Nabla

Nabla , známý nebo podle použitých konvencí, je matematický symbol, který může označovat gradient funkce ve vektorové analýze, stejně jako spojení Koszul v diferenciální geometrii . Tyto dva pojmy jsou propojeny, což vysvětluje použití stejného symbolu. Ve fyzice se používá v dimenzi 3 ke snadné reprezentaci několika vektorových operátorů , běžně používaných v elektromagnetismu a dynamice tekutin . ∇→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}}}∇{\ displaystyle \ nabla}

Historický původ

Forma nabla pochází z obrácené řeckým písmenem delta (A), vzhledem k srovnatelné použití, řecké písmeno svisle se již používá k označení provozovatele , na Laplaceova , v diferenciálním počtu .

Definici nabla představil v roce 1847, i když bez názvu, William Rowan Hamilton a Peter Guthrie Tait vyvinul teorii z roku 1867. Dočasně zlomyslně přezdívaný „atled“ („delta“ dozadu) Jamesem Maxwellem v jeho korespondenci, jméno nabla bylo dal mu Tait na radu Williama Robertsona Smitha v roce 1870 analogicky s formou s řeckou harfou, která ve starověku nesla toto jméno (νάβλα, nábla ).

Moderní práce

Nabla je operátor vektorového diferenciálu . V Cartesian souřadnic vzhledem k základně z euklidovském prostoru o třech rozměrech , to je psáno ve tvaru: {X,y,z}{\ displaystyle \ {x, y, z \}} {i→,j→,k→}{\ displaystyle \ {{\ vec {\ mathbf {i}}}, {\ vec {\ mathbf {j}}}, {\ vec {\ mathbf {k}}} \}}

∇→=∂∂Xi→+∂∂yj→+∂∂zk→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} = {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} {\ vec {\ mathbf {i}}} + {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} {\ vec {\ mathbf {j}}} + {\ frac {\ částečné} {\ částečné z}} {\ vec {\ mathbf {k}}}}, nebo v maticové formě: (∂∂X∂∂y∂∂z){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} & {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} & {\ frac {\ částečné} {\ částečné z}} \ end {pmatrix}}}

V původní definici navržené irským matematikem a fyzikem Williamem Rowanem Hamiltonem byl základ původně tvořen třemi základními prvky čtveřic . {i,j,k}{\ displaystyle \ {\ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k} \}}

Tento operátor se používá při vektorové analýze . Pokud je skalární pole a vektorové pole je nabla operátor umožní formálně vyjádřit tři základní operace: F{\ displaystyle f}NA→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}

• gradientu skalární funkce v bodě formálně odpovídá součinu vektoru nabla prostřednictvím skalární funkce tohoto bodu, jehož výsledkem je vektor:

grad→F=∇→F=(∂F∂X∂F∂y∂F∂z){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} \, f = {\ overrightarrow {\ nabla}} f = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} & { \ frac {\ částečné f} {\ částečné y}} & {\ frac {\ částečné f} {\ částečné z}} \ konec {pmatrix}}} Všimli jsme si, že v tomto zápisu vektor nabla předchází skalární, na rozdíl od obvyklého pořadí zápisu;

• divergence vektorového funkce bodu formálně odpovídá skalární součin z nabla touto vektorové funkce, jehož výsledkem je skalární:

div⁡NA→=∇→⋅NA→=∂NAX∂X+∂NAy∂y+∂NAz∂z{\ displaystyle \ operatorname {div} {\ overrightarrow {A}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {A}} = {\ frac {\ částečné A_ {x}} {\ částečné x} } + {\ frac {\ částečné A_ {y}} {\ částečné y}} + {\ frac {\ částečné A_ {z}} {\ částečné z}}} ;

• rotační vektorového funkce bodu formálně odpovídá příčnému produktu z nabla touto vektorové funkce, jehož výsledkem je pseudo-vektor  :

říhnutí→NA→=∇→∧NA→=(∂NAz∂y-∂NAy∂z∂NAX∂z-∂NAz∂X∂NAy∂X-∂NAX∂y){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \, {\ overrightarrow {A}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} \ wedge {\ overrightarrow {A}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ částečné A_ {z}} {\ částečné y}} - {\ frac {\ částečné A_ {y}} {\ částečné z}} & {\ frac {\ částečné A_ {x}} {\ částečné z} } - {\ frac {\ částečné A_ {z}} {\ částečné x}} & {\ frac {\ částečné A_ {y}} {\ částečné x}} - {\ frac {\ částečné A_ {x}} { \ částečné y}} \ konec {pmatrix}}}.

