Matice hustoty

V kvantové fyzice je matice hustoty , často představovaná , matematickým objektem zavedeným matematikem a fyzikem Johnem von Neumannem k popisu stavu fyzického systému. Představuje zobecnění formulace fyzického stavu pomocí ket , protože umožňuje popsat obecnější stavy, nazývané statistické směsi, které předchozí formulace neuměla popsat. $\ rho$ ${\ displaystyle \ left | \ psi (t) \ right \ rangle}$

Statistické směsi se používají k popisu statistických souborů složených z různých možných příprav systému, například systému v tepelné rovnováze při nenulové teplotě nebo systému, kde příprava stavu zahrnuje náhodné mechanismy. Měly by být také použity k popisu stavu subsystému, když celkový systém zahrnuje několik zapletených subsystémů, přestože je stav celého systému čistý. Tento formalismus je také hlavním nástrojem teorie dekoherence.

Matice hustoty je reprezentací operátoru hustoty pro danou základní volbu. V praxi je rozdíl mezi nimi často přehlížen.

To shrnuje v jedné matrici celou možnou sadu z kvantových stavů daného fyzického systému v daném okamžiku, a tak kombinuje kvantové mechaniky a statistická fyzika . Stejně jako formulace používající ket lze z této matice získat všechny vlastnosti systému (očekávané hodnoty pozorovatelných hodnot).

Definice

Čistý případ

Libovolný stav, který lze popsat vektorem normálního stavu, nyní popisuje operátor . $| \ psi \ rangle$ ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} = \ levý | \ psi \ pravý \ rangle \ levý \ langle \ psi \ pravý |}$

V ortonormálním základě stavového prostoru je tento operátor představován maticí hustoty, jejíž prvky jsou: ${\ displaystyle \ left \ {\ left | u_ {n} \ right \ rangle \ right \}}$

ρp,ne=⟨up∣ρ^∣une⟩=⟨up∣ψ⟩⟨ψ∣une⟩=vs.ne∗vs.p{\ displaystyle \ rho _ {p, n} = \ left \ langle u_ {p} \ mid {\ hat {\ rho}} \ mid u_ {n} \ right \ rangle = \ left \ langle u_ {p} \ mid \ psi \ right \ rangle \ left \ langle \ psi \ mid u_ {n} \ right \ rangle = c_ {n} ^ {*} c_ {p}} ${\ displaystyle \ rho _ {p, n} = \ left \ langle u_ {p} \ mid {\ hat {\ rho}} \ mid u_ {n} \ right \ rangle = \ left \ langle u_ {p} \ mid \ psi \ right \ rangle \ left \ langle \ psi \ mid u_ {n} \ right \ rangle = c_ {n} ^ {*} c_ {p}}$

kde jsou koeficienty v základně . Tyto koeficienty jsou například: ${\ displaystyle c_ {n} = \ left \ langle u_ {n} \ mid \ psi \ right \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ ${\ displaystyle \ left \ {\ left | u_ {n} \ right \ rangle \ right \}}$

|ψ⟩=∑nevs.ne|une⟩ a ∑ne|vs.ne|2=1{\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle = \ sum _ {n} {c_ {n} \ left | u_ {n} \ right \ rangle} {\ text {and}} \ sum _ {n} | c_ {n} | ^ {2} = 1} ${\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle = \ sum _ {n} {c_ {n} \ left | u_ {n} \ right \ rangle} {\ text {and}} \ sum _ {n} | c_ {n} | ^ {2} = 1}$

Poté můžeme operátor hustoty přepsat jako:

ρ^=|ψ⟩⟨ψ|=∑ne,pvs.ne∗vs.p|up⟩⟨une|{\ displaystyle {\ hat {\ rho}} = | \ psi \ rangle \ langle \ psi | = \ sum _ {n, p} c_ {n} ^ {*} c_ {p} | u_ {p} \ rangle \ langle u_ {n} |}

{\ displaystyle {\ hat {\ rho}} = | \ psi \ rangle \ langle \ psi | = \ sum _ {n, p} c_ {n} ^ {*} c_ {p} | u_ {p} \ rangle \ langle u_ {n} |}

Tato nová formulace je naprosto totožná s předchozí. Říkáme, že takto získané matice hustoty jsou čisté, protože je lze získat ze stavového vektoru a naopak.

Statistická směs

Matice hustoty jsou také schopné reprezentovat stavy, které formulace pomocí stavových vektorů nedokázala popsat.

Pro statistické směsi se operátor hustota je kombinace konvexní z čistých stavů.

