Limit (teorie kategorií)
Pojem limit je abstraktní kategorická konstrukce , která zohledňuje objekty, jako jsou výrobky , výrobky z vláken a projektivní limity . Duální konstrukce, colimit , odpovídá mimo jiné za vedlejší produkty , sloučené částky a indukční limity . V některých případech se tento pojem shoduje s limitem ve smyslu analýzy .
Definice
Pojďme být kategorií. Uvažujeme diagram dovnitř přeložený funktorem . V mnoha případech uvažujeme o malé nebo dokonce konečné kategorii a mluvíme o malém diagramu nebo o konečném diagramu.
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}} F:DÓp→VS{\ displaystyle F: {\ mathcal {D}} ^ {\ mathrm {op}} \ do {\ mathcal {C}}}D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}
Kužel (v) v F jsou údaje o objektu N o a rodiny z morphisms indexovaných Objekty X o , tak, že pro každou morfizmus f : X? Y v , máme . Mez diagramu je kužel v F tak, že pro jakýkoli jiný kužel v F , existuje jedinečná zprostředkující morphism m: n? L , vyhovující pro všechny X v . Každý kužel je tedy limitem zapracován jedinečným způsobem. Jinými slovy, máme následující diagram:
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}ψX:NE→F(X){\ displaystyle \ psi _ {X}: N \ až F (X)}DÓp{\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ mathrm {op}}}DÓp{\ displaystyle D ^ {\ mathrm {op}}}F(F)∘ψX=ψY{\ displaystyle F (f) \ circ \ psi _ {X} = \ psi _ {Y}}F:DÓp→VS{\ displaystyle F: {\ mathcal {D}} ^ {\ mathrm {op}} \ do {\ mathcal {C}}}(L,ϕ){\ displaystyle (L, \ phi)}(NE,ψ){\ displaystyle (N, \ psi)}ϕX∘u=ψX{\ displaystyle \ phi _ {X} \ circ u = \ psi _ {X}}DÓp{\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {\ mathrm {op}}}
Ekvivalentně, limity jsou koncové objekty v kategorii kuželů (v) v F . Ještě další hledisko je následující: kategorie funktorů odpovídá kategorii diagramů typu v . Máme diagonální funktor (en), který posílá libovolný objekt N z do konstantního funktoru. Pak přirozené transformace (které jsou funktory ve smyslu kategorie funktorem) jsou přesně kužele N v F . Limit F je pak nic, ale univerzální morphism až F . Toto hledisko zviditelňuje, že limity jsou univerzální konstrukce a jejich funktorický charakter: funktor Lim je napravo napojen na diagonální funktor.
[DÓp,VS]{\ displaystyle [{\ mathcal {D}} ^ {\ mathrm {op}}, {\ mathcal {C}}]}D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}} Δ:VS→[DÓp,VS]{\ displaystyle \ Delta: {\ mathcal {C}} \ do [{\ mathcal {D}} ^ {\ mathrm {op}}, {\ mathcal {C}}]}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}Δ(NE)→F{\ displaystyle \ Delta (N) \ až F}Δ{\ displaystyle \ Delta}
Je docela možné, že diagram nemá žádné omezení, ale pokud existuje, je jedinečný až do izomorfismu. Obecně platí, že přesné objekty a morfismy, které zasahují do diagramu, který určuje limit, jsou méně důležité než vztahy, které je vážou. V tomto smyslu je ekvalizér v podstatě limit typového diagramu . Kategorie se nazývá úplná (v), pokud existují všechny malé limity, to znamená limity typu diagramů s malou kategorií.
∙⇉∙{\ displaystyle \ bullet \ rightrightarrows \ bullet} D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}
Dvojí představa o kolimitu se získá obrácením směru šipek s pojmem kukla a kategorie úplného dokončení.
