Axiální multipolární moment

V elektrostatice a obecněji v teorii potenciálu je axiální multipolární moment řádu k (kladné nebo nulové celé číslo) fyzikální veličina, která se objevuje při vývoji v řadě potenciálu vytvořeného ve velké vzdálenosti distribucí elektrických nábojů distribuovaných podle k ose (poznamenal Oz , O je původ).

V případě rozdělení zatížení popsaného diskrétním způsobem, to znamená N zatížení hodnot rozložených do poloh na ose, je axiální multipolární moment řádu k nebo 2 k -polární moment definován prostřednictvím: $q_n$ $z_n$

{\ displaystyle M_ {k} = \ součet _ {n = 1} ^ {N} {q_ {n} z_ {n} ^ {k}}}

, s k kladné nebo nulové celé číslo.

Pro distribuci kontinuálně popsanou lineární hustotou nábojů bude tento výraz zapsán: ${\ displaystyle \ sigma (z)}$

{\ displaystyle M_ {k} = \ int {\ sigma (z) z ^ {k} dz}}

integrace pokrývající celé pole distribuce.

Axiální vícepólové momenty jsou speciální případy vícepólového momentu pro zatížení rozložená podél osy, v obecném případě je také možné uvažovat sférické vícepólové momenty .

Případ diskrétní distribuce náboje

Potenciál vytvořený na jedno nabití

Pro bodový náboj q umístěný v bodě P v prostoru je elektrostatický potenciál vytvořený v bodě M dán vztahem:

{\ displaystyle V (M) = {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} PM}}}

V konkrétním případě, kdy je náboj q umístěn na ose Oz ve vzdálenosti od počátku O , je možné vyjádřit elektrostatický potenciál v bodě M označeném : ${\ displaystyle d> 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {OM}}$

{\ displaystyle V (M) = {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} {\ sqrt {r ^ {2} + d ^ {2} -2dr \ cos {\ theta}}}} } = {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r {\ sqrt {1 + {\ epsilon} ^ {2} -2 \ epsilon \ cos {\ theta}}}}}}

kde je úhel mezi a osou Oz , a . $\ theta$ ${\ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle \ epsilon = {\ tfrac {d} {r}}}$

Je možné si všimnout, že odpovídá funkci generující z Legendrových polynomů : ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ epsilon ^ {2} -2 \ epsilon \ cos {\ theta}}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ epsilon ^ {2} -2 \ epsilon \ cos {\ theta}}}} = \ součet _ {k = 0} ^ {+ \ infty} { \ epsilon ^ {k} P_ {k} (\ cos {\ theta})}}

V důsledku toho je vyjádření elektrostatického potenciálu vytvořeného v bodě M bodovým nábojem q umístěným v blízkosti počátku na ose Oz dáno vztahem:

{\ displaystyle V (M) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ součet _ {k = 0} ^ {+ \ infty} {M_ {k} {\ frac {P_ {k} (\ cos {\ theta})} {r ^ {k + 1}}}}}

s axiálním vícepólovým momentem. ${\ displaystyle M_ {k} = qd ^ {k}}$

Je zřejmé, že různé příspěvky rychle klesají s r a pro d velmi malé ve srovnání se vzdáleností r najdeme bez překvapení vyjádření potenciálu náboje v počátku.

Zobecnění na několik diskrétních zatížení na ose

V obecnějším případě N diskrétních poplatků distribuované na Oz osu u (algebraické) pozic , je zřejmé, že vzhledem k linearitě elektrostatiky rovnic, exprese potenciálu vytvořeného na velkou vzdálenost v bodě M je součet vytvořených potenciálů opouští každou z poplatků. Výsledkem je výraz ve stejné formě jako dříve: $q_n$ $z_n$

{\ displaystyle V (M) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ součet _ {k = 0} ^ {+ \ infty} {M_ {k} {\ frac {P_ {k} (\ cos {\ theta})} {r ^ {k + 1}}}}}

{\ displaystyle M_ {k} = \ součet _ {n = 1} ^ {N} {q_ {n} z_ {n} ^ {k}}}

, 2 k -polární axiální moment rozdělení.

V okamžiku, kdy objednávky k = 0 odpovídá položce polární distribuce, fyzicky to je prostě celková distribuce náboje: . Odpovídající člen v expanzi v axiálních multipólech je proto v 1 / r a do značné míry dominuje na velkou vzdálenost, kromě případů, kdy Q = 0 (apolární distribuce). ${\ displaystyle M_ {0} = \ součet _ {n = 1} ^ {N} {q_ {n}} = Q}$

Až se příště je dipólového momentu elektrické rozvody: . Odpovídající výraz v distribuci se liší v . ${\ displaystyle M_ {1} = \ součet _ {k = 0} ^ {N} {qz_ {n}}}$ $1 / r ^ 2$

O následujících okamžicích se říká, že jsou kvadrupolární (2 2 ), oktupolární (2 3 ) atd.

Příklad

Je možné uvažovat o tři poplatků, z hodnot , a , umístěné v tomto pořadí v z = d ( d> 0 ), z = 0 a z = - d . Předchozí výraz 2 k -polárního momentu se pak stává: $q_ {1}$ $q_ {2}$ $q_ {3}$ $M_k$

{\ displaystyle M_ {k} = q_ {1} d ^ {k} + (- 1) ^ {k} q_ {3} d ^ {k}}

pro a .

