Kovové číslo

V matematice jsou kovová čísla (nebo kovové konstanty ) reálná čísla používaná k vyjádření lineárních opakování typu . ${\ displaystyle u_ {n + 2} = pu_ {n + 1} + u_ {n}}$

Byli tak pojmenováni analogicky se zlatým řezem , který je první z nich.

Úvod

Zlatý poměr umožňující vyjádřit obecný termín sekvencí ověřujících lineární opakování , bylo navrženo, aby volání kovový čísla čísla umožňují vyjádřit obecným termínem sekvencí ověřujících lineární opakování . $(A})$ $u_ {n + 2} = u_ {n + 1} + u_ {n}$ $(A})$ ${\ displaystyle u_ {n + 2} = pu_ {n + 1} + u_ {n}}$

Podle definice p th kovové číslo uvedeno , je jedinečné řešení pozitivní charakteristikou opakování rovnice . ${\ displaystyle \ varphi _ {p}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} = px + 1}$

Pokud má taková posloupnost sklon k nekonečnu, je mezí vztahu . ${\ displaystyle \ varphi _ {p}}$ ${\ displaystyle u_ {n + 1} / u_ {n}}$

Pro navrhované kovu byla stříbrná . Měď (umístěná nad zlatem a stříbrem v periodické tabulce ) byla navržena pro další číslo (nebo bronz), pak pro nikl. . $p = 2$

Různé výrazy

Jako pozitivní řešení dostaneme . ${\ displaystyle x ^ {2} = px + 1}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {p} = {\ frac {p + {\ sqrt {p ^ {2} +4}}} {2}}}$
Psaní rovnici ve formě , získaný kontinuální frakce : . ${\ displaystyle x = p + {1 \ nad x}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {p} = p + {\ cfrac {1} {p + {\ cfrac {1} {p + {\ cfrac {1} {p + {\ cfrac {1} {p + \ ddots \,}}}}}}}} = [p; p, \ tečky]}$
Při psaní rovnice ve tvaru dostaneme vnořený nekonečný radikál . ${\ displaystyle x = {\ sqrt {1 + px}}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {p} = {\ sqrt {1 + p {\ sqrt {1 + p {\ sqrt {1 + p {\ sqrt {1+ \ cdots}}}}}}}}$
P- tý kovový číslo je také dán integrál: ${\ displaystyle \ varphi _ {p} = \ int _ {0} ^ {p} {\ left ({x \ over {2 {\ sqrt {x ^ {2} +4}}}} + {{p + 2} \ přes {2p}} \ vpravo)} \, dx.}$

Kovové obdélníky

P- tý kovový číslo je délka = L / šířka = l poměr obdélníka tak, že v případě, odstraníme p čtverce maximální velikosti, získáme obdélník podobnou výchozí jeden.

Opravdu získáme vztah, který dává, když pózujeme . ${\ displaystyle {\ frac {l} {L-pl}} = {L \ nad l}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} = px + 1}$ ${\ displaystyle x = L / l}$

První hodnoty

p	Výraz	Desetinné psaní	Kov	Přidružená opakující se sada
1	$1 + \sqrt 5 / 2$	1,618033989	zlato	Fibonacciho sekvence
2	${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$	2,414213562	stříbrný	Pell pokračování
3	$3 + \sqrt 13 / 2$	3,302775638	měď nebo bronz	Sledování A006190 z OEIS
4	${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {5}}}$	4,236067978		Sledování A001076 z OEIS
5	$5 + \sqrt 29 / 2$	5,192582404		Sledování A052918 z OEIS
6	${\ displaystyle 3 + {\ sqrt {10}}}$	6,162277660		Sledování A005668 z OEIS
7	$7 + \sqrt 53 / 2$	7.140054945
8	${\ displaystyle 4 + {\ sqrt {17}}}$	8,123105626
9	$9 + \sqrt 85 / 2$	9.109772229
⋮
p	$p + \sqrt 4 + p 2 / 2$

Trigonometrické výrazy

Číslo kovového čísla	1	2	3	4
Trigonometrický vzorec	${\ displaystyle 2 \ cos {\ frac {\ pi} {5}}}$	${\ displaystyle \ tan {\ frac {3 \ pi} {8}}}$	${\ displaystyle 2 \ cos {\ frac {\ pi} {13}} \ vlevo ({\ frac {\ sin {\ frac {2 \ pi} {13}}} {\ cos {\ frac {3 \ pi} {13}}}} + 1 \ vpravo)}$	${\ displaystyle 8 \ cos ^ {3} {\ frac {\ pi} {5}}}$
Přidružený pravidelný mnohoúhelník	Pentagon	Osmiúhelník	Tridecagon	29 pryč

