Euklid

Euclid (ve starořečtině  : Εὐκλείδης ), někdy nazývaný Euclid z Alexandrie , je matematik ze starověkého Řecka , autor pojednání o matematice , které je jedním ze zakládajících textů této disciplíny na Západě. O životě nebo smrti Euklida zatím nevyšly najevo žádné spolehlivé informace; je možné, že žil kolem 300 př . n. l.

Jeho nejslavnější dílo The Elements je jedním z nejstarších známých pojednání, které systematicky předkládá, počínaje axiomy a postuláty , velkou sadu vět doprovázených jejich důkazy . Zabývá se geometrií , rovinnou i objemovou , a teoretickou aritmetikou . Práce prošla stovkami vydání ve všech jazycích a její témata zůstávají v mnoha zemích základem matematického vzdělávání na sekundární úrovni .

Název Euklida odvozený zejména od euklidovského algoritmu , euklidovské geometrie , neeuklidovské geometrie a euklidovského dělení .

Životopis

Neexistuje žádný přímý zdroj o životě Euklida: nemáme žádný dopis, žádnou autobiografickou indikaci (ani ve formě předmluvy k dílu), žádný oficiální dokument a dokonce ani žádnou „narážku od žádného z jeho současníků. Jak to shrnuje historik matematiky Peter Schreiber, „o životě Euklida není známa jediná jistá skutečnost“.

Psaní nejstarší známý asi neobjeví životních Euclidových v souhrnu o historii geometrie psaný V tého  století nl filozof Neoplatonist Proclus , komentátor první knihy prvků . Proclus sám neposkytuje žádný zdroj svých indikací. Pouze říká, že „ [Euclid] spojil své Prvky dohromady , koordinoval mnoho z nich […] a vyvolal v nevyvratitelných demonstracích ty, které laxně předvedli jeho předchůdci. Tento muž také žil pod prvním Ptolemaiosem, protože Archimedes […] zmiňuje Euklida. Euklid je tedy novější než Platónovi učedníci , ale starší než Archimedes a Eratosthenes  “ . Za předpokladu časové osy dané Proclusem, Euclidem, Platónem a Archimédem žijícím mezi současníkem Ptolemaia I er , tedy žil kolem roku 300 př. N. L. J.-C.

Žádný dokument nepřichází v rozporu s těmito několika větami, ani je skutečně nepotvrzuje. Přímá zmínka o Euklidovi v Archimedových dílech pochází z pasáže považované za pochybnou. Archimedes je dobře apelovat na nějaké výsledky prvků a ostrakon , nalezený na ostrově Elephantine a datovaných III -tého  století před naším letopočtem, o nichž se hovoří postavy studovali ve třináctém knize prvků , jako firmy Decagon a icosahedron , ale bez reprodukovat euklidovské promluvy přesně; mohli tedy pocházet ze zdrojů před Euklidem. Přibližné datum 300 před naším letopočtem. AD je však považována za slučitelnou s analýzou obsahu euklidovské práce a je přijata historiky matematiky.

Dále náznak matematik IV th  století nl, Pappus Alexandria , naznačuje, že žáci Euclida učil na Alexandria . Někteří autoři na tomto základě spojili Euklida s Mouseionem v Alexandrii , ale opět se neobjevuje v žádném odpovídajícím oficiálním dokumentu. Kvalifikátor , který je ve starověku často spojován s Euklidem, je jednoduše stoichéiôtês (ve starořečtině  : στοιχειωτής ), to znamená „autor prvků“.