Příklady
- Limit prázdné diagramu je, pokud existuje, na terminálu objekt z .D=∅{\ displaystyle {\ mathcal {D}} = \ emptyset}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
- Pokud jde o samostatnou kategorii , pak limit odpovídá produktu .D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}
- Pokud , pak je ekvalizér morfismů .D=na⇉b{\ displaystyle {\ mathcal {D}} = a \ rightrightarrows b}limF{\ displaystyle \ lim F}F(na)→F(b){\ displaystyle F (a) \ až F (b)}
- Pokud limit odpovídá vláknovému produktu .D=∙→∙←∙{\ displaystyle {\ mathcal {D}} = \ kulka \ pravá šipka \ kulka \ levá šipka \ kulka}
Vlastnosti
- Tyto kovariantní funktor Hom dojíždí v mezích, je kontinuální functor (v) .
- Libovolný reprezentovatelný funktor zachovává limity (ale ne nutně kolimity).
- Kategorie připouštějící ekvalizéry a všechny produkty indexované podle a připouští všechna omezení formy .Ob(D){\ displaystyle \ operatorname {Ob} ({\ mathcal {D}})}Hom(D){\ displaystyle \ operatorname {Hom} ({\ mathcal {D}})}D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}
Limitu diagramu lze zkonstruovat jako ekvalizér dvou morfismů
F:D→VS{\ displaystyle F: {\ mathcal {D}} \ na {\ mathcal {C}}}
s,t:∏i∈Ob(D)F(i)⇉∏F∈Hom(D)F(treska(F)){\ displaystyle s, t: \ prod _ {i \ in \ operatorname {Ob} ({\ mathcal {D}})} F (i) \ rightrightarrows \ prod _ {f \ in \ operatorname {Hom} ({\ mathcal {D}})} F (\ operatorname {cod} (f))}daroval
s=(F(F)∘πF(dom(F)))F∈Hom(D)t=(πF(treska(F)))F∈Hom(D).{\ displaystyle {\ begin {aligned} s & = {\ bigl (} F (f) \ circ \ pi _ {F (\ operatorname {dom} (f))} {\ bigr)} _ {f \ in \ operatorname {Hom} ({\ mathcal {D}})} \\ t & = {\ bigl (} \ pi _ {F (\ operatorname {cod} (f))} {\ bigr)} _ {f \ in \ operatorname {Hom} ({\ mathcal {D}})}. \ End {zarovnáno}}}
Limit v kategorii svazku
Můžeme uvažovat o limitech v kategorii = Sada sad. Nastavením konstanty funktoru tedy máme
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}pt:d↦{⋆}{\ displaystyle \ mathrm {pt}: d \ mapsto \ {\ star \}}
limF=Hom[DÓp,SEt](pt,F){\ displaystyle \ lim F = \ operatorname {Hom} _ {[{\ mathcal {D}} ^ {\ mathrm {op}}, {\ mathsf {Set}}]}} (\ mathrm {pt}, F)}
Vážený limit
V teorii rozšířených kategoriíPROTI{\ displaystyle {\ mathcal {V}}} je přirozené usilovat o nahrazení kuželů zavedením váhy : můžeme definovat vážený limit (někdy poznamenaný nebo znovu ) jako objekt, který, pokud existuje, ověřuje přirozený vztah v objektu c z :
Ž:DÓp→PROTI{\ displaystyle W: {\ mathcal {D}} ^ {\ mathrm {op}} \ do {\ mathcal {V}}} limŽF{\ displaystyle \ lim _ {W} F}limŽF{\ displaystyle \ lim {} ^ {W} F}{Ž,F}{\ displaystyle \ {W, F \}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
HomVS(vs.,limŽF)≃Hom[DÓp,PROTI](Ž(-),HomVS(vs.,F(-))){\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathcal {C}} (c, \ lim _ {W} F) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {[{\ mathcal {D}} ^ {\ mathrm {op }}, {\ mathcal {V}}]} (W (-), \ operatorname {Hom} _ {\ mathcal {C}} (c, F (-)))}Zejména když máme
PROTI=VS{\ displaystyle {\ mathcal {V}} = {\ mathcal {C}}}
limŽF=Hom[DÓp,PROTI](Ž,F){\ displaystyle \ lim _ {W} F = \ operatorname {Hom} _ {[{\ mathcal {D}} ^ {\ mathrm {op}}, {\ mathcal {V}}]}} (W, F)}
Poznámky a odkazy
-
V této definici není absolutně nutné uvažovat o duální kategorii, ale poskytuje přirozenou interpretaci diagramů jako pre-paprsků.
Bibliografie
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">