Vlastnosti celočíselných mocnin

Celá moc

Stejně jako postupné síly zlatého řezu ověřují, kde je Fibonacciho posloupnost , ${\ displaystyle \ varphi ^ {n} = F_ {n} \ varphi + F_ {n-1}}$ ${\ displaystyle (F_ {n})}$

síly kovových čísel ověřují:

${\ displaystyle \ varphi _ {p} ^ {n} = G_ {n} \ varphi _ {p} + G_ {n-1} \, \, (1)}$

kde sekvence definovaná je Fibonacciho p -suite . ${\ displaystyle (G_ {n})}$ ${\ displaystyle G_ {0} = 0, G_ {1} = 1, G_ {n + 2} = pG_ {n + 1} + G_ {n}}$

Rozšířením sekvence na záporná celá čísla a přijetím negativů v definici je relace (1) platná pro všechna relativní celá čísla . ${\ displaystyle (G_ {n})}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {p} = {\ frac {p + {\ sqrt {p ^ {2} +4}}} {2}}}$

Pak, pokud je jiné řešení , pravomoci také ověřit tak, že (zobecnění Binetova vzorce ). ${\ displaystyle \ varphi '_ {p} = \ varphi _ {- p} = p- \ varphi _ {p} = - {1 \ over {\ varphi _ {p}}}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} = px + 1}$ ${\ displaystyle \ varphi '_ {p}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {p} '^ {n} = G_ {n} \ varphi _ {p}' + G_ {n-1}}$ ${\ displaystyle G_ {n} = {\ frac {\ varphi _ {p} ^ {n} - \ varphi _ {p} '^ {n}} {\ varphi _ {p} - \ varphi _ {p}' }}}$

Všimněte si také, že protože inverze kovového čísla má stejnou zlomkovou část jako ona. ${\ displaystyle {1 \ over {\ varphi _ {p}}} = \ varphi _ {p} -p}$

Kromě toho se majetek stále více rozšiřuje. Jakákoli lichá síla kovového čísla je vlastně jiné kovové číslo, přesný vztah je :; např . ${\ displaystyle \ varphi _ {4} = \ varphi ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {p} ^ {2n + 1} = \ varphi _ {\ sum _ {k = 0} ^ {n} {{2n + 1} \ nad {2k + 1}} {{n + k} \ vyberte {2k}} p ^ {2k + 1}}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {p} ^ {3} = \ varphi _ {\ vlevo (p ^ {3} + 3p \ vpravo)}}$

Viz také

Poznámky

A014176 , Desetinné rozšíření střední hodnoty stříbra, 1 + sqrt (2).
A098316 , Desítkové rozšíření o [3, 3, ...] = (3 + sqrt (13)) / 2.
A098317 , Desetinné rozšíření phi ^ 3 = 2 + sqrt (5).
A098318 , Desítkové rozšíření o [5, 5, ...] = (5 + sqrt (29)) / 2.
A176398 , Desítkové rozšíření o 3 + sqrt (10).
A176439 , Desetinné rozšíření (7 + sqrt (53)) / 2.
A176458 , Desítkové rozšíření o 4 + sqrt (17).
A176522 , Desetinné rozšíření (9 + sqrt (85)) / 2.

Reference

Vera W. de Spinadel (1999). Rodina kovových prostředků , Vismath 1 (3) z Matematického ústavu Srbské akademie věd a umění .
od Spinadel, „ Kovové prostředky a design “, Nexus II: Architektura a matematika , Fucecchio (Florencie), Edizioni dell'Erba,1998, str. 141–157 ( číst online )
„ An Introduction to Continued Fractions: The Silver Means “, maths.surrey.ac.uk .

externí odkazy

Stakhov, Alexey. „ The Mathematics of Harmony: Clarifing the Origins and Development of Mathematics “, PeaceFromHarmony.org .
Cristina-Elena Hrețcanu a Mircea Crasmareanu (2013). " Kovové struktury na Riemannovských kolektorech ", Revista de la Unión Matemática Argentina .
Rakočević, Miloje M. „ Další zobecnění zlatého řezu s ohledem na„ božskou “Eulerovu rovnici “, Arxiv.org .