{\ displaystyle k = 1,2, ..., \ infty}

{\ displaystyle M_ {0} = q_ {1} + q_ {2} + q_ {3}}

Lze uvažovat o následujících zvláštních případech:

čistě polární distribuce : , : všechny multipolární momenty řádu větší než 0 jsou nulové, potenciál je potenciál jediného náboje umístěného na počátku; ${\ displaystyle q_ {1} = q_ {3} = 0}$ ${\ displaystyle q_ {2} neq0}$
tuhý elektrostatický dipól :,. V tomto případě je polární člen expanze nula a první nenulový moment je dipólový moment. Dominantním členem potenciálu je elektrický dipólový členselektrickým dipólovým momentovým vektorem. Další člen v potenciální expanzi je oktupolární člen zahrnující, tj.A měnící se v. ${\ displaystyle q_ {1} = - q_ {3} = q}$ ${\ displaystyle q_ {2} = 0}$ ${\ displaystyle M_ {1} = 2qd = p}$ ${\ displaystyle v_ {dip.} (M) = {\ frac {p \ cos {\ theta}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r ^ {2}}} = {\ frac {\ mathbf {p } \ cdot \ mathbf {r}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r ^ {3}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = 2qd \ mathbf {e} _ {z}}$ ${\ displaystyle M_ {3} = 2 qd ^ {3}}$ ${\ displaystyle V_ {oct.} = {\ frac {M_ {3} P_ {3} (\ cos {\ theta})} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r ^ {4}}}}$ ${\ displaystyle 1 / r ^ {4}}$
lineární elektrostatický kvadrupól :,. Je snadno ověřit, že pak polární a dipólové momentyajsou nula, první nenulový moment je kvadrupólové momenta odpovídající termín exprese potenciálu je. ${\ displaystyle q_ {1} = q_ {3} = q}$ ${\ displaystyle q_ {2} = - 2q}$ $M_ {0}$ $M_ {1}$ ${\ displaystyle M_ {2} = 2 qd ^ {2}}$ ${\ displaystyle V_ {quad.} (M) = {\ frac {M_ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r ^ {3}}} {\ frac {\ left (3 \ cos ^ { 2} {\ theta} -1 \ right)} {2}}}$

Případ kontinuální distribuce

V případě kontinuálního rozložení náboje lineární hustoty na ose Oz se zapisuje elektrostatický potenciál v bodě M v prostoru: ${\ displaystyle \ sigma (z)}$

{\ displaystyle V (M) = \ int {\ frac {\ sigma (z) dz} {4 \ pi \ epsilon _ {0} {\ sqrt {r ^ {2} + z ^ {2} -2zr \ cos {\ theta}}}}} = \ int {\ frac {\ sigma (z) dz} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r {\ sqrt {1 + {\ tfrac {z} {r}} ^ {2} -2 {\ tfrac {z} {r}} \ cos {\ theta}}}}}}

buď opětovným použitím vlastností funkce generátoru Legendrových polynomů, které se objevují ve jmenovateli integrandu, přichází:

{\ displaystyle V (M) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ součet _ {k = 0} ^ {+ \ infty} {M_ {k} {\ frac {P_ {k} (\ cos {\ theta})} {r ^ {k + 1}}}}}

kde představuje osový moment 2 k "-polární daný vztahem: $M_k$

{\ displaystyle M_ {k} = \ int {\ sigma (z) z ^ {k} dz}}

Nakonec pro kontinuální distribuci na ose Oz a v dostatečně velké vzdálenosti od ní je elektrostatický potenciál součtem polárních, dipolárních, kvadrupolárních, ..., 2 k "-polárních axiálních příspěvků, z nichž každý se mění v tomto pořadí , , ..., . $1 / r$ $1 / r ^ 2$ ${\ displaystyle 1 / r ^ {3}}$ ${\ displaystyle 1 / r ^ {k + 1}}$

Poznámky

Samozřejmě je nutné, aby integrál konvergoval, aby byla kvantita dobře definována.
Je možné ukázat, že řada konverguje, pokud tj. D <r ${\ displaystyle \ epsilon <1}$
Konvergence řady vyžaduje , což se ověřuje v dostatečně velké vzdálenosti od distribuce, která se každopádně musí nacházet na určité části osy Oz , jinak integrál ve vyjádření axiálního vícepólového momentu nebude konvergovat . ${\ displaystyle {\ tfrac {z} {r}} <1}$

Odkaz

Pohled (in) Leonard Eyges, Klasické elektromagnetické pole , New York, Dover Publications, Inc.,2010( Repr. 1980) ( 1 st ed. 1972), 432 str. , vázaná kniha ( ISBN 978-0-486-15235-6 a 0-486-15235-9 , OCLC 467891797 , poznámka BnF n o FRBNF37353737 , LCCN 70162465 , SUDOC 02375835X , číst online ) , kap. 3 („Problém se sčítáním poplatků“) , s. 19-25.

Související články