O Euklidovi koluje několik anekdot, ale jak se jeví i u jiných matematiků, nejsou považovány za realistické: jedná se tedy o tu slavnou, kterou prohlásil Proclus, podle níž by Euklid odpověděl Ptolemaiovi - který chtěl snadnější cestu než prvky  - že neexistuje žádný královská cesta v geometrii; varianta stejné anekdoty je ve skutečnosti přisuzována Menechmusovi a Alexandru Velikému . Podobně od pozdního starověku byly do účtů o Euklidově životě přidány různé podrobnosti, bez nových zdrojů a často protichůdně. Někteří autoři tedy rodí Euklida v Tyru , jiní v Gelovi , jsou mu přisuzovány různé rodokmeny , konkrétní mistři, různá data narození a úmrtí, ať už respektují pravidla žánru, nebo upřednostňují určité interpretace. Ve středověku a na počátku renesance byl tak matematik Euklid často zaměňován se současným Platónovým filosofem Euklidem z Megary .

V konfrontaci s těmito rozpory a nedostatkem spolehlivých zdrojů historik matematiky Jean Itard v roce 1961 dokonce navrhl, že Euclid jako jednotlivec možná neexistoval a že název by mohl označovat „kolektivní název“ matematické školy ”, ať už z skutečný mistr obklopen žáky, nebo dokonce čistě fiktivní jméno. Zdá se však, že tato hypotéza není přijata.

Díla Euklida

Citace prací připisovaných Euclid obsaženy v několika autorů, a to zejména v matematice Collection of Pappus (obvykle ze dne III E nebo IV th  století) a v komentáři k Prvky Euclid kvůli Proclus . Pouze část těchto euklidovských děl přežila.

Elements

Elements of matematiky, ve třinácti knihách, je Euclidův nejslavnější práce a bestseller ve vědeckém publikování. Mnoho verzí textu existuje v rukopisných formách, ať už úplných nebo ne, v knihovnách po celém světě. Až do počátku XIX th  století , všechny známé verze byly s odkazem na to Theon Alexandrie , spisovatel na IV -tého  století (nejstarší úplný rukopis, řekl Codex Bodleianus , pocházející z IX th  století ). V roce 1808, François Peyrard identifikovali řecký rukopis X -tého  století (objevil v knihovně Vatikánu během kampaní Napoleona v Itálii ) tak, že odkazuje na dřívější verzi než Theon. První tištěný text Elementů v latině pochází z Campanus Novara z arabských verzí textu a byl publikován v Benátkách v roce 1482 tiskařem Erhardem Ratdoltem . Moderní kritické vydání, které je dodnes měřítkem a zahrnuje znalosti získané z několika řeckých rukopisů (včetně těch, které identifikoval Peyrard), je Johan Ludvig Heiberg . Ať už v částečné (pouze prvních šest knih) nebo úplné verzi, adaptace, komentovaná vydání, překlady Prvků byly až do dnešních dnů velmi četné.

Jedním z nejznámějších aspektů práce je její deduktivní forma a její systematické a progresivní uspořádání. Autor nejprve stanoví definice, jako například definice řádku („délka bez šířky“) v knize I, nebo prvočísla („číslo měřené jednou jednotkou“) v knize VII; běžné pojmy (například „pokud jsou stejné věci odebrány ze stejných věcí, zbytek je stejný“); z předpokladů , jako je možnost stavby přímka, která prochází dvěma body uvedených. Poté předvede nové vlastnosti nebo provede nové konstrukce z toho, co je již známé ( definice nebo již zavedené návrhy ). Všechny konstrukce se tedy spoléhají na čáry nebo kružnice , což je omezení později známé jako konstrukce pravítka a kompasu .

Prvních šest knih je věnováno rovinné geometrii . První se zabývá zejména trojúhelníky a rovnoběžnými čarami a obsahuje důkaz Pythagorovy věty  ; druhá se zabývá konstrukcí rovinných obrazců daného tvaru, například čtverců a plochy rovné ploše daného přímočarého obrazce; třetí se zabývá vlastnostmi kruhu  ; čtvrtá studie nápis čísel v kruhu nebo kruhů v přímočarých čísel, například konstrukce pravidelných pětiúhelníků zapsaných v nebo ohraničených na daný kruh; pátý se zabývá teorií vztahů a proporcí mezi veličinami, teorií aplikovanou na geometrii v šesté knize.