Kromě toho lze operátor zopakovat, což formálně odpovídá druhým derivátům vstupujícím do výrazu Laplacian, přičemž dává:

• Laplacian  :

ΔF=∇→2F=∇→⋅(∇→F)=∂2F∂X2+∂2F∂y2+∂2F∂z2{\ displaystyle \ Delta f = {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} f = {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot ({\ overrightarrow {\ nabla}} f) = {\ frac {\ částečné ^ {2} f} {\ částečné x ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} f} {\ částečné y ^ {2}}} + {\ frac {\ částečné ^ {2} f } {\ částečné z ^ {2}}}} ;

• vektorový Laplacian  :

ΔNA→=∇→2NA→-∇→∧(∇→∧NA→)=∇→(∇→⋅NA→)-říhnutí→(říhnutí→NA→){\ displaystyle \ Delta {\ overrightarrow {A}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} {\ overrightarrow {A}} - {\ overrightarrow {\ nabla}} \ klín ({\ overrightarrow {\ nabla }} \ wedge {\ overrightarrow {A}}) = {\ overrightarrow {\ nabla}} ({\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {A}}) - {\ overrightarrow {\ operatorname {rot} }} ({\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} {\ overrightarrow {A}})}.

Pokud existuje několik značek, lze symbolu přiřadit písmeno jako dolní index, aby bylo možné určit značku, na kterou operátor odkazuje.

Vektorový formulář pro analýzu

Níže uvedený seznam shrnuje definice hlavních operátorů používaných při vektorové analýze, které lze vyjádřit pomocí operátoru nabla v různých souřadnicových systémech .

