou indukcí“ - jako paradigmatu matematické intuice: pokud dokážeme, že vlastnost platí pro dané číslo, příkladem 0, a že pokud je to pravda pro přirozené celé číslo n pak platí také pro n + 1 , v tomto případě bylo prokázáno pro jakékoli přirozené číslo n větší nebo rovné 0. Podle Vuillemina je tento intuicionismus „metafyzický, ale legitimní“.

Existuje druhý intuicionismus, „vnější“, který k předchozímu přidává druhý neredukovatelný údaj, totiž citlivý zážitek, který určuje geometrickou intuici. Jedná se hlavně o kantovskou filozofii . Tento intuicionismus podle Vuillemina „mění povahu matematických demonstrací tím, že k nim přidává vnější přísady, které vnášejí do jejich principu nejasnosti. Proto by mělo být absolutně odmítnuto. "

Gauss však při svých demonstracích použil intuitivní metodu: „Gauss záměrně přijímá vnější metodu v Algebře, a zejména v konstrukčních problémech. „Ale zdaleka neplatí jako argument ve prospěch vnějšího intuicionismu, tento příklad odhaluje svá omezení, protože tato metoda osvobodila Gaussa od formalizace jeho objevů:„ Je to tedy z důvodu nezbytnosti, nikoli z nutnosti. shodou okolností se zdá, že algebraické struktury jsou v jeho díle zahalené. Tato situace subjektivně definovala genialitu; objektivně je to známka nečistoty v metodě. "

V Gauss jsou tedy spojeny v korelačním způsobem:

• klasický algebraická metoda , na rozdíl k tomu moderns;
• vnější Intuitionism protikladu k formálnímu axiomatickém;
• a matematický génius , na rozdíl od strukturální přísnosti.

Abel

Charakteristikou „matematického stylu Ábela“, který studoval Vuillemin, je použití důkazu nemožnosti . Před hledáním řešení řešení rovnic pátého stupně si tento nejprve nejprve klade otázku, zda je takové řešení možné - otázka, která ve skutečnosti vyvstane až později, ale která by měla být položena právem. Start. Abel je proto vynálezcem „myšlenky obecné metody spočívající v poskytnutí problému v takové formě, že je vždy možné jej vyřešit“. Abel však ukazuje, že podmínky pro to, aby byla jakákoli rovnice řešitelná, již po čtvrtém stupni nejsou splněny.

Ábelova metoda je následující:

Abel proto obrací tradiční algebraickou metodu: již nepostupuje „od speciálního k obecnému“, jinými slovy generalizací, jak to udělali jeho předchůdci, včetně Lagrangeové; ale naopak od obecného k konkrétnímu: co platí pro jakoukoli algebraickou rovnici stupně striktně menší než 5, platí tím spíše pro rovnici druhého stupně. V tomto je Abel jedním z tvůrců moderní strukturální algebraické metody.

Tato obecná metoda je ve skutečnosti proti „genetické“ metodě; jako takový umožňuje podle Vuillemina ustavení „obecné kritiky čistého rozumu“, zevšeobecnění kantovské kritiky, zbavené jejích prvků a posteriori a založené na jediné myšlence struktury. „Celá klasická filozofie zůstává [...] spojena s genetickou metodou“, pokud to vyžaduje konstruktivitu konceptů v zkušenostech, intuici, myslím . Chceme-li převést metody, které se v algebře osvědčily, do filozofie, musíme z filozofie odstranit to, co zůstává podmíněné a empirické, a tím opustit genetickou metodu: „empirismus doprovází [… ..] vždy, stejně jako jeho stín, genetický idealismus “. Pokud Kant ukázal cestu vpřed konstrukcí důkazů nemožnosti, jako je vyvrácení ontologického důkazu , okamžitě omezil jeho sílu tím, že použil genetickou metodu, a to tím, že představil možnost zážitku jako kritérium poznání. Citlivá intuice, kterou Kant nazývá, je nyní „fakultou mimo rozum“.

Zobecněná kritika čistého rozumu se musí obejít bez jakékoli vnější podpory a ponechat rozumu, aby sám vytvořil struktury, aniž by jej svázal s genezí, která potlačuje jeho produktivitu:

Galois

Galois je první moderní algebraista v tom, že v souvislosti s řešením problémů spojuje porozumění struktuře, která je generuje a která umožňuje, či nikoli, jejich řešení. Pojem grupa je skutečně první algebraickou strukturou analyzovanou pro sebe v historii matematiky.