Následující tři knihy, nazývané také „aritmetické knihy“, se zabývají prvočísly , konstrukcí největšího celočíselného dělitele společného pro dvě nebo více celých čísel , čísly v geometrické posloupnosti a poskytují kritérium pro konstrukci dokonalých čísel (c ', tj. Celá čísla rovná součtu jejich správných dělitelů ). Existuje proces opakovaným postupným odečítáním, který je nyní základem euklidovského dělení a Euklidova algoritmu .

Kniha X definuje a klasifikuje iracionální veličiny; poslední tři knihy se konečně zabývají geometrií v prostoru , které vyvrcholily konstrukcí pěti pravidelných těles v pyramidě , krychli , osmistěnu , dvanáctistěnu , dvacetistěnu v kouli .

Dvě další knihy, na pravidelných mnohostěnů, často nazýván „knihy XIV a XV  “ z prvků ve starších vydáních, byla napsána jiných autorů, o několik století později.

Geometrii , jak je definováno Euclid v textu bylo považováno po staletí jako je geometrie, a jako adekvátní reprezentace fyzického světa. Nyní se mezi postuláty knihy I objevuje ten, který je známý pod názvem „  postulát Euklida  “ nebo „postulát rovnoběžek“, který se dnes vyjadřuje v podobě: „bodem vyjmutým z práva projde jeden a pouze jedna rovnoběžka s touto přímkou ​​“. Studium tohoto postulátu vedlo k XIX -tého  století k rozvoji neeuklidovských geometrií , to znamená, že alternativy k Euclid a ne přiznat, že předpoklad, a obecně k obnovení pojetí geometrie a jeho vazby na reprezentaci reálného svět.

tyto údaje

Dat je jen jiná kniha Euclid adresování geometrie, který z nich má verzi v řečtině (např je obsažený v rukopise X th  století, objevené Peyrard). To je také podrobně popsána v knize VII z matematické Collection of Pappus u „Poklad Analysis“.

Dat se nachází v rámci planimetrie a je považován historiky jako doplněk k prvků , dát do formy vhodnější pro analýzu problémů. Práce obsahuje dvanáct definic, které vysvětlují, co to znamená, že je dán geometrický objekt v poloze, tvaru, velikosti a 94 větách. Vysvětlují, jak lze určit určité prvky figury, ale lze určit další vztahy nebo prvky. Například (data 29), „je-li přímka dána na pozici a je-li z daného bodu nakreslena čára, která svírá daný úhel s první, je dána tato nakreslená čára“, nebo (data 39) msgstr "jsou-li všechny strany trojúhelníku uvedeny ve velikosti, má trojúhelník tvar".

Rozdělení čísel

Tato práce je popsána v komentáři k Proclusovi, ale je ztracena v řečtině; je známo, kusy v latině ( De divisionibus ), ale především arabštinou rukopisu objevil v XIX th  století , který obsahuje 36 návrhů, z nichž čtyři jsou prokázány.

V této práci je cílem konstruovat čáry, které rozdělují dané postavy v daných proporcích a tvarech. Například požádáme trojúhelník a bod uvnitř daného trojúhelníku, aby zkonstruovali přímku procházející bodem a rozřezali trojúhelník na dvě čísla se stejnou oblastí; nebo znovu, je dán kruh, aby se vytvořily dvě rovnoběžné linie, takže část kruhu, kterou omezují, tvoří třetinu povrchu kruhu.

Pseudaria

Fallacious Arguments (Pseudaria) je ztracené dílo, známé pouze z popisu, který poskytl Proclus . Podle posledně jmenovaného bylo cílem práce vyškolit začátečníky v odhalování falešných úvah, zejména těch, kteří napodobují deduktivní uvažování, a mají tedy zdání pravdy. Uvedl příklady paralogismů .

