Kniha III of Euclid's Elements

Kniha III Prvky Euclid vlastnosti obchodování kruh ( tangenta ke kruhu vepsané úhly a středový úhel, sílu bodu ).

Zahrnuje:

• 11 definic
• 37 návrhů

Definice

V preambuli knihy III definujeme:

• Tangenta ke kruhu. Čára je tečná ke kruhu, pokud se jí dotkne, aniž by ji ořezala.
• Tečné kruhy. Dva kruhy jsou tečné, pokud se dotýkají, aniž by se protínaly.
• Segment kruhu. Toto je doména omezená přímkou ​​sečenou na kruh a tento kruh.
• Kruhový sektor. Toto je oblast omezená dvěma poloměry a částí obvodu, kterou definují.

Návrhy

Tyto návrhy se zabývají následujícími body:

• Různé konstrukce. Prop. 1 popisuje, jak postavit střed kruhu. Různé vlastnosti týkající se středu jsou také uvedeny v rekvizitách. 5 až 9. Například, pokud v kruhu, vezmeme libovolný bod, a pokud jsou více než dvě čáry vzaté z tohoto bodu do obvodu stejné, jsou body vzali jsme střed kruhu. Prop. 30 popisuje, jak najít střed oblouku kruhu.
• Vlastnost řetězců . Uvádějí se různé vlastnosti, například přímka protínající akord je na ni kolmá právě tehdy, pokud ji prořízne na dva segmenty stejné délky (prop. 3). Lana stejné délky jsou také daleko od středu a naopak, větší lano má průměr a délka se zmenšuje, když se člověk pohybuje od středu (podpěry 14 a 15).
• Relativní poloha dvou kruhů. Kruh neprotíná jiný kruh ve více než dvou bodech (bod 10). Dva kružnice jsou tečny, jejich středy jsou zarovnány s bodem tečnosti (vr. 11 a 12). Kružnice tečna k jiné kružnici má s ní společný pouze jeden bod (bod 13).
• Vlastnost tečen kružnice. Jedná se o přímku kolmou na průměr procházející jedním jejím koncem (podp. 16, 18, 19). V tomto návrhu Euclid pojímá úhel mezi tečnou a kružnicí jako křivočarý úhel, menší než jakýkoli přímočarý úhel. Prop. 17 nám umožňuje sestrojit tečnu kružnice procházející daným bodem.
• Středové úhly a vepsané úhly . Prop. 20 dokazuje, že středový úhel je dvojnásobkem odpovídajícího vepsaného úhlu. Prop. 21, zobecněný v prop. 26 až 29, dokazuje, že vepsané úhly zachycující stejný oblouk jsou stejné a naopak. Prop. 22 dokazuje, že opačné úhly čtyřúhelníku zapsaného do kruhu se rovnají dvěma právům.
• Vlastnost kruhových segmentů. Prop. 23 až 25 pojednávají o segmentech kruhu. Například vzhledem k segmentu popisuje věta 25 kruh, jehož je segmentem. Prop. 33 a 34 dávají konstrukce vztahující se k segmentům kruhů.
• Pravý trojúhelník vepsaný do kruhu . Prop. 31 dokazuje, že trojúhelník se stranou rovnající se průměru je obdélník.
• Síla bodu vzhledem ke kružnici . Zavádí se pomocí rekvizit 35 až 37, přičemž podpěra 35 se uvádí následovně: pokud se v kruhu protínají dvě čáry, obdélník zahrnutý pod segmenty jednoho se rovná obdélníku zahrnutému pod segmenty druhého.

Bibliografie

• Euclide ( transl.  Bernard Vitrac), The Elements [ detail vydání ]
• Euklidova díla , překlad F. Peyrarda, Paříž 1819, nový tisk Jean Itard, Éditions Albert Blanchard 1993.
• Euklidovy prvky geometrie, doslovně přeložené a následované Pojednáním o kruhu, válci, kuželu a kouli, měření povrchů a těles, s poznámkami, F. Peyrard , F. Louis (Paříž),1804, 107-177  str. ( číst online ), desky z obrázků 2 a 3 (gallica BNF), viz také tato digitalizovaná verze (remacle.org).
• Patnáct knih o geometrických prvcích euklidského překladu Denise Henriona , 1632, číst online (gallica BNF).