Pozoruhodná identita

V matematice nazýváme pozoruhodné identity nebo dokonce pozoruhodné rovnosti určité rovnosti, které platí pro čísla nebo obecněji pro polynomické proměnné . Obvykle se používají k urychlení výpočtů, ke zjednodušení určitých zápisů, k faktoraci nebo k vývoji výrazů. Jsou používány pro řešení kvadratické rovnice a jsou obecně užitečné pro nalezení řešení pro rovnice .

Většina z těchto pozoruhodných identit byla nejprve prokázána pomocí geometrického uvažování , poté byla algebraickými výpočty zobecněna na vyšší síly .

Pozoruhodné identity druhého stupně

V následujícím textu a a b označují čísla, která mohou být celá čísla , racionální a reálná , nebo dokonce komplexy . Tyto identity jsou obecně platí v komutativním kruhu , nebo dokonce v každém kruhu , kde a b dojíždět .

Prohlášení

Tři pozoruhodné identity druhého stupně jsou:

${\ displaystyle (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2}$ ${\ displaystyle (ab) ^ 2 = a ^ 2 - 2ab + b ^ 2}$ ${\ displaystyle (a + b) (ab) = a ^ {2} -b ^ {2}}$

Na druhou z těchto identit lze pohlížet jako na zvláštní případ první, když v první rovnosti vezmeme místo b , –b . Tyto rovnosti jsou předmětem konkrétního slovníku:

Definice vynikajícího produktu - Následující tři výrazy se označují jako vynikající produkt :

{\ displaystyle (a + b) ^ {2}, \ quad (ab) ^ {2} \ quad {\ text {a}} \ quad (a + b) (ab).}

Definujeme stejným způsobem:

Definice pozoruhodného součtu - Následující tři výrazy se nazývají pozoruhodný součet :

{\ displaystyle a ^ 2 + 2ab + b ^ 2, \ quad a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 \ quad \ text {a} \ quad a ^ 2 - b ^ 2.}

Příklady

Vývoj a redukce

Pozoruhodné identity umožňují transformovat psaní určitých algebraických výrazů, jako v následujícím příkladu:

{\ displaystyle A = (2x - 3) ^ 2 + (x + 5) (3-x).}

Výraz A je součtem dvou členů. První termín je pozoruhodný produkt, který lze transformovat do součtu:

(2x -3) ^ 2 = (2x) ^ 2-2 \ times2x \ times3 + 3 ^ 2 = 4x ^ 2 - 12x + 9 \ quad \ text {a} \ quad A = 4x ^ 2 - 12x + 9 + (x + 5) (3-x).

Druhý termín je zpracován pomocí distributivity násobení s ohledem na sčítání:

{\ displaystyle (x + 5) (3-x) = x (3-x) +5 (3-x) = 3x -x ^ 2 + 15 - 5x = -x ^ 2 -2x + 15.}

Přidáním podmínek k podmínkám získáme:

${\ displaystyle A = 4x ^ 2 - 12x + 9-x ^ 2 -2x + 15 = 3x ^ 2 -14x + 24.}$

Kvadratická rovnice

Pozoruhodné identity nám umožňují vyřešit kvadratickou rovnici. Ilustrujme metodu na následujícím příkladu:

{\ displaystyle x ^ 2 + 2x - 5 = 0.}

Metoda spočívá v zpracování části výrazu, která nezávisí na x, tak, aby se použila jedna z prvních dvou pozoruhodných identit a aby se rozložila ta část, která závisí na x :

{\ displaystyle x ^ 2 + 2x - 5 = x ^ 2 + 2x + 1-6.}

První tři termíny jsou nyní pozoruhodný součet, je možné použít pozoruhodnou identitu a rovnice se stává:

{\ Displaystyle x ^ 2 + 2x - 5 = (x +1) ^ 2 - 6 = (x +1) ^ 2 - (\ sqrt 6) ^ 2 = 0.}

Rozpoznáváme pozoruhodný nový součet, rovnice se znovu píše:

{\ Displaystyle x ^ 2 + 2x - 5 = (x + 1 + \ sqrt 6) (x + 1- \ sqrt 6) = 0.}

Produkt a . b dvou čísel a a b je nula, a pouze v případě, a, nebo b je nula. Řešení rovnice znamená řešení dvou rovnic prvního stupně :

{\ displaystyle (1) \; x +1 + \ sqrt 6 = 0 \ quad \ text {a} \ quad (2) \; x +1 - \ sqrt 6 = 0,}

Najdeme dvě řešení rovnice, která se také nazývají kořeny polynomu :

${\ displaystyle x_1 = -1 - \ sqrt 6 \ quad \ text {a} \ quad x_2 = -1 + \ sqrt 6.}$

Stejný způsob aplikován na koeficienty , a ( ) místo koeficientů 1, 2, a -5 v předchozím příkladu, odhaluje roli diskriminační a dvě řešení. $na$ $b$ $vs.$ ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$

Čtvercové polynomy

Chcete-li umocnit polynom na libovolný počet termínů, přidejte druhé mocniny každého termínu jednotlivě a poté přidejte dvojnásobek součtu produktů každé možné dvojice termínů.

