V numerické analýze je metoda sítí je běžná technika pro zjištění přibližné řešení z parciálních diferenciálních rovnic , který spočívá v řešení systém vztahů (digitální schéma) spojující hodnoty neznámé funkce v určitých místech dostatečně blízko u sebe. Jiný .
Tato metoda se jeví jako nejjednodušší k implementaci, protože probíhá ve dvou fázích: na jedné straně diskretizace konečnými rozdíly operátorů derivace / diferenciace, na druhé straně konvergence takto získaného numerického diagramu, když je vzdálenost mezi bodů klesá.
Diskretizaci diferenciálních operátorů (první derivace, sekundy atd., Částečné nebo ne) lze dosáhnout pomocí Taylorových vzorců .
Taylor-Youngova formulace je výhodnější ve svém jednoduchém použití, Taylorova formulace s Laplaceovým integrálním zbytkem umožňuje měřit chyby (viz níže).
V bodě xa pro hodnotu h diskretizačního kroku tak, že u je třikrát diferencovatelné v intervalu [ x - h , x + h ] , vede Taylor-Youngův vzorec ke dvěma vztahům:
kde dvě funkce ε i ( x , h ) konvergují k 0 s h . Proto
odpovídají dvěma aproximace u ( x ) na 1 I. pořadí hodiny .
Odečtením předchozího vývoje, který se rovná průměru dvou konečných rozdílů anterior a posterior od u ( x ) , získáme
což je aproximace u ( x ) z 2 e řádu hodin .
Decentered aproximace Upstream offsetV bodě xa pro hodnotu h diskretizačního kroku tak, že u je třikrát diferencovatelné v intervalu [ x , x + 2 h ] , vede Taylor-Youngův vzorec ke vztahu:
kde funkce konverguje k 0 s h . Proto
odpovídá aproximaci u ( x ) z 1 st pořadí hodiny .
Opakováním operace pro downstream offset zapíšete, že:
odkud
která je přibližné u ‚‘ ( x ) z 2 e řádu hodin .
Vzorce rozšířené na postupné objednávkyRozšířením velikosti šablony je možné určit konečné rozdíly vyšších řádů podobnými metodami (zvětšení pořadí v Taylorově vzorci a určení vhodné lineární kombinace pro zrušení nadbytečných výrazů).
Například v bodě x a pro hodnotu h diskretizačního kroku tak, že u je čtyřikrát diferencovatelné v intervalu [ x - 2 h , x + 2 h ] , rozšířením Taylorova vzorce můžeme ukázat než pět bodové diagramy
jsou aproximace první a druhé derivace řádu 4.
Rozšíření o funkce s více proměnnými Upstream offsetV bodě ( x , y ) a pro hodnotu h kroku diskretizace (stejná ve dvou rozměrech) tak, že u ( x , y ) je čtyřikrát diferencovatelné na obdélníku [0, x + 2 h ] × [ 0, y + 2 h ] , můžeme psát
který je aproximace Laplaceova delta u ( x , y ) v 2 e pořadí h (viz rovnice Laplaceova a Poissonova rovnice ).
Vystředěný vzorníkV bodě ( x , y ) a pro hodnotu h kroku diskretizace (stejná ve dvou rozměrech) tak, že u ( x , y ) je čtyřikrát diferencovatelné na obdélníku [ x - h , x + h ] × [ y - h , y + h ] , můžeme psát
který je aproximace Laplaceova delta u ( x , y ) v 2 e pořadí h (viz rovnice Laplaceova a Poissonova rovnice ).
Pojem „objednávka“ zmíněný výše odpovídá konceptu lokální konvergence diskretizovaného operátora. Globální konvergence diskrétního řešení je velmi odlišný koncept, i když mezi nimi existuje rodinný vztah.
Pro metodu konečných rozdílů je mřížka sada izolovaných bodů (nazývaných uzly ) umístěných v doméně definice funkcí, které podléhají parciálním diferenciálním rovnicím, mřížka, na jejíchž jediných uzlech jsou definovány neznámé odpovídající přibližné hodnoty těchto funkcí.
Síť také zahrnuje uzly umístěné na hranici pole (nebo alespoň „blízko“ této hranice), aby bylo možné s dostatečnou přesností uložit okrajové podmínky a / nebo počáteční podmínku .
První kvalitou sítě je a priori co nejlépe pokrýt pole, ve kterém se vyvíjí, omezit vzdálenost mezi každým uzlem a jeho nejbližším sousedem. Síť však musí také umožňovat vyjádření diskrétní formulace operátorů diferenciace: z tohoto důvodu jsou uzly sítě nejčastěji umístěny na mřížce, jejíž hlavní směry jsou osami proměnných.
Krok volání sítě se nazývá vzdálenost mezi dvěma sousedními uzly umístěnými na přímce rovnoběžné s jednou z os. V tomto smyslu je krok jak místním, tak směrovým pojmem. Mluvíme o globálním hřišti, abychom označili největší místní hřišti , což je pojem, který zůstává směrový.