ρ^=∑ipi|ψi⟩⟨ψi|{\ displaystyle {\ hat {\ rho}} = \ součet _ {i} p_ {i} \ levý | \ psi _ {i} \ pravý \ rangle \ levý \ langle \ psi _ {i} \ pravý |} ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} = \ součet _ {i} p_ {i} \ levý | \ psi _ {i} \ pravý \ rangle \ levý \ langle \ psi _ {i} \ pravý |}$

kde jsou kladné koeficienty, jejichž součet je 1, tj., a . $p_ {i}$ ${\ Displaystyle p_ {i} \ geqslant 0 \; \ forall i}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i} p_ {i} = 1}$

Je tedy pravděpodobnost, že se tento stav nachází v čistém stavu . $p_ {i}$ ${\ displaystyle \ left | \ psi _ {i} \ right \ rangle \ left \ langle \ psi _ {i} \ right |}$

Je snadno vidět, že je někdy nemožné přepsat, kde by byl přidružený stavový vektor. Takový stav se nazývá statistická směs . ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} _ {p, n} = | \ psi \ rangle \ langle \ psi |}$ $| \ psi \ rangle$

Na ortonormálním základě stavového prostoru můžeme ukázat, že tento operátor je reprezentován maticí hustoty, jejíž prvky jsou: ${\ displaystyle \ left \ {\ left | u_ {n} \ right \ rangle \ right \}}$

ρp,ne=⟨up∣ρ^∣une⟩=⟨up|(∑ipi|ψi⟩⟨ψi|)|une⟩=∑ipi⟨up∣ψi⟩⟨ψi∣une⟩=∑ipivs.ne(i)∗vs.p(i){\ displaystyle \ rho _ {p, n} = \ left \ langle u_ {p} \ mid {\ hat {\ rho}} \ mid u_ {n} \ right \ rangle = \ left \ langle u_ {p} \ vpravo | \ vlevo (\ sum _ {i} p_ {i} \ vlevo | \ psi _ {i} \ vpravo \ rangle \ vlevo \ langle \ psi _ {i} \ vpravo | \ vpravo) \ vlevo | u_ {n } \ right \ rangle = \ sum _ {i} p_ {i} \ left \ langle u_ {p} \ mid \ psi _ {i} \ right \ rangle \ left \ langle \ psi _ {i} \ mid u_ { n} \ right \ rangle = \ sum _ {i} p_ {i} c_ {n} ^ {(i) *} c_ {p} ^ {(i)}} ${\ displaystyle \ rho _ {p, n} = \ left \ langle u_ {p} \ mid {\ hat {\ rho}} \ mid u_ {n} \ right \ rangle = \ left \ langle u_ {p} \ vpravo | \ vlevo (\ sum _ {i} p_ {i} \ vlevo | \ psi _ {i} \ vpravo \ rangle \ vlevo \ langle \ psi _ {i} \ vpravo | \ vpravo) \ vlevo | u_ {n } \ right \ rangle = \ sum _ {i} p_ {i} \ left \ langle u_ {p} \ mid \ psi _ {i} \ right \ rangle \ left \ langle \ psi _ {i} \ mid u_ { n} \ right \ rangle = \ sum _ {i} p_ {i} c_ {n} ^ {(i) *} c_ {p} ^ {(i)}}$

kde jsou koeficienty v základně . Tyto koeficienty jsou například: ${\ displaystyle c_ {n} ^ {(i)} = \ left \ langle u_ {n} \ mid \ psi _ {i} \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ left | u_ {n} \ right \ rangle \ right \}}$

|ψi⟩=∑nevs.ne(i)|une⟩ a ∑ne|vs.ne(i)|2=1{\ displaystyle \ left | \ psi _ {i} \ right \ rangle = \ sum _ {n} {c_ {n} ^ {(i)} \ left | u_ {n} \ right \ rangle} {\ text { a}} \ sum _ {n} | c_ {n} ^ {(i)} | ^ {2} = 1} ${\ displaystyle \ left | \ psi _ {i} \ right \ rangle = \ sum _ {n} {c_ {n} ^ {(i)} \ left | u_ {n} \ right \ rangle} {\ text { a}} \ sum _ {n} | c_ {n} ^ {(i)} | ^ {2} = 1}$

Poté můžeme v této základně napsat operátor hustoty jako:

ρ^=∑ne,pρp,ne|up⟩⟨une|=∑ne,p,ipivs.ne(i)∗vs.p(i)|up⟩⟨une|{\ displaystyle {\ hat {\ rho}} = \ sum _ {n, p} \ rho _ {p, n} | u_ {p} \ rangle \ langle u_ {n} | = \ sum _ {n, p , i} p_ {i} c_ {n} ^ {(i) *} c_ {p} ^ {(i)} | u_ {p} \ rangle \ langle u_ {n} |}

{\ displaystyle {\ hat {\ rho}} = \ sum _ {n, p} \ rho _ {p, n} | u_ {p} \ rangle \ langle u_ {n} | = \ sum _ {n, p , i} p_ {i} c_ {n} ^ {(i) *} c_ {p} ^ {(i)} | u_ {p} \ rangle \ langle u_ {n} |}

Zde uvedený statistický aspekt má dvě podstaty, jednu klasickou a druhou kvantovou:

1. klasický : kvůli odhadovanému ketu náhodným rozdělením různých možných ketů, 2. Kvantum : základní kvantová nejistota, i když je systém zcela určen.

