Snížená hmotnost
Ve fyzice, sníženou hmotností je hmotnost přidělený fiktivní objektu realizované ve zjednodušení problémy interakce dvou těles z newtonovské mechaniky .
Snížená hmotnost se obvykle označuje řeckým písmenem μ a její jednotky SI jsou stejné jako jednotky hmotnosti: kilogramy (kg).
Rovnice
Problém dvou těl
Nechte dvě částice vzájemně působit, jedna z hmoty a druhá z hmoty , pohyb těchto dvou hmot může být snížen na pohyb jedné částice (snížené) hmotnosti :
m1{\ displaystyle m_ {1}}m2{\ displaystyle m_ {2}}μ{\ displaystyle \ mu}
μ=11m1+1m2=m1m2m1+m2 .{\ displaystyle \ mu = {1 \ nad {{1 \ nad m_ {1}} + {1 \ nad m_ {2}}}} = {{m_ {1} m_ {2}} \ nad {m_ {1 } + m_ {2}}} \.}
Síla aplikovaná na tuto hmotu je výsledkem sil mezi počátečními hmotami. Problém je poté vyřešen matematicky nahrazením hmot takto:
m1→μ{\ displaystyle m_ {1} \ rightarrow \ mu}
a
m2→0{\ displaystyle m_ {2} \ rightarrow 0}
N tělo problém
Definici redukované hmotnosti lze zobecnit na problém N-těla :
μ=(∑i=1ne1mi)-1{\ displaystyle \ mu = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {m_ {i}}} \ right) ^ {- 1}}
Přiblížení
Když je hmotnost mnohem větší než hmotnost, redukovaná hmotnost se přibližně rovná nižší z hmot:
m1{\ displaystyle m_ {1}}m2{\ displaystyle m_ {2}}
μ=m1m2m1+m2 =m1m2m1(1+m2m1) =m21+m2m1 ≈m2{\ displaystyle \ mu = {{m_ {1} m_ {2}} \ nad {m_ {1} + m_ {2}}} \ = {{m_ {1} m_ {2}} \ nad {m_ {1 }} ({1 + {{m_ {2}} \ nad {m_ {1}}})}} \ = {{m_ {2}} \ nad {1 + {{m_ {2}} \ nad {m_ {1}}}}} \ \ přibližně m_ {2}}
Derivace
Rovnice mechaniky jsou odvozeny následovně.
Newtonovská mechanika
The Newtonův druhý zákon může vyjádřit sílu vyvíjenou částice 2 o částice 1 jako
F12=m1na1.{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = m_ {1} \ mathbf {a} _ {1}. \! \,}Síla vyvíjená částicemi 1 na částice 2 je
F21=m2na2.{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {21} = m_ {2} \ mathbf {a} _ {2}. \! \,}The třetího Newtonova zákona se uvádí, že síla, kterou působí částic 2 na částice 1 je stejná a opačná k síle vyvozované částice 1 částice 2
F12=-F21.{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = - \ mathbf {F} _ {21}. \! \,}Tak,
m1na1=-m2na2.{\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {a} _ {1} = - m_ {2} \ mathbf {a} _ {2}. \! \,}a
na2=-m1m2na1.{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = - {m_ {1} \ nad m_ {2}} \ mathbf {a} _ {1}. \! \,}Relativní zrychlení a rel mezi dvěma tělesy je dáno
narEl=na1-na2=(1+m1m2)na1=m2+m1m2na1=F12μ.{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ rm {rel}} = \ mathbf {a} _ {1} - \ mathbf {a} _ {2} = \ left (1 + {\ frac {m_ {1} } {m_ {2}}} \ right) \ mathbf {a} _ {1} = {\ frac {m_ {2} + m_ {1}} {m_ {2}}} \ mathbf {a} _ {1 } = {\ frac {\ mathbf {F} _ {12}} {\ mu}}.}To umožňuje dospět k závěru, že částice 1 se pohybuje vzhledem k poloze částice 2, jako by to bylo těleso hmoty ekvivalentní redukované hmotnosti.
Lagrangian mechanika
Problém dvou těl je popsán v Lagrangeově mechanice následujícím
Lagrangeovým
L=12m1r˙12+12m2r˙22-PROTI(|r1-r2|){\ displaystyle L = {1 \ nad 2} m_ {1} \ mathbf {\ dot {r}} _ {1} ^ {2} + {1 \ nad 2} m_ {2} \ mathbf {\ dot {r }} _ {2} ^ {2} -V (| \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2} |) \! \,}kde r i je polohový vektor částice (o hmotnosti m i ) a V je funkce potenciální energie, která závisí pouze na vzdálenosti mezi částicemi (podmínka nutná k udržení translační invariance systému). Definujeme
i{\ displaystyle i}
r=r1-r2{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}}a umístíme počátek použitého souřadnicového systému tak, aby se shodoval s těžištěm
m1r1+m2r2=0{\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {r} _ {2} = 0}.
Takto,
r1=m2rm1+m2,r2=-m1rm1+m2.{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} = {\ frac {m_ {2} \ mathbf {r}} {m_ {1} + m_ {2}}}, \ mathbf {r} _ {2} = {\ frac {-m_ {1} \ mathbf {r}} {m_ {1} + m_ {2}}}.}Když to dosadíme do lagrangeštiny, dostaneme se
L=12μr˙2-PROTI(r),{\ displaystyle L = {1 \ nad 2} \ mu \ mathbf {\ dot {r}} ^ {2} -V (r),}nový Lagrangian pro částice se sníženou hmotností:
μ=m1m2m1+m2.{\ displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}.}Původní problém se dvěma těly jsme proto omezili na problém se zjednodušeným fungováním jednoho těla.
Poznámky a odkazy
(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku
anglické Wikipedie s názvem
„ Reduced mass “ ( viz seznam autorů ) .
John R. Taylor ( z angličtiny přeložili Tamer Becherrawy a Aurélie Cusset), Classical Mechanics , Brusel / Paříž, De Boeck ,2012, 877 s. ( ISBN 978-2-8041-5689-3 )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">