Ačkoli se nejčastěji zachovává konstantní výška tónu (aniž by to představovalo teoretický problém rozlišení), je někdy rozumné zavést variabilní výšku tónu, která bude zvolena jemněji v oblastech, kde přesné řešení trpí silnějšími variacemi: tento trik umožňuje snížit počet neznámých, aniž by byla ohrožena přesnost výsledků. Na druhou stranu je formulace trochu složitější, protože ji musí zohlednit diskretizace diferenciálních operátorů.
Pro diferenciální rovnici týkající se funkce proměnné, jejíž doménou (v ) je interval [0; 1] , konstantní rozteč mřížky se vyznačuje tím, M + 1 uzlů x i = ih , 0 ≤ i ≤ M s krokem h = 1 / M . Tato síť zahrnuje dva hraniční body x 0 a x M, na které jsou uloženy možné okrajové podmínky.
Uvažujme parciální diferenciální rovnici týkající se funkce dvou proměnných (doména ):
Numerické schéma lze definovat jako algebraickou formulaci diskrétního problému navrženou pomocí metody konečných rozdílů. Proces zahrnuje následující kroky:
Jakmile je vytvořen numerický diagram a je formulován diskrétní problém, nejde jen o jeho řešení, ale také o zajištění toho, aby diskrétní řešení konvergovalo k přesnému řešení, když kroky sítě mají sklon k 0.
U určitých tzv. Explicitních diagramů je možné neznámé uspořádat tak, že každý z nich lze určit rekurzivně z předchozích, které se již mají počítat ( trojúhelníková matice ). U implicitních schémat je někdy možné vyhnout se řešení celého systému všech rovnic. To platí zejména pro vyvíjející se systém, jehož stav charakterizovaný prostorovými proměnnými je definován počátečními podmínkami (t = 0) a postupně se vyvíjí v průběhu času: numerický diagram zůstává v proměnné temporální explicitní a jeho implicitní charakter se týká pouze prostorové proměnné.
Ve všech případech se každá rovnice numerického diagramu týká pouze malého počtu neznámých. V lineárním prostředí vede tato vlastnost k formulování diskrétního problému pomocí řídkých matic a jeho výhod k řešení pomocí vhodných metod . Tato výhoda je nepopiratelná, pokud velikost sítě přesahuje rámec didaktické studie.
Rozlišení numerických diagramů je obecně založeno na klasických algebraických metodách. Jiné ekvivalentní formulace však mohou vyžadovat optimalizační metody .
Zvažte následující problém:
Tento problém zůstává akademický, pokud je známo přesné řešení:
S explicitním Eulerovým schématem řádu 1 aplikovaným na pravidelnou mřížku výšky h = 1 / M jsou neznámé u n odrážející u ( nh ) spojeny vztahy
Tento diagram vede k relaci opakování
jehož explicitní řešení je
Další formulace získaná pomocí diagramu řádu 2 (s výjimkou uzlu n = 1, pro který se zachová diagram řádu 1) dává
Stejně jako první je i tento druhý diagram explicitní .
Je velmi snadné numericky určit řešení těchto dvou diagramů a porovnat je s přesným řešením. Zdá se oprávněné očekávat lepší výsledky u druhého diagramu, protože jeho pořadí je vyšší než u prvního (je možné ukázat, že dva digitální diagramy jsou rovnoměrně konvergentní):
Toto srovnání jasně ukazuje, že dobré zastoupení diferenciálních operátorů není dostatečnou podmínkou pro získání dobrého numerického diagramu.
Konvergence digitálního diagramu je globální teoretická vlastnost zajišťuje, že rozdíl (ve smyslu a normy ) mezi přibližného řešení a přesné řešení má sklon k 0, když je diskretizace krok směřuje k 0 (nebo-li každý z kroků globální související s různými směry směřuje k 0).
Přibližné řešení digitálního diagramu zůstává málo důvěryhodné, pokud není prokázána jeho konvergence. Tento důkaz je bezpochyby nejchoulostivějším bodem metody jemných rozdílů, v každém případě ten, který vyžaduje použití analytických nástrojů .
Nestačí pomocí konkrétních numerických příkladů ověřit, zda chování diskrétního řešení odpovídá očekáváním, aby byla zajištěna konvergence. Na druhé straně mohou takové příklady pomoci dokázat opak.
Koncepčně se rozdíly mezi přibližným řešením a přesným řešením projevují kombinací dvou jevů:
Tyto koncepty nezohledňují chyby zaokrouhlování, které mohou dále komplikovat záležitosti, jak je znázorněno na obrázku níže, získaném konkrétním příkladem :
Standard, pro který se konvergence studuje, musí zůstat nezávislý na diskretizačních krocích. Je však běžné používat standardy související s normami Lp prostorů . Pro funkci proměnné:
V rámci evolučního problém s počátečním stavem , laxní věta přísně vymezuje pojmy konzistence a stability , druhá je nutnou a postačující podmínkou pro zajištění konvergence .
V posledním výše uvedeném příkladu, u kterého lze současně znát přesné řešení a přibližné řešení (Eulerův diagram) , zpráva vyhovuje
který má tendenci k 0, když má tendenci k 0, toto jednotně pro
Tudíž směřuje jednotně k 0, což dokazuje konvergenci tohoto Eulerova schématu v normě