{\ displaystyle (a + b + c) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2 (ab + ac + bc),}

{\ displaystyle (a + b + c + d) ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} +2 (ab + ac + ad + bc + bd + cd).}

Pozoruhodná identita a geometrie

Tyto pozoruhodné identity jsou známy již od Babyloňanů . Je možné, že tyto rovnosti realizovali pomocí geometrického uvažování. Následující vzorec lze najít jednoduchou metodou:

{\ displaystyle (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.}

Obrázek vpravo představuje čtverec. Předpokládejme, že délka strany růžového čtverce se rovná a a délky modrého čtverce b . Plocha velkého čtverce se rovná ( a + b ) 2 .
Existuje další způsob, jak tuto oblast vyjádřit: jedná se o součet oblastí růžové, modré a dvou žlutých oblastí. Růžová plocha je rovná a 2 , protože to je čtverec s bočním A , modrá plocha se rovná b 2 , a každý ze dvou žlutých oblasti je rovna AB , protože se jedná o obdélník se stranami a b . Necháme si oznámit vzorec.

Důkaz algebry

Algebra stále umožňuje demonstrovat tyto vzorce. Počítáme ( a - b ) 2 . Tyto distribuční ukazuje, že:

{\ displaystyle (ab) ^ 2 = (ab) (ab) = a (ab) - b (ab) = a ^ 2 - ab - ba + b ^ 2 = a ^ 2 - 2ab + b ^ 2.}

Demonštujeme také třetí pozoruhodnou identitu:

{\ displaystyle (a + b) (ab) = a (ab) + b (ab) = a ^ {2} -ab + ba-b ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2}. }

Různé pozoruhodné identity

Totožnost Brahmagupty

Brahmagupta , An indický matematik ze VI -tého století objevil pozoruhodnou totožnosti čtvrtého stupně:

(a ^ {2} -nb ^ {2}) (c ^ {2} -nd ^ {2}) = (ac + nbd) ^ {2} -n (ad + bc) ^ {2}.

Používá se v případě, kdy , b , c , d a n jsou celá čísla. Umožňuje vypočítat dobrou aproximaci druhé odmocniny .

Aplikace na výpočet √ 3

Brahmagupta si všimne, že 2 2 - 3,1 2 = 1. Svou identitu aplikuje několikrát, vždy s n = 3. Poprvé nastaví a = c = 2, b = d = 1. Získává:

(2 ^ {2} -3 \ cdot 1) (2 ^ {2} -3 \ cdot 1) = (2 \ cdot 2 + 3 \ cdot 1) ^ {2} -3 (2 \ cdot 1 + 1 \ cdot 2) ^ {2} = 7 ^ {2} -3 \ cdot 4 ^ {2} = 1.

Začíná znovu s tímto časem: a = c = 7, b = d = 4. Získává nový způsob psaní 1:

{\ displaystyle 97 ^ 2 - 3 \ cdot 56 ^ 2 = 1.}

Znovu použije stejnou logiku, získá ještě další způsob, jak napsat 1:

{\ displaystyle 18 \, 817 ^ 2 - 3 \ cdot 10 \, 864 ^ 2 = 1.}

Tato rovnost je stále napsána:

{\ displaystyle 18 \, 817 ^ 2 = 3 \ cdot 10 \, 864 ^ 2 + 1 \ quad \ text {et} \ quad \ left (\ frac {18 \, 817} {10 \, 864} \ right) ^ 2 = 3 + \ frac 1 {10 \, 864 ^ 2}.}

Získává zlomek, jehož čtverec je „téměř“ roven 3, což znamená, že 18 817/10 864 je „téměř“ roven √ 3 . Pokud vypočítáme zlomek, najdeme výsledek, jehož prvních devět platných číslic poskytuje nejlepší možnou aproximaci (se stejným počtem desetinných míst), a to: 1,73205081.

Rovněž používá svůj vzorec k hledání řešení takzvané Pell-Fermatovy diofantické rovnice .

Totožnost čtyř Eulerových čtverců

Identita čtyř čtverců Eulera spojuje osm čísel mezi nimi. Má následující podobu:

{\ displaystyle (a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + a_3 ^ 2 + a_4 ^ 2) (b_1 ^ 2 + b_2 ^ 2 + b_3 ^ 2 + b_4 ^ 2)}

{\ displaystyle = (a_1 b_1-a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4) ^ 2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3) ^ 2}

{\ displaystyle + \, (a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2) ^ 2 + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1) ^ 2.}

Používá se mimo jiné k prokázání věty čtyř čtverců, která naznačuje, že jakékoli celé číslo je součtem čtyř čtverců.

