Tyto matematické dozadu jsou odvětví matematiky, které by mohly být definovány jednoduše myšlenkou „Vraťme se zpět k axiomů z vět “, na rozdíl od obvyklém slova smyslu (axiomy do vět). Přesněji řečeno, jde o vyhodnocení logické robustnosti sady obvyklých matematických výsledků určením přesně toho, které axiomy jsou nezbytné a dostatečné k jejich prokázání.
Doménu vytvořil Harvey Friedman ve svém článku „ Některé systémy aritmetiky druhého řádu a jejich použití “.
V předmětu pokračoval mimo jiné Stephen G. Simpson a jeho studenti. Simpson napsal klíčovou práci na toto téma, Subsystémy aritmetiky druhého řádu , jejíž zavedení bylo velmi inspirací pro tento článek.
Princip reverzní matematiky je následující: považujeme strukturovaný jazyk a základní teorii za příliš slabé na to, abychom dokázali většinu teorémů, které by nás mohly zajímat, ale stále dostatečně silné na to, abychom dokázali rovnocennost určitých tvrzení, jejichž rozdíl je opravdu minimální, nebo určit určité skutečnosti považované za zcela zřejmé (například komutativnost sčítání). Nad touto slabou základní teorií je úplná teorie (sada axiomů), dostatečně silná, aby dokázala věty, které nás zajímají, a ve které klasická matematická intuice zůstává nedotčena.
Mezi základním systémem a úplným systémem hledá matematik sady axiomů střední robustnosti, které pravděpodobně nejsou ekvivalentní v párech (v základním systému): každý systém musí nejen dokázat to či ono věty klasické, ale musí také být ekvivalentní (v základním systému). Tím je zajištěno, že logická robustnost věty byla přesně dosažena (alespoň pro strukturovaný jazyk a základní systém): omezenější sada axiomů nemohla stačit k prokázání věty a nemohla by znamenat širší.
Princip tedy začíná od úplného systému k základnímu systému, přičemž si všímáme axiomů, které reciproční proces umožnily získat základní systém.