Chirurgická operace	Kartézské souřadnice (X,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}	Válcové souřadnice (r,θ,z){\ displaystyle (r, \ theta, z)}	Sférické souřadnice (r,θ,φ){\ displaystyle (r, \ theta, \ varphi)}
Definition of souřadnic		{X=rcos⁡θy=rhřích⁡θz=z{\ displaystyle {\ begin {cases} x = r \ cos \ theta \\ y = r \ sin \ theta \\ z = z \ end {případů}}}	{X=rhřích⁡θcos⁡φy=rhřích⁡θhřích⁡φz=rcos⁡θ{\ displaystyle {\ begin {cases} x = r \ sin \ theta \ cos \ varphi \\ y = r \ sin \ theta \ sin \ varphi \\ z = r \ cos \ theta \ end {případy}}}
NA→{\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}	NAXu→X+NAyu→y+NAzu→z{\ displaystyle A_ {x} {\ overrightarrow {u}} _ {x} + A_ {y} {\ overrightarrow {u}} _ {y} + A_ {z} {\ overrightarrow {u}} _ {z} }	NAru→r+NAθu→θ+NAzu→z{\ displaystyle A_ {r} {\ overrightarrow {u}} _ {r} + A _ {\ theta} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} + A_ {z} {\ overrightarrow {u}} _ {z}}	NAru→r+NAθu→θ+NAφu→φ{\ displaystyle A_ {r} {\ overrightarrow {u}} _ {r} + A _ {\ theta} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} + A _ {\ varphi} {\ overrightarrow {u} } _ {\ varphi}}
∇→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}}}	∂∂XuX→+∂∂yuy→+∂∂zuz→{\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} {\ vec {u_ {x}}} + {\ frac {\ částečné} {\ částečné y}} {\ vec {u_ {y}}} + {\ frac {\ částečné} {\ částečné z}} {\ vec {u_ {z}}}}	u→r∂∂r+1ru→θ∂∂θ+u→z∂∂z{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {r} {\ částečné \ nad \ částečné r} + {1 \ nad r} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} {\ částečné \ nad \ částečné \ theta} + {\ overrightarrow {u}} _ {z} {\ částečné \ přes \ částečné z}}	u→r∂∂r+1ru→θ∂∂θ+1rhřích⁡θu→φ∂∂φ{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {r} {\ částečné \ nad \ částečné r} + {1 \ nad r} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} {\ částečné \ nad \ částečné \ theta} + {1 \ over r \ sin \ theta} {\ overrightarrow {u}} _ {\ varphi} {\ částečné \ over \ částečné \ varphi}}
∇→F=Grnad→F{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} f = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} f}	∂F∂Xu→X+∂F∂yu→y+∂F∂zu→z{\ displaystyle {\ částečné f \ nad \ částečné x} {\ overrightarrow {u}} _ {x} + {\ částečné f \ přes \ částečné y} {\ overrightarrow {u}} _ {y} + {\ částečné f \ over \ částečné z} {\ overrightarrow {u}} _ {z}}	∂F∂ru→r+1r∂F∂θu→θ+∂F∂zu→z{\ displaystyle {\ částečné f \ nad \ částečné r} {\ overrightarrow {u}} _ {r} + {1 \ over r} {\ částečné f \ over \ částečné \ theta} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} + {\ částečné f \ nad \ částečné z} {\ overrightarrow {u}} _ {z}}	∂F∂ru→r+1r∂F∂θu→θ+1rhřích⁡θ∂F∂φu→φ{\ displaystyle {\ částečné f \ nad \ částečné r} {\ overrightarrow {u}} _ {r} + {1 \ over r} {\ částečné f \ over \ částečné \ theta} {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta} + {1 \ over r \ sin \ theta} {\ částečné f \ přes \ částečné \ varphi} {\ overrightarrow {u}} _ {\ varphi}}
∇→⋅NA→=diprotiNA→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} \ cdot {\ overrightarrow {A}} = \ mathrm {div} {\ overrightarrow {A}}}	∂NAX∂X+∂NAy∂y+∂NAz∂z{\ displaystyle {\ částečné A_ {x} \ nad \ částečné x} + {\ částečné A_ {y} \ nad \ částečné y} + {\ částečné A_ {z} \ nad \ částečné z}}	1r∂(rNAr)∂r+1r∂NAθ∂θ+∂NAz∂z{\ displaystyle {1 \ nad r} {\ částečné (rA_ {r}) \ nad \ částečné r} + {1 \ nad r} {\ částečné A _ {\ theta} \ nad \ částečné \ theta} + {\ částečné A_ {z} \ nad \ částečné z}}	1r2∂(r2NAr)∂r+1rhřích⁡θ∂(NAθhřích⁡θ)∂θ+1rhřích⁡θ∂NAφ∂φ{\ displaystyle {1 \ nad r ^ {2}} {\ částečné (r ^ {2} A_ {r}) \ nad \ částečné r} + {1 \ nad r \ sin \ theta} {\ částečné (A_ { \ theta} \ sin \ theta) \ přes \ částečné \ theta} + {1 \ nad r \ sin \ theta} {\ částečné A _ {\ varphi} \ přes \ částečné \ varphi}}