Totožnost osmi Degenových čtverců

Totožnost osmi čtverců Degen spojuje šestnáct čísla a bylo prokázáno, že v XIX -tého století :

{\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2} + a_ {5} ^ {2} + a_ {6} ^ {2} + a_ {7} ^ {2} + a_ {8} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2} + b_ {5} ^ {2} + b_ {6} ^ {2} + b_ {7} ^ {2} + b_ {8} ^ {2}) = \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4} -a_ {5} b_ {5} -a_ {6} b_ {6} -a_ {7} b_ {7} -a_ {8} b_ {8}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3} + a_ {5} b_ {6} -a_ {6} b_ {5} -a_ {7} b_ {8} + a_ {8} b_ {7}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2} + a_ {5} b_ {7} + a_ {6} b_ {8} -a_ {7} b_ {5} -a_ {8} b_ {6}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1} + a_ {5} b_ {8} -a_ {6} b_ {7} + a_ {7} b_ {6} -a_ {8} b_ {5}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {5} -a_ {2} b_ {6} -a_ {3} b_ {7} -a_ {4} b_ {8} + a_ {5} b_ {1} + a_ {6} b_ {2} + a_ {7} b_ {3} + a_ {8} b_ {4}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {6} + a_ {2} b_ {5} -a_ {3} b_ {8} + a_ {4} b_ {7} -a_ {5} b_ {2} + a_ {6} b_ {1} -a_ {7} b_ {4} + a_ {8} b_ {3}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {7} + a_ {2} b_ {8} + a_ {3} b_ {5} -a_ {4} b_ {6} -a_ {5} b_ {3} + a_ {6} b_ {4} + a_ {7} b_ {1} -a_ {8} b_ {2}) ^ {2} + \,}

{\ displaystyle (a_ {1} b_ {8} -a_ {2} b_ {7} + a_ {3} b_ {6} + a_ {4} b_ {5} -a_ {5} b_ {4} -a_ {6} b_ {3} + a_ {7} b_ {2} + a_ {8} b_ {1}) ^ {2} \,}

Identita Sophie Germainové

Identita Sophie Germain uvádí, že pro všechna čísla $x$ a $y$ máme:

{\ Displaystyle x ^ 4 + 4y ^ 4 = (x ^ 2 + 2y ^ 2) ^ 2 - 4x ^ 2y ^ 2 = (x ^ 2 + 2y ^ 2-2xy) (x ^ 2 + 2y ^ 2 + 2xy ) = ((x + y) ^ 2 + y ^ 2) ((xy) ^ 2 + y ^ 2).}

Argandova identita

{\ displaystyle (x ^ 2 + x + 1) (x ^ 2-x + 1) = x ^ 4 + x ^ 2 + 1.}

Gaussova identita

{\ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} -3abc = (a + b + c) (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} -ab -ac-bc) = {\ frac {1} {2}} (a + b + c) [(ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (ac) ^ {2}].}

Identity Legendra

{\ displaystyle (a + b) ^ 2 + (ab) ^ 2 = 2 (a ^ 2 + b ^ 2),}

{\ displaystyle (a + b) ^ 2- (ab) ^ 2 = 4ab,}

{\ displaystyle (a + b) ^ 4- (ab) ^ 4 = 8ab (a ^ 2 + b ^ 2).}

Lagrangeovy identity

{\ displaystyle (a ^ 2 + b ^ 2) (x ^ 2 + y ^ 2) = (ax + by) ^ 2 + (ay-bx) ^ 2,}

{\ displaystyle (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) = (ax + by + cz) ^ 2 + (ay-bx) ^ 2 + (az -cx) ^ 2 + (bz-cy) ^ 2.}

První zde uvedená Lagrangeova identita je zvláštním případem identity Brahmagupty.

