Metoda Ferrari

Metoda Ferrari představoval a dokonalosti Ludovico Ferrari (1540) umožňuje řešit podle rovnice čtvrtého stupně podle radikálů , to znamená, že k napsání řešení jako kombinace dodatky, odčítání, násobení, dělení a náměstí krychlový a kvartické kořeny vytvořené z koeficientů rovnice. Poskytuje čtyři řešení, pod jiným vzhledem, stejný vzorec jako u pozdějších metod Descartes (1637) a Lagrange (1770).

Princip metody

Nejprve redukujeme rovnici (dělením dominantním koeficientem a potom převedením proměnné tak, aby byl vyloučen člen stupně 3 ) na rovnici ve tvaru

{\ displaystyle z ^ {4} + pz ^ {2} + qz + r = 0}

Centrální bod metody spočívá v nahrazení monomia $z 4$ polynomem $( z 2 + λ) 2 - 2λ z 2 - λ 2$ , parametrizovaném $λ$ , a ve vyhledání vhodné hodnoty $λ$ , která umožňuje zápis $z 4 + PZ 2 + QZ + R$ jako rozdíl proto dvou čtverců, přes s pozoruhodnou identity , jako součin dvou polynomů druhého stupně .

Někteří autoři dávají přednost začít dokončení čtverec , $z 4 + PZ 2 = ( z 2 + p / 2) 2 - p 2 /4$ , který jim umožňuje, aby představit metodu Ferrari s jiným parametrem ( $u = λ - p / 2$ ), což je polovina z toho u Descarta a Lagrangeovy ( $y = 2λ - p$ ).

Implementace

${\ displaystyle {\ begin {array} {rl} z ^ {4} + pz ^ {2} + qz + r & = (z ^ {2} + \ lambda) ^ {2} -2 \ lambda z ^ { 2} - \ lambda ^ {2} + pz ^ {2} + qz + r \\ & = (z ^ {2} + \ lambda) ^ {2} - \ left [(2 \ lambda -p) z ^ {2} -qz + \ lambda ^ {2} -r \ right]. \ End {pole}}}$

Termín $(2λ - p ) z 2 - qz + λ 2 - r$ , viděný jako polynom v $z$ , se píše jako čtverec právě tehdy, když je jeho diskriminační , $q 2 - 4 (2λ - p ) (λ 2 - r )$ , je nula.

Řešíme tedy odpovídající rovnici, která se nazývá řešení kubiku (in) :

{\ displaystyle 8 \ lambda ^ {3} -4p \ lambda ^ {2} -8r \ lambda + 4rp-q ^ {2} = 0}

pomocí jedné z klasických metod řešení rovnice 3. stupně .

Výběrem řešení $λ 0$ , pak $a 0$ , $b 0$ (případně komplexního), jako například:

{\ displaystyle a_ {0} ^ {2} = 2 \ lambda _ {0} -p \ quad {\ text {a}} \ quad b_ {0} = - {\ frac {q} {2a_ {0}} }}

počáteční rovnice se stává:

{\ displaystyle (z ^ {2} + \ lambda _ {0}) ^ {2} - (a_ {0} z + b_ {0}) ^ {2} = 0}

nebo:

{\ displaystyle (z ^ {2} + a_ {0} z + \ lambda _ {0} + b_ {0}) (z ^ {2} -a_ {0} z + \ lambda _ {0} -b_ { 0}) = 0}

což odpovídá zrušení jednoho ze dvou faktorů:

{\ displaystyle z ^ {2} + a_ {0} z + \ lambda _ {0} + b_ {0} = 0 \ quad {\ text {nebo}} \ quad z ^ {2} -a_ {0} z + \ lambda _ {0} -b_ {0} = 0}

Každá z těchto dvou rovnic poskytuje dvě hodnoty pro $z$ , nebo celkem čtyři hodnoty.

Téměř všichni autoři implicitně vylučují případ, kdy $2λ 0 - p$ je nula (což by vedlo k rozdělení $na 0 = 0$ ve výše uvedené definici $b 0$ ). Ale v tomto případě je $q = 0,$ takže rovnice $z 4 + pz 2 + qz + r = 0$ je jednoduše čtyřnásobná rovnice .

Příklady najdete v lekci o Wikiverzitě ( odkaz níže ) a jejích cvičeních.

Referenční poznámky

Tento předběžný krok nezjednodušuje zbytek, někteří autoři se toho obcházejí : viz Joseph-Alfred Serret , Cours d'Algebre Supérieur ,1854, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1849) ( číst čára ) , str. 233-237, (En) John Hymers (en) , Pojednání o teorii algebraických rovnic , Deighton, Bell,1858, 3 e ed. ( číst online ) , s. 106-107, nebo konec kapitoly „Ferrari metoda“ na Wikiversity ( odkaz níže ).
Daniel Perrin , „ Geometrická vize metody Ferrari […] “ , na katedře matematiky v Orsay .
(en) Jean-Pierre Tignol , Galoisova teorie algebraických rovnic , World Scientific ,2001( číst online ) , s. 24.
Tignol 2001 , s. 22-23.
(in) AG Kurosh ( překlad z ruštiny), vyšší algebra , Mir ,1980( 1 st ed. 1972) ( číst čára ) , str. 231.
Tignol 2001 , s. 24.
S výjimkou přinejmenším Tignol 2001 , s. 24.
Další podrobnosti o případu $q = 0$ najdete například v tomto opraveném cvičení na Wikiversity .

Podívejte se také