∇→∧NA→=rÓt→NA→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} \ klín {\ overrightarrow {A}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ overrightarrow {A}}}	(∂NAz∂y-∂NAy∂z)u→X{\ displaystyle \ left ({\ částečné A_ {z} \ nad \ částečné y} - {\ částečné A_ {y} \ nad \ částečné z} \ doprava) {\ overrightarrow {u}} _ {x}} +(∂NAX∂z-∂NAz∂X)u→y{\ displaystyle + \ left ({\ částečné A_ {x} \ přes \ částečné z} - {\ částečné A_ {z} \ přes \ částečné x} \ doprava) {\ overrightarrow {u}} _ {y}} +(∂NAy∂X-∂NAX∂y)u→z{\ displaystyle + \ left ({\ částečné A_ {y} \ přes \ částečné x} - {\ částečné A_ {x} \ přes \ částečné y} \ doprava) {\ overrightarrow {u}} _ {z}}	(1r∂NAz∂θ-∂NAθ∂z)u→r{\ displaystyle \ left ({1 \ over r} {\ částečné A_ {z} \ přes \ částečné \ theta} - {\ částečné A _ {\ theta} \ přes \ částečné z} \ vpravo) {\ overrightarrow {u }} _ {r}} +(∂NAr∂z-∂NAz∂r)u→θ{\ displaystyle + \ left ({\ částečné A_ {r} \ nad \ částečné z} - {\ částečné A_ {z} \ nad \ částečné r} \ doprava) {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta}}+1r(∂(rNAθ)∂r-∂NAr∂θ)u→z{\ displaystyle + {1 \ přes r} \ vlevo ({\ částečné (rA _ {\ theta}) \ přes \ částečné r} - {\ částečné A_ {r} \ přes \ částečné \ theta} \ pravé) {\ overrightarrow {u}} _ {z}}	1rhřích⁡θ(∂(NAφhřích⁡θ)∂θ-∂NAθ∂φ)u→r{\ displaystyle {1 \ over r \ sin \ theta} \ left ({\ částečné (A _ {\ varphi} \ sin \ theta) \ přes \ částečné \ theta} - {\ částečné A _ {\ theta} \ přes \ částečné \ varphi} \ pravé) {\ overrightarrow {u}} _ {r}} +(1rhřích⁡θ∂NAr∂φ-1r∂(rNAφ)∂r)u→θ{\ displaystyle + \ left ({1 \ over r \ sin \ theta} {\ částečné A_ {r} \ over \ částečné \ varphi} - {1 \ over r} {\ částečné (rA _ {\ varphi}) \ přes \ částečné r} \ pravé) {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta}} +1r(∂(rNAθ)∂r-∂NAr∂θ)u→φ{\ displaystyle + {1 \ přes r} \ vlevo ({\ částečné (rA _ {\ theta}) \ přes \ částečné r} - {\ částečné A_ {r} \ přes \ částečné \ theta} \ pravé) {\ overrightarrow {u}} _ {\ varphi}}
ΔF=∇→2F{\ displaystyle \ Delta f = {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} f}	∂2F∂X2+∂2F∂y2+∂2F∂z2{\ displaystyle {\ částečné ^ {2} f \ nad \ částečné x ^ {2}} + {\ částečné ^ {2} f \ nad \ částečné y ^ {2}} + {\ částečné ^ {2} f \ přes \ částečné z ^ {2}}}	1r∂∂r(r∂F∂r)+1r2∂2F∂θ2+∂2F∂z2{\ displaystyle {1 \ nad r} {\ částečné \ nad \ částečné r} \ vlevo (r {\ částečné f \ nad \ částečné r} \ doprava) + {1 \ nad r ^ {2}} {\ částečné ^ {2} f \ over \ částečné \ theta ^ {2}} + {\ částečné ^ {2} f \ over \ částečné z ^ {2}}}	1r2∂∂r(r2∂F∂r)+1r2hřích⁡θ∂∂θ(hřích⁡θ∂F∂θ)+1r2hřích2⁡θ∂2F∂φ2{\ displaystyle {1 \ nad r ^ {2}} {\ částečné \ nad \ částečné r} \ vlevo (r ^ {2} {\ částečné f \ přes \ částečné}} vpravo) + {1 \ nad r ^ {2} \ sin \ theta} {\ částečné \ nad \ částečné \ theta} \ vlevo (\ sin \ theta {\ částečné f \ nad \ částečné \ theta} \ pravé) + {1 \ nad r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {\ částečné ^ {2} f \ nad \ částečné \ varphi ^ {2}}}