Pozoruhodné identity stupně n

Newtonův binomický vzorec

Stejná důkazní technika jako u vzorců stupně 2 ukazuje, že pokud a a b vždy označují dvě čísla:

{\ displaystyle (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3,}

{\ displaystyle (a - b) ^ 3 = a ^ 3 - 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 - b ^ 3.}

Opět platí, dostaneme:

{\ displaystyle (a + b) ^ 4 = a ^ 4 + 4a ^ 3b + 6a ^ 2b ^ 2 + 4ab ^ 3 + b ^ 4,}

{\ displaystyle (a - b) ^ 4 = a ^ 4 - 4a ^ 3b + 6a ^ 2b ^ 2 -4ab ^ 3 + b ^ 4.}

Rovněž,

{\ displaystyle (a + b) ^ 5 = a ^ 5 + 5a ^ 4b + 10a ^ 3b ^ 2 + 10a ^ 2b ^ 3 + 5ab ^ 4 + b ^ 5,}

{\ displaystyle (a - b) ^ 5 = a ^ 5 -5a ^ 4b + 10a ^ 3b ^ 2 -10a ^ 2b ^ 3 + 5ab ^ 4 - b ^ 5.}

Můžeme to zobecnit na libovolný stupeň n pomocí binomického vzorce:

{\ displaystyle (a + b) ^ {n} = \ součet _ {k = 0} ^ {n} {n \ zvolte k} a ^ {nk} b ^ {k}.}

Koeficienty výrazu, považované za polynom v a a v b, se nazývají binomické koeficienty . Protože b může mít zápornou hodnotu, dostaneme dvě předchozí formy.

Vzorec platí, i když a a b nejsou čísla. Tato písmena mohou označovat dvě matice, které mezi nimi přepínají . Obecně platí, že vzorec platí v kruhu (předpokládá se, že je jednotný, tj. Opatřený jednotkovým prvkem pro všechny a), pokud dojíždí aab (což platí zejména v případě, že a nebo b se rovná 1). ${\ displaystyle 1 = a ^ {0}}$

Rozdíl nebo součet sil

Je také možné zobecnit třetí pozoruhodnou identitu druhého stupně . Pokud a a b označují dvě čísla:

{\ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (ab) (a ^ {2} + ab + b ^ {2}).}

{\ displaystyle a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2),}

Následující vzorec umožňuje zobecnit přístup. Za prvé, pro jakékoli celé číslo n ≥ 2,

{\ displaystyle a ^ {n} -b ^ {n} = (ab) (a ^ {n-1} + a ^ {n-2} b + \ cdots + ab ^ {n-2} + b ^ { n -1}) = (ab) \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} a ^ {n-1-k} b ^ {k}.}

Tento vzorec má několik důležitých aplikací, například důkaz, že výkonová funkce je spojitá, nebo faktorizace polynomu z kořene . Také máme, je- li n liché ,

{\ displaystyle a ^ {n} + b ^ {n} = (a + b) (a ^ {n-1} -a ^ {n-2} b + \ cdots -ab ^ {n-2} + b ^ {n-1}) = (a + b) \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} (- 1) ^ {k} a ^ {n-1-k} b ^ {k}. }

Také máme:

{\ displaystyle a ^ 4 + b ^ 4 = (a ^ 2 + ab \ sqrt {2} + b ^ 2) (a ^ 2 - ab \ sqrt {2} + b ^ 2).}

Pokud pracujeme v množině, která není množinou čísel, poslední vzorec je platný pouze v případě , že existuje √ 2 , tj. Pokud existuje hodnota c taková, že c 2 se rovná 1 + 1. Za prvé, neutrální prvek 1 z násobení musí existovat.

Dodatky

Související článek

Kniha II of Euclid's Elements

externí odkazy

Pozoruhodná identita stupně vyššího než 2 na místě G. Villemina
Pozoruhodné identity (Flash) , na webu Sésamath

Bibliografie

R. Brault , Matematika 3 rd : Program 2008 , Paris, Hachette školství,2008, 319 s. ( ISBN 978-2-01-125539-6 ) - První část článku je do značné míry inspirována tímto odkazem.
(en) Leonard Eugene Dickson , History of the Theory of Numbers (en) [ detail vydání ], sv. II, Diophantine analysis - The two pozoruhodné identity, as well as their usage in arithmetic are present in this reference, much more technical than the previous one.

Poznámky

Tyto informace a informace k článku jsou převzaty hlavně z Braultu 2008 .
Viz k tomuto tématu článek „ Rovnice produktu - nula “.
Ostatní vzorce jsou navrženy v podrobném článku.

Reference

Doslovné psaní a pozoruhodné identity podle stránky Wouf.
Je převzato ze stránky Yvan Monka Developments , na webu m @ ths et tiques, s. 1. 2 .
A. Dahan-Dalmedico a J. Peiffer , Dějiny matematiky: Silnice a bludiště ,1986[ detail vydání ], str. 74 .
(in) John J. O'Connor a Edmund F. Robertson , „Pellova rovnice“ v archivu MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews ( číst online ).
Pascal Boyer, Malý společník čísel a jejich aplikací , Paříž, Calvage a Mounet,2019, 648 s. ( ISBN 978-2-916352-75-6 ) , I. Aritmetika ℤ, kap. 4.3. („Hurwitzova věta (1, 2, 4, 8)“), s. 67-70.