Kniha IX prvků Euklida
Kniha IX prvků Euclida pokračuje studium aritmetiky, započaté v knihách VII a VIII . Dokazujeme několik hlavních vět: nekonečnost prvočísel , součet členů geometrické posloupnosti a forma dokonce dokonalých čísel .
Má 36 návrhů.
Návrhy
Týkají se:
- Vlastnosti čtvercových a kubických čísel. Dvě podobná čísla rovin mají pro produkt čtverec (prop. 1) a naopak (prop. 2). Čtverec kostky je krychle (vr.3). Produktem dvou kostek je kostka (vr. 4 až 6). V geometrické posloupnosti celých čísel počínaje jednotou jsou členy pořadí 2 n +1 čtverce, členy pořadí 3 n +1 kostky. Výrazy pořadí 6 n +1 čtverce a krychle současně (vr. 8). Pokud je druhým členem čtverec, jsou všechny členy čtverci. Pokud je druhým členem kostka, jsou všechny členy kostkami (vr. 9 a 10).
- Vlastnosti geometrických posloupností . Pokračujeme ve studiu geometrických sekvencí celých čísel, které jsme zahájili v knize VIII . Pokud geometrická posloupnost začíná jednotou, pak prvočíslo dělící poslední člen dělí také druhý (prop. 12). Pokud je druhý člen prvočíslo, žádné další prvočíslo nebude dělit větší (prop. 13). Pokud je geometrická posloupnost tvořena třemi prvočísly, je součet dvou členů prvočíslo s třetím (prop. 15). Rekvizita. 16 uvádí, že posloupnost dvou prvočísel mezi nimi nelze rozšířit, a prop. 17 ji zobecňuje na jakoukoli sekvenci, jejíž extrémy jsou mezi sebou vrcholné. Rekvizita. 35 dává vyjádření součtu členů geometrické posloupnosti: pokud je tolik čísel, kolik chceme, postupně proporčních, a pokud od druhého a posledního členu odečteme číslo rovnající se prvnímu, přebytek druhého bude být první, protože přebytek posledního je součtem všech těch, kteří jsou před ním .
- Vlastnost prvočísel . Rekvizita. 20 je jedním z nejznámějších. Uvádí, že prvočísla jsou ve větším množství než jakékoli dané množství prvočísel , jinými slovy, jsou v nekonečném množství . Důkaz spočívá v odebrání prvočísel v daném množství, a , b , c , ... a přidání 1 k jejich PPCM . Euclid pak ukazuje, že jakýkoli prvočíselný dělitel získaného čísla (nebo toto číslo samotné, pokud je prvočíslo) je nové prvočíslo.
- Paritní vlastnosti celých čísel . Rekvizity. 21 až 34 uvádějí na paritě celých čísel řadu vlastností, například součet sudého počtu lichých celých čísel je sudý (prop. 22), součin lichého a lichého je lichý (prop. 29).
- Formujte i perfektní čísla . Kniha končí rekvizitou. 36, který dává podobu dokonce dokonalých čísel: pokud, počínaje jednotou, tolik čísel, kolik chcete, je postupně úměrných v dvojnásobném poměru, dokud jejich součet není prvočíslo, a pokud tento součet vynásobený posledním číslem vytvoří číslo , produkt bude perfektní číslo . Takže 1 + 2 = 3 a 3 × 2 = 6, což je perfektní. Nebo 1 + 2 + 4 = 7 a 7 × 4 = 28, což je perfektní. Podmínka daná Euklidem je pouze dostatečná k získání dokonce dokonalého čísla a je to Euler, který prokáže, že je to nutné.
Bibliografie
Externí odkaz
Patnáct knih geometrických prvků Euklida , překlad D. Henriona , 1632, na místě Gallica v BNF