Základní myšlenka Galois, vyjádřená pojmem grupa, je, že „neredukovatelnost rovnice je relativní k definované doméně racionality“ - „doménou racionality“, Kroneckerovým termínem , lze rozumět příkladem komutativní pole . Tedy „resolubility is a link between a certain algebraic individual - the algebraic equation - and its" medium ", the body to which it is arbitraryly or according to its own nature" (see the groups group (mathematics) and Galois theory ) .

Galoisova metoda je skutečně a priori a umožňuje Vuilleminovi rozlišovat dva typy abstrakce. První stoupá „rostoucí generalizací“ z jednotlivce na pohlaví, jak jsme viděli výše v Lagrangeově metodě; je podmíněný, protože podléhá setkání zkušeností. Empirický je „neschopný poskytnout apriorní zásadu pro definování rozdílů“; jeho modelem by byla klasifikace živých bytostí. Druhý typ abstrakce je strukturální a jejím modelem je teorie skupin  : tento je schopen definovat rozdíly mezi žánry, protože je sám konstruuje.

Poté, co popsal Galoisovu metodu, Vuillemin transponuje pojem skupiny do filozofie a klade si otázku, zda Fichtova představa o Mně může tuto definici uspokojit, pak ukazuje, že vědomí nelze považovat za groupoid , zatímco jiné filozofické struktury, jako je prostor (ale ne čas) kategorii kvality (afirmace a negace) a do určité míry i zkušenosti lze dát skupinovou strukturu.

Teorie Galois končí přechod algebry z klasického období do moderního období. Ze studia rovnic se stalo obecněji studium algebraických struktur . Zde končí první část Filozofie algebry s názvem „Úvahy o vývoji mé teorie algebraických rovnic“.

Matematika a metafyzika

Jules Vuillemin zkoumá prostřednictvím filozofie Edmunda Husserla vztahy mezi metafyzikou a matematikou. Jeho analýza se točí kolem pěti otázek: 1 ° definovaná teorie multiplicity v Husserlovi (§ 52); 2 ° fenomenologická metoda (§ 53); 3 ° vývoj Husserlova myšlení (§ 54); 4. kritika formální matematiky v Husserlovi (§ 55); 5 ° fenomenologie jako dogmatismus (§ 56).

Poznámky a odkazy

1. Viz kap. 4, §31, s. 1 277, poznámka 1.
2. Úvod, §2, s. 2 4.
3. Kapitola 3, §25; Závěr, § 60.
4. Úvod, §2, s. 2 5.
5. Kapitola 1, název §8, s. 1 71.
6. Kap. 1, § 8, s. 1 81-82.
7. Kap. 1, § 10.
8. Kap. 1, § 12, s. 1 103.
9. Ch. 1, §13, s. 1 118; Vuillemin dále napsal: „Také empirismus vždy jako jeho stín doprovází genetický idealismus“ (kap. 3, § 24, s. 218).
10. Ch. 1, §13, s. 1 117.
11. Ch. 2, § 14, s. 2 123.
12. Ch. 2, § 15, s. 2 138-139.
13. Ch. 2, § 19, s. 159.
14. Ch. 2, §20, s. 172.
15. Ch. 2, §20, s. 2 172-173.
16. Ch. 2, §22, s. 206.
17. Ch. 3, §23, s. 209.
18. Ch. 3, § 24, s. 2 214.
19. Vidíme tedy důležitost vlivu Nicolase Bourbakiho na Vuillemina: pořadí expozice postupující od obecného po konkrétní, korelační pojmu struktury , je jednou z hlavních charakteristik Bourbachovy metody.
20. Kap. 3, § 24, s. 1 217.
21. Ch. 3, § 24, s. 2 218.
22. Ch. 3, §25, s. 2 220.
23. Ch. 3, §25, s. 2 221.
24. Kapitola 4, § 26, s. 229.
25. Kapitola 4, § 26, s. 232. Tato věta je takříkajíc doslovně přepsána v knize Amy Dahan-Dalmedico a Jeanne Peiffer, Dějiny matematiky. Routes et bludiště , Paříž, Seuil, kol. Sciences, 1986, str. 276: „Pro Galoise přestává být rozpustnost rovnice absolutním problémem, který okamžitě vyžaduje definitivní odpověď. Je koncipován jako spojení mezi určitou algebraickou bytostí, rovnicí a jejím „prostředím“, tělem nebo doménou racionality, se kterou souvisí “.
26. Ch. 4, §32, s. 4 288-289.
27. Kapitola 4, §34, s. 300.
28. Kapitola 4, §34, s. 292-293.