Tyto Conics

Tyto kuželové [Prvky na sekcích] , Conikai Stoicheia , je práce, ztratil, popsaný Pappus a uvedený jinými autory. Podle Pappuse to sestávalo ze čtyř knih a sloužilo jako referenční práce na toto téma, dokud ji Apollonius nedokončil a nerozšířil.

že Porisms

Tyto Porisms ve třech knihách, jsou ztraceny. Práce je uvedeno ve dvou pasážích Proclus a především je předmětem dlouhé prezentace v knize VII části sbírky z Pappus u „poklad Analysis“, jak významnou a dalekosáhlou např. Analytického přístupu. Slovo „porismus“ má několik použití: podle Pappuse zde označuje výrok přechodného typu mezi větami a problémy. Euklidova práce by obsahovala 171 výroků tohoto typu a třicet osm lemmat. Pappus uvádí příklady toho, jako například „pokud ze dvou daných bodů nakreslíme čáry protínající se na dané přímce a pokud jeden z nich ořízne segment na dané přímce, druhý udělá i na jiné přímce s pevný poměr mezi dvěma řezanými segmenty “ .

Interpretace přesný význam toho, co porism je, a případně obnovit všechny nebo část prohlášení Eukleidova práce z informací zanechal Pappus , který zabíral mnoho matematiků: Nejznámější pokusy jsou ti Pierre Fermat v XVII th  století od Robert Simson do XVIII th  století , a zejména Michela Chasles XIX th  století. Pokud současní historici neberou Chaslesovu rekonstrukci jako takovou vážně, dalo to matematikovi příležitost vyvinout pojem anharmonického vztahu .

Tyto lokality uváděné na povrch

Je to také ztracené dílo ve dvou knihách zmíněných v Pokladu analýzy Pappuse. Indikace uvedené v Proclus nebo Pappus na těchto místech Euclid jsou nejednoznačné a co přesně to je v práci není známo. V tradici starořecké matematiky jsou místa množinami bodů ověřujících danou vlastnost. Těmito sadami jsou nejčastěji přímé úsečky nebo kuželovité úseky, ale lze je například použít i jako plochy . Většina historiků věří, že Euklidova místa by si dokázala poradit s revolučními plochami, koulemi, kužely nebo válci.

Phenomena

Tato kniha se zaměřuje na uplatňování geometrie koule astronomie přežil v řečtině, v několika rukopisných verzí, z nichž nejstarší pochází z X -tého  století . Tento text se týká toho, čemu se říká „malá astronomie“, na rozdíl od témat, jimiž se zabývá Ptolemaiova velká kompozice ( Almagest ) . Obsahuje 18 návrhů a blíží se dílům udržovaným na stejné téma Autolycos de Pitane .

Optický

Tato práce je zachována v řečtině, v několika verzích. Věnováno problémům, které bychom nyní nazvali perspektivními a zřejmě zamýšlenými pro použití v astronomii , má podobu prvků  : je to řada padesáti osmi návrhů, jejichž důkaz se opírá o definice a postuláty uvedené na začátku textu. Tyto definice následují Platónovu představu, že vidění pochází z paprsků (v přímé linii), které procházejí z našeho oka k viděnému předmětu. Euklid ukazuje, že zjevné velikosti stejných objektů nejsou úměrné jejich vzdálenosti od našeho oka (návrh 8). Vysvětluje také například naši vizi koule (a dalších jednoduchých povrchů): oko vidí povrch menší než polovina koule, část čím menší, tím blíže je koule, i když se povrch pohledu jeví větší, a obrys toho, co je vidět, je kruh. Také podrobně popisuje polohy oka a objektu, v jakém tvaru se nám kruh jeví. Pojednání zejména odporuje názoru zastávanému v některých myšlenkových směrech, že skutečná velikost objektů (zejména nebeských těles) je jejich zjevná velikost, která je vidět. Pro jeho studium perspektivy je Euclidova kniha považována za jedno z nejdůležitějších děl vztahujících se k optice až do Newtona . Renesanční umělci -  Filippo Brunelleschi , Leon Battista Alberti a Albrecht Dürer  - z toho čerpají inspiraci při vývoji vlastních pojednání o perspektivě.