ΔNA→=∇→2NA→-říhnutí→(říhnutí→NA→){\ displaystyle \ Delta {\ overrightarrow {A}} = {\ overrightarrow {\ nabla}} ^ {2} {\ overrightarrow {A}} - {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} ({\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} {\ overrightarrow {A}})}	ΔNAXu→X+ΔNAyu→y+ΔNAzu→z{\ displaystyle \ Delta A_ {x} \; {\ overrightarrow {u}} _ {x} + \ Delta A_ {y} \; {\ overrightarrow {u}} _ {y} + \ Delta A_ {z} \ ; {\ overrightarrow {u}} _ {z}}	(ΔNAr-NArr2-2r2∂NAθ∂θ)u→r{\ displaystyle \ left (\ Delta A_ {r} - {A_ {r} \ nad r ^ {2}} - {2 \ nad r ^ {2}} {\ částečné A _ {\ theta} \ nad \ částečné \ theta} \ right) {\ overrightarrow {u}} _ {r}} +(ΔNAθ-NAθr2+2r2∂NAr∂θ)u→θ{\ displaystyle + \ left (\ Delta A _ {\ theta} - {A _ {\ theta} \ nad r ^ {2}} + {2 \ nad r ^ {2}} {\ částečné A_ {r} \ přes \ částečná \ theta} \ doprava) {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta}}+ΔNAzu→z{\ displaystyle + \ Delta A_ {z} \; {\ overrightarrow {u}} _ {z}}	(ΔNAr-2NArr2-2NAθcos⁡θr2hřích⁡θ-2r2∂NAθ∂θ-2r2hřích⁡θ∂NAφ∂φ)u→r{\ displaystyle \ left (\ Delta A_ {r} - {\ frac {2A_ {r}} {r ^ {2}}} - {\ frac {2A _ {\ theta} \ cos \ theta} {r ^ { 2} \ sin \ theta}} - {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné A _ {\ theta}} {\ částečné \ theta}} - {\ frac {2} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečné A _ {\ varphi}} {\ částečné \ varphi}} \ pravé) {\ overrightarrow {u}} _ {r}} +(ΔNAθ-NAθr2hřích2⁡θ+2r2∂NAr∂θ-2cos⁡θr2hřích2⁡θ∂NAφ∂φ)u→θ{\ displaystyle + \ left (\ Delta A _ {\ theta} - {\ frac {A _ {\ theta}} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} + {\ frac {2} {r ^ {2}}} {\ frac {\ částečné A_ {r}} {\ částečné \ theta}} - {\ frac {2 \ cos \ theta} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ částečné A _ {\ varphi}} {\ částečné \ varphi}} \ pravé) {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta}}+(ΔNAφ-NAφr2hřích2⁡θ+2r2hřích⁡θ∂NAr∂φ+2cos⁡θr2hřích2⁡θ∂NAθ∂φ)u→φ{\ displaystyle + \ left (\ Delta A _ {\ varphi} - {\ frac {A _ {\ varphi}} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} + {\ dfrac {2} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ částečné A_ {r}} {\ částečné \ varphi}} + {\ frac {2 \ cos \ theta} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ částečné A _ {\ theta}} {\ částečné \ varphi}} \ pravé) {\ overrightarrow {u}} _ {\ varphi}}

Použití výrazů v koordinaci jiných než kartézského systému vyžaduje, aby i nadále hlídat použití parciálních derivací na prvky , a . Ty jsou pole nekonstantní vektorů , odhalují konkrétní termíny, když je podroben odvození (na rozdíl od , a které mají nulovou deriváty). ∇→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}}}u→φ{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {\ varphi}}u→r{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {r}}u→θ{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {\ theta}} u→X{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {x}}u→y{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {y}}u→z{\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} _ {z}}

Jiné použití

V jazyce APL znaménko nabla nebo del (∇) znamená, že chcete vstoupit nebo ukončit režim definice funkce.

Podívejte se také

Související články

• Pseudovektor
• Kovovariantní derivát
• Tabulka matematických symbolů

externí odkazy

• (v) Jmenoval Nabla

Reference

1. (in) Ivor Grattan-Guinness, Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940 , Elsevier ,2005, 1022  s. ( ISBN  0-444-50871-6 ) , str.  466.
2. (in) Life and Scientific Work of Peter Guthrie Tait , Cambridge University Press , 383  p. , str.  143-145.