Pell Suite

V matematiky je sekvence Pell a Pell-Lucas sekvence jsou příslušné sekvence celých čísel U (2, 1) a V (2, -1), zvláštní případy Lucas sekvencí .

První je také Fibonacciho 2-sekvence .

Jejich termíny se nazývají Pellova čísla a Pell-Lucasova čísla.

Definice

Sekvence Pell a sekvence Pell - Lucas jsou definovány dvojitou lineární indukcí : ${\ displaystyle (P_ {n})}$ ${\ displaystyle (Q_ {n})}$

{\ displaystyle P_ {n} = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {for}} n = 0, \\ 1 & {\ mbox {for}} n = 1, \\ 2P_ {n-1} + P_ {n-2} & {\ mbox {for}} n \ geq 2 \ end {cases}} \ quad {\ rm {and}} \ quad Q_ {n} = {\ begin {cases} 2 & { \ mbox {for}} n = 0, \\ 2 & {\ mbox {for}} n = 1, \\ 2Q_ {n-1} + Q_ {n-2} & {\ mbox {for}} n \ geq 2. \ end {cases}}}

Jinými slovy: začneme s 0 a 1 pro první sekvenci a s 2 a 2 pro druhou sekvenci a v každé ze dvou sekvencí vytvoříme následující člen přidáním dvojnásobku posledního k předposlednímu.

Můžeme také napsat: a kde a jsou respektive Fibonacciho a Lucasovy polynomy indexu . ${\ displaystyle P_ {n} = F_ {n} (2)}$ ${\ displaystyle Q_ {n} = L_ {n} (2)}$ $P_ {n}$ $L_ {n}$ $ne$

Některé hodnoty

Prvních deset čísel Pell je 0, 1, 2, 5 , 12 , 29 , 70 , 169 , 408 a 985 a prvních deset čísel Pell-Lucas je 2, 2, 6 , 14 , 34 , 82 , 198 , 478 , 1154 a 2786 (v prvním 1 000, viz apartmá A000129 a A002203 z OEIS ).

The are all peers is sometimes sometimes called Pell-Lucas numbers. $Q_ {n}$ ${\ displaystyle Q_ {n} / 2}$

Subsekvence z hlavních podmínek sekvence Pell je tvořen čísly

2 , 5 , 29 , 5 741 , atd. (prvních 23 termínů viz A086383 )

a odpovídající indexy (nutně prvočísla) jsou

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191 atd. (pro prvních 31, viz A096650 ).

Obecný termín

Tyto obecné podmínky těchto dvou sekvencí jsou uvedeny v tomto pořadí podle vzorce:

{\ displaystyle P_ {n} = U_ {n} (2, -1) = {\ frac {(1 + {\ sqrt {2}}) ^ {n} - (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {n}} {2 {\ sqrt {2}}}} \ quad {\ rm {a}} \ quad Q_ {n} = V_ {n} (2, -1) = (1 + {\ sqrt { 2}}) ^ {n} + (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {n}.}

Souvislost s počtem peněz

Postupné síly stříbrného čísla 1 + √ 2 jsou proto blízké Pell-Lucasovým číslům, pokud jsou velké. Například : $ne$

{\ displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2} \ simeq 5 {,} 8 \ simeq 6 = Q_ {2},}

{\ displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {4} \ simeq 33 {,} 97 \ simeq 34 = Q_ {4},}

{\ displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {8} \ simeq 1153 {,} 999 \ simeq 1154 = Q_ {8}}

a pro všechno , kde označuje celou horní část . $n \ geqslant 2$ ${\ displaystyle Q_ {n} = \ vlevo \ lceil (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {n} \ vpravo \ rceil}$ ${\ displaystyle \ left \ lceil. \ right \ rceil}$

Poznámky a odkazy

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku Wikipedie v angličtině s názvem „ Pell number “ ( viz seznam autorů ) .

(in) Thomas Koshy, Pell a Pell-Lucas Numbers with Applications , New York, NY, Springer ,2014( ISBN 978-1-4614-8489-9 , číst online ).

Podívejte se také

Fibonacciho sekvence a Lucasova sekvence , další dva speciální případy Lucasových sekvencí
Delannoyova čísla, jejichž úhlopříčné součty dávají čísla Pell
Trojúhelníková čtvercová čísla