Ortogonální matice

Čtvercová matice ( n řádků, n sloupce) se reálné koeficienty se říká, že kolmý , pokud t A = I n , kde t je provedena matice z A a I n je matice identity .

Příklady

Příklady matric jsou ortogonálních rotační matrice , jako je například matice rovině otáčení o úhel t Vstup

{\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}

nebo permutační matice , jako např

{\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}.

Vlastnosti

Skutečný matice je ortogonální, jestliže a pouze v případě, že je invertible a jeho inverzní se rovná jeho přemístit: -1 = t .
Čtvercová matice je ortogonální právě tehdy, jsou-li její sloupcové vektory dva na dva ortogonální a normy 1. Ortogonální matice tedy představuje ortonormální základ .
Čtvercová matice je také ortogonální právě tehdy, když je její transpozice ( tj. A t A = I n ), takže právě tehdy, jsou-li její řádkové vektory dva až dva ortogonální a normy 1.
Determinant z ortogonální matice je čtvercová 1, to znamená, že se rovná +1 nebo -1 (dále hovořit je triviálně FALSE). O ortogonální matici se říká, že je přímá, pokud má její determinant hodnotu +1, a nepřímá, pokud má hodnotu –1.
Klimatizace z ortogonální matice je roven 1.
Násobení vektoru ortogonální maticí zachovává euklidovskou normu (spojenou s kanonickým skalárním součinem R n ) tohoto vektoru.
Sada těchto matic je skupina, která se nazývá ortogonální skupina a označuje O ( n , R ). Interpretuje se geometricky jako soubor vektorových izometrií, nazývaných také ortogonální automorfismy , euklidovského prostoru R n . Přesněji řečeno, endomorfismus euklidovského prostoru je ortogonální, a to pouze tehdy, existuje-li ortonormální základ, ve kterém je jeho matice ortogonální (a pokud ano, jeho matice v jakémkoli ortonormálním základě bude stále ortogonální).
Sada přímých ortogonálních matic (s determinantem rovným 1) tvoří podskupinu ortogonální skupiny, která se nazývá speciální ortogonální skupina a označuje SO ( n , R ). V dimenzi 3 je to geometrickým způsobem interpretováno jako množina rotací euklidovského prostoru R 3 (osa rotace je dána vlastním prostorem spojeným s vlastní hodnotou +1).
Tento výsledek je tedy zobecněn v jakékoli dimenzi: jakákoli ortogonální matice je podobná , prostřednictvím samotné průchozí matice ortogonální, matici formy ${\ begin {pmatrix} {\ begin {matrix} R_ {1} && \\ & \ ddots & \\ && R_ {p} \ end {matrix}} & 0 \\ 0 & {\ begin {matrix} \ varepsilon _ {1} && \\ & \ ddots & \\ && \ varepsilon _ {q} \ end {matrix}} \\\ end {pmatrix}},$ kde R i jsou matice rovinných rotací a každé ε j je buď 1 nebo –1.
Ortogonální matice jsou jednotkové matice se skutečnými koeficienty.