Součet (kategorie)

V matematiky , v kategorii je součet nebo vedlejší produkt může být vyjádřen pomocí univerzální vlastnost nebo ekvivalentním způsobem jako reprezentovatelný functor .

Definice

Dovolme být kategorií a rodinou předmětů . Hledáme objektu X , stejně jako rodina morfizmö takové, že pro jakýkoli objekt Y o a pro každou rodinu morfizmö , existuje jedinečná morphism takový, že pro každý index $i$ , máme . $\ mathcal C.$ $(X_i) _ {i \ in I}$ $\ mathcal C.$ $\ phi _ {i}: X_ {i} \ až X$ $\ mathcal C.$ $f_ {i}: X_ {i} \ až Y$ $f: X \ až Y$ $f \ circ \ phi _ {i} = f_ {i}$

Pokud takový objekt X existuje, nazývá se součet . $(X_i) _ {i \ in I}$

Pokud existuje, součet $X i$ představuje funktor, který sdružuje kartézský součin s objektem Y z . $\ mathcal C.$ ${\ displaystyle \ prod _ {i \ v I} Hom (X_ {i}, Y)}$

Příklady

Součet indexovaný prázdnou sadou je počátečním objektem .
V kategorii množin je součtem disjunktní unie . Nesouvislé shledání rodiny je soubor párů, kde se . Takže vezmeme . $(X_i) _ {i \ in I}$ $(i, x)$ ${\ displaystyle x \ v X_ {i}}$ $\ varphi _ {i}: x \ mapsto (i, x)$ ${\ displaystyle f (i, x) = f_ {i} (x)}$
V kategorii topologických prostorů je topologický součet existuje a dojíždí s zapomínání funktoru . Získává se poskytnutím odpovídající sestavy výše uvedené sestavě.
V kategorii skupin se součet nazývá produkt zdarma . Nezapíná se funktorem zapomínání.
V kategorii modulů na pevném kruhu je součet přímým externím součtem . Nezapíná se funktorem zapomínání.
Můžeme upřesnit pojem součtu sloučeným součtem .

Produkt a součet

Součet je dvojí vlastnost produktu : součet odpovídá produktu opačné kategorie . Někdy říkáme spíše koprodukci než součet.

Pojmy distribuční kategorie (en) a lineární kategorie se někdy používají k označení dvou typů kategorií, které jsou časté, ale vzájemně se vylučují (s výjimkou triviálních případů, jako jsou kategorie s jediným objektem):

kategorie je distribuční, když je produkt distribuční na vedlejším produktu. Ten se pak často nazývá součet , analogicky s elementární aritmetikou ;
ale když jsou produkt a druhotný produkt konečné rodiny předmětů izomorfní , pak již není dodržován zákon distributivity: kategorie je lineární a je lepší použít obecný termín souběžného produktu než součtu .

Například kategorie konečných množin je distribuční, protože kartézský součin je distribuční přes disjunktní unii . Na druhou stranu je kategorie vektorových prostorů (na pevném poli ) lineární, protože přímý součet konečného počtu vektorových prostorů je izomorfní s jejich součinem. Tato vlastnost se nevztahuje na nekonečných součtů a produkty, například součet nekonečného počtu kopií pole K je vytvořen z nekonečných sekvencí rozmisťující při 0 ° C z skaláry (a proto isomorfní vektorový prostor K [ X ] v polynomů ) , zatímco produkt obsahuje všechny nekonečné skalární sady (izomorfní s vektorovým prostorem K [[ x ]] formální řady ). ${\ displaystyle \ oplus _ {i \ in \ mathbb {N}} K}$ ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in \ mathbb {N}} K}$

Odkaz

Régine a Adrien Douady , teorie Algebra a Galois [ detail vydání ]