Hudba

Proclus atributy Euklidových prvků hudby (stejně jako astronomie, teoretická hudba, například ve formě aplikované teorie proporcí, je zahrnuta mezi matematické vědy). V řečtině se zachovaly dva malé spisy, které byly zahrnuty do raných vydání Euklida, ale jejich přičítání je nejisté a jejich možné vazby na jeho prvky. Tyto dva spisy ( část kánonu o hudebních intervalech a úvodní harmonika ) jsou navíc považovány za rozporuplné a přinejmenším druhý je nyní odborníky považován za pocházející od jiného autora.

Falešně připisovaná Euklidovi

• Une Catoptrique , to znamená práce na zrcadlech, je zmíněn v Euklidově textu o optice a v Proclusově komentáři. To je nyní považováno za ztracené, a zejména Catoptric dlouho publikovaný po optice ve starších vydáních, již není přičítán Euclidovi, je považován za pozdější kompilaci.
• Euclid je zmíněn jako autor fragmentů týkajících se mechaniky, přesněji textů o páce a rovnováze, v některých rukopisech v latině nebo v arabštině. Uvedení zdroje je nyní považováno za sporné.

Edice

• Francouzské překlady některých Euklidových knih existují již v období renesance. Pierre Forcadel vydává například v XVI .  Století překlad prvních šesti knih, poté takzvaných aritmetických knih (VII až IX), prvků . Francouzská verze patnácti knih Euklidových geometrických prvků vyšla v roce 1609 Didierem Dounotem  ; Mezi další široce distribuovaná vydání patří například vydání Denise Henriona .
• První moderní vydání Euklidových děl v řečtině je vydání Davida Gregoryho v Oxfordu v roce 1703 s překladem do latiny.
• François Peyrard vydal v Paříži v letech 1814 - 1818 vydání Elements and Data (tj. Všech Euklidových textů čisté matematiky známých v řečtině) ve třech svazcích a třech jazycích (řecky, latinsky a francouzsky) . Toto vydání je prvním pokusem o vědeckou rekonstrukci Euklidových děl na základě „rukopisu 190“ objeveného Peyrardem. Bude to jediný dostupný ve Francii až do práce Bernarda Vitrac v 90. letech.
• Referenční vydání Euclid v řeckých ostatků, které na Heiberg a Menge  (de) od konce XIX -tého  století: JL Heiberg (eds) a H. Menge (eds), Euclidis Opera omnia , Lipsko, Teubner, 1883–1916, osm svazků. Zahrnuje latinský překlad vedle řeckého textu a obsahuje všechny známé spisy (včetně spisů se spornou atribucí) a několik komentářů starověkých autorů.
• Francouzský referenční překlad pro Elements (z vydání Heiberg) je: Euclide, Les Elements , Bibliothèque d'histoire des sciences, Paříž, Presses Universitaires de France, 1990-2001: let. I , Knihy I - IV , Rovinná geometrie  ; trad. Heibergova textu a komentářů Bernarda Vitrac; obecný úvod Maurice Caveing, 1990, 531 s. ( ISBN  2-13-043240-9 ) . let. II , knihy V až IX [knihy V - VI , proporce a podobnost; Knihy VII - IX , aritmetika ; trad. Heibergova textu a komentářů Bernarda Vitracea, 1994, 572 s. ( ISBN  2-13-045568-9 ) . let. III , kniha X , srovnatelné a neměřitelné velikosti, klasifikace iracionálních čar  ; trad. Heibergova textu a komentářů Bernarda Vitracea, 1998, 432 s. ( ISBN  2-13-049586-9 ) . let. IV , kniha XI - XIII , Geometrie pevných látek  ; trad. Heibergova textu a komentářů Bernarda Vitracea, 2001, 482 s. ( ISBN  2-13-051927-X ) .