Vlastnosti

Získaná matice má následující vlastnosti:

Je to Hermitian , takže může být diagonalizován a jeho vlastní hodnoty jsou pozitivní. ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} = {\ hat {\ rho}} ^ {\ dagger}}$
Jeho stopa se rovná 1 ,, zachování celkové pravděpodobnosti. ${\ displaystyle Tr ({\ hat {\ rho}}) = 1}$
Musí to být pozitivní.
V případě čistém stavu, operátor hustoty je pak projektor : . ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} ^ {2} = {\ hat {\ rho}}}$
${\ displaystyle Tr (\ rho ^ {2}) \ leq 1}$ , s rovností právě tehdy, když je fyzický systém v čistém stavu (tj. všechny jsou nulové kromě jednoho). $p_ {i}$

Průměrná hodnota

Můžeme vypočítat střední hodnotu pozorovatelného A ze vzorce:

{\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = \ langle \ Psi | {\ hat {A}} | \ Psi \ rangle = \ mathrm {Tr} ({\ hat {A}} {\ hat { \ rho}}) = \ mathrm {Tr} ({\ hat {\ rho}} {\ hat {A}})}

kde je matice hustoty statistické směsi států. ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} = \ součet _ {i} ^ {N} p_ {i} {\ hat {\ rho}} _ {i}}$

Demonstrace

Uvažujeme o statistické směsi států:

{\ displaystyle | \ Psi _ {i} \ rangle = \ součet _ {n} c_ {n} ^ {(i)} | u_ {n} ^ {(i)} \ rangle}

{\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = \ sum _ {i} p_ {i} \ langle \ Psi _ {i} | {\ hat {A}} | \ Psi _ {i} \ rangle = \ sum _ {i} p_ {i} \ sum _ {n, p} c_ {n} ^ {(i) *} c_ {p} ^ {(i)} \ langle u_ {n} ^ {(i )} | {\ hat {A}} | u_ {p} ^ {(i)} \ rangle}

{\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = \ sum _ {i} p_ {i} \ sum _ {n, p} \ langle u_ {p} ^ {(i)} | {\ hat { \ rho}} _ {i} | u_ {n} ^ {(i)} \ rangle \ langle u_ {n} ^ {(i)} | {\ hat {A}} | u_ {p} ^ {(i )} \ rangle}

{\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = \ sum _ {i} p_ {i} \ mathrm {Tr} ({\ hat {\ rho}} _ {i} {\ hat {A}} )}

odkud :

{\ displaystyle \ langle {\ hat {A}} \ rangle = \ mathrm {Tr} ({\ hat {A}} {\ hat {\ rho}}) = \ mathrm {Tr} ({\ hat {\ rho }} {\ hat {A}})}

Vývoj v čase

Časový vývoj stavového vektoru je dán časově závislou Schrödingerovou rovnicí :

{\ displaystyle {\ hat {H}} \ vlevo | \ Psi (t) \ vpravo \ rangle = i \ hbar {d \ over dt} \ vlevo | \ Psi (t) \ vpravo \ rangle}

Pokud jde o matici hustoty, máme Liouville-Von Neumannovu rovnici:

{\ displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {\ rho}}] = i \ hbar {d \ over dt} {\ hat {\ rho}}}

Spojení s entropií

Nakonec můžeme definovat entropii z Von Neumann :

{\ displaystyle S = -k_ {B} \ mathrm {Tr} ({\ hat {\ rho}} \ ln ({\ hat {\ rho}}))}

kde je Boltzmannova konstanta . $k_ {B}$

Entropie čistého stavu je nulová, protože neexistuje nejistota ohledně stavu systému. Můžeme také najít základnu, kde je matice diagonální, s 0 a 1 na diagonále, což dává entropii rovnou 0.

Podívejte se také

Bibliografie

C. Cohen-Tannoudji , B. Diu a F. Laloë , Kvantová mechanika [ detail vydání ]
Bernard Diu , Claudine Guthmann, Danielle Lederer a Bernard Roulet, Elementy statistické fyziky ,1996[ detail vydání ]