Riemannova metrika

V diferenciální geometrii jsou Riemannovy metriky základním pojmem Riemannovy geometrie . První úvod uvedl Bernhard Riemann v roce 1854. Jeho článek na toto téma byl však publikován po jeho smrti v roce 1868. Ve stejném roce publikoval podobné výsledky i Hermann von Helmholtz .

Riemannovy metriky jsou diferencovatelné rodiny pozitivních určitých kvadratických forem .

Definice

Na vektoru svazku E? M , je Riemannian metrický g jsou údaje o a skalární součin g x na každé vlákno E x , která závisí na tom, jak hladký referenční bod x měnící M . Více formálně je x↦g x řez v libovolném pozitivním určitém bodě vektorového svazku S 2 E → M symetrických bilineárních forem. Říkáme, že data ( E, g ) jsou Riemannovský svazek .

Pro dva Riemannovy svazky ( E, g ) a ( F, g ' ) na M je morfismus Riemannova svazku f :( E, g ) → ( E, g' ) vektorový morfismus svazku f: E → E ' takový, že pro jakýkoli bod x z M , lineární mapa f x : E x → F x je lineární isometry , že je:

\ forall v, w \ in E_ {x}, \ quad g '_ {x} (f_ {x} (v), f_ {x} (w)) = g_ {x} (v, w).

Pokud M je diferenciální potrubí, je Riemannova metrika na M jednoduše Riemannova metrika na jejím tangenciálním svazku . Data ( M, g ) jsou Riemannovy potrubí .

Vzhledem ke dvěma Riemannovým varietám ( M, g ) a ( N, g ' ) je izometrie F :( M, g ) → ( N, g' ) diferencovatelná mapa F: M → N taková, že tečná mapa dF :( TM, g ) → ( TN, g ' ) je morfismus Riemannovských svazků. Tato poslední podmínka je přepsána: F * g '= g .

Příklady

Libovolný skalární součin na ℝ n indukuje na libovolném triviálním vektorovém svazku M × ℝ n → M a Riemannova metrika: $<,>$ $g_ {x} ((x, v), (x, w)) = <v, w>.$
Nechť g je Riemannova metrika na E → M a P a potrubí. Pro diferencovatelnou funkci ψ: P → M existuje na vektorovém svazku staženém zpětIndukované vlákno ψ * E → P jedinečná Riemannova metrika ψ * g taková, že přirozený morfismus ψ * E → E je izomorfismem Riemannovských svazků.
Pokud g je Riemannian metrický na E? M , pak omezení , g definuje Riemannian metrický na každém vektoru subbundle z E .
Limita Minkowského metriky, když c se blíží k nekonečnu, je metrika svazku. Čas se stává absolutním a časoprostor je vlákno nahoře, najdeme transformaci Galileo . Ve dvou různých časech je metrika rozdílem časů. Zároveň je ve vlákně prostoru isomorfním k metrika obvyklým skalárním součinem. ${{\ rm {d}}} s ^ {2} = c ^ {2} {{\ rm {d}}} t ^ {2} - {{\ rm {d}}} x ^ {2} - {{\ rm {d}}} y ^ {2} - {{\ rm {d}}} z ^ {2}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

Existence

Na libovolném paracompaktním základním vektorovém svazku existuje Riemannova metrika.

Demonstrace

Důkaz přes oddíl jednotky.

Pro jakékoli dostatečně malé otevřené U z M je vektorový svazek π -1 ( U ) → U trivializovatelný. Shora však jakýkoli trivializovatelný vektorový svazek připouští Riemannovu metriku. Existuje tedy Riemannova metrická g U na π -1 ( U ).

Použití paracompacity z M , existuje spočetnou přesah ( U n ) n ∈ℕ z M tak, že pro jakékoli celé číslo n , existuje Riemannových metrický g n na vektoru svazku n -1 ( U n ) → U n . Nechť (ϕ n ) n ∈ℕ je oddíl jednotky podřízený ( U n ) n ∈ℕ . Mapa x ↦ϕ n ( x ) g n ( x ) je globální řez S 2 π -1 ( U n ) → U n nula v sousedství hranice ∂ U n . Je rozšířena o globální část S 2 E → M , nesprávně označenou x ↦ϕ n ( x ) g n ( x ). ${\ displaystyle 0}$

Poté se zeptáme:

g = \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} \ phi _ {n} g_ {n}: x \ mapsto \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} \ phi _ { n} (x) g_ {n} (x)

. Jedná se o část S 2 E? M , a to je dobře definován pozitivní v každém bodě z M : pokud patří vnitřní podporu , a pro každou nenulovou vektoru z ,

X

X

\ phi _ {n}

proti

Ex}

g (v, v) \ geq \ phi _ {n} (x) g_ {x} ^ {n} (v, v)> 0

Důkaz prostřednictvím vložení.

Existuje vektorový svazek F → M takový, že E ⊕ F → M je trivializovatelný. Používá se na této úrovni paracompactness z M . Takže tam je Riemannian metrický na E ⊕ F → M , která omezuje na přístupu Riemannian metrický na E → M .

I když je tento druhý argument zjevně kratší, zakrývá potíže s existencí . Tato existence také apeluje na argument jednotného oddílu . $F$

Zejména :

Na jakémkoli paracompaktním diferenciálním potrubí existuje Riemannova metrika.

Podívejte se také