Poznámky a odkazy

Poznámky

1. Ve starověku se objevují další typy konstrukcí, ale v Euklidových prvcích nefigurují , například konstrukce pomocí „  neusis  “ nebo podle sklonu, postup výstavby pomocí odstupňovaného pravidla a spočívající v budování segmentu dané délky, jehož konce leží na dvou daných křivky.
2. Prohlášení bylo správné, dokud perský učenec Alhazen (965-1040) ve své Kitab al-Manazir (kniha optiky) tvrdí opak.

Reference

1. Rytina (barevná) inspirovaná dílem André Thevet , Praví poutníci a životy slavných greczských, latinských a rolnických mužů , 1584, kniha II, kap. 24 .
2. Schreiber 1987 , str.  25.
3. Proclus de Lycia ( překlad  Paul Ver Eecke), Komentáře k prvním knihám Prvků Euklida , Bruggy, Desclée de Brouwer,1948, str.  61.
4. Vitrac 2004 .
5. (in) David Fowler , Matematika Platónovy akademie: Nová rekonstrukce , Oxford, Clarendon Press (Oxford Science Publications)1987( ISBN  0-19-853912-6 ) , str.  208.
6. Heath 1921 , str.  354.
7. Schreiber 1987 , str.  26.
8. Caveing 1990 , str.  15.
9. Jeskyně 1990 , s.  15-16.
10. Několik příkladů je uvedeno a vyvráceno v Heath 1921 , str.  355, Schreiber 1987 , str.  25-31, Jeskyně 1990 , s.  15, Vitrac 2004 .
11. Jeskyně 1990 , s.  15, poznámka 8.
12. Jean Itard, aritmetické knihy Euklida , Paříž, Hermann,1961, str.  11.
13. Jeskyně 1990 , s.  20, považuje to v dané době za zahraniční praxi.
14. (en) Bill Casselman, „  Jeden z nejstarších dochovaných diagramů z Euklida  “ na Katedře matematiky University of British Columbia .
15. Georges Kayas, 23 století euklidovské tradice (bibliografická esej) , Palaiseau, École polytechnique (LPNHE, interní zpráva),1977, 211  str. , str.  9, uvádí například asi sto šedesát vydání mezi 1650 a 1700 a čtyři sta mezi 1850 a 1900.
16. Caveing 1990 , str.  18-19; Heath 1921 , str.  373-419.
17. Jeskyně 1990 , s.  20-21.
18. Jeskyně 1990 , s.  46.
19. (in) Wilbur Richard Knorr , The Ancient Tradition of Geometric Problems , Boston, Birkhauser ,1986, 410  str. ( ISBN  978-0-486-67532-9 , číst online ) , s.  109.
20. Taisbak 2003 , s.  15.
21. Heath 1921 , str.  421-425.
22. Taisbak 2003 , s.  102.
23. Schreiber 1987 , str.  58.
24. Heath 1921 , str.  425-430.
25. Schreiber 1987 , str.  63-65.
26. Jeskyně 1990 , s.  22-23.
27. Heath 1921 , str.  438-439.
28. Heath 1921 , str.  433.
29. Heath 1921 , str.  435-437.
30. Jeskyně 1990 , s.  26.
31. Heath 1921 , str.  348.
32. Schreiber 1987 , str.  56.
33. Pla i Carrera a Postel 2018 , s.  25.
34. Dává výrok blízký tomuto tvrzení, že poměr tečen dvou ostrých úhlů je menší než poměr úhlů; viz Heath 1921 , str.  442.
35. Heath 1921 , str.  441-444.
36. Caveing 1990 , str.  27.
37. Schreiber 1987 , str.  57.
38. Jeskyně 1990 , s.  27-28.
39. Denis Henrion, Patnáct knih geometrických prvků Euclida: plus kniha stejného Euclida také přeložena do francouzštiny ... , Paříž, Isaac Dedin,1632( číst online ).

Podívejte se také

Bibliografie