Počet prvních bratranců

V matematice jsou sestřenice prvočísla páry prvočísel, která se liší od 4. Jsou tedy podobná dvojčátům , dvojice prvočísel , která se liší od 2, a sexy prvočísla , páry prvočísel, která se liší. 6. Prvočísla čísla bratranců (série A023200 a A046132 v OEIS nebo série A140382 ) menší než 1000 jsou:    

( 3 , 7 ), ( 7 , 11 ), ( 13 , 17 ), ( 19 , 23 ), ( 37 , 41 ), ( 43 , 47 ), ( 67 , 71 ), ( 79 , 83 ), ( 97 , 101 ), ( 103 , 107 ), ( 109 , 113 ), ( 127 , 131 ), ( 163 , 167 ), ( 193 , 197 ), ( 223 , 227 ), ( 229 , 233 ), ( 277 , 281 ), ( 307 , 311 ), ( 313 , 317 ), ( 349 , 353 ), ( 379 , 383 ), ( 397 , 401 ), ( 439 , 443 ), ( 457 , 461 ), ( 463 , 467 ), ( 487 , 491 ), ( 499 , 503 ), ( 613 , 617 ), ( 643 , 647 ), ( 673 , 677 ), ( 739 , 743 ), ( 757 , 761 ), ( 769 , 773 ), ( 823 , 827 ), ( 853 , 857 ), ( 859 , 863 ), ( 877 , 881 ), ( 883 , 887 ), ( 907 , 911 ), ( 937 , 941 ), ( 967 , 971 )

Vlastnosti

Prvočíslo náležející dvěma párům bratrancových prvočísel je 7. Jedno z čísel n ,  n +4,  n +8 bude vždy dělitelné 3, proto n = 3 je jediný případ, kdy jsou všechna prvočísla.

v Květen 2009, největší počet objevených prvních bratranců ( p ,  p  + 4) byl

p = (311778476 · 587502 · 9001 # · (587502 · 9001 # + 1) + 210) · (587502 · 9001 # - 1) / 35 + 1

kde 9001 # je primitivní . Nalezl jej Ken Davis a má 11 594 desetinných míst.

Největší pár pravděpodobných bratranců je

474435381 · 2 98394 - 1 474435381 · 2 98394 - 5.

Má 29 629 desetinných míst a byl objeven Angelem, Joblingem a Augustinem. I když se ukázalo, že první z těchto čísel je prvočíslo, není znám žádný test primality, který by snadno určil, zda je druhé číslo také prvočíslo.

Z prvního domněnky Hardyho-Littlewooda vyplývá, že sestřenice mají prvočísla stejnou asymptotickou hustotu jako dvojčata. Můžeme definovat, u bratranců prvočísel, analog Brunovy konstanty spojené s dvojčaty prvočísel, vynecháním počátečního členu (3, 7):

B4=(17+111)+(113+117)+(119+123)+⋯{\ displaystyle B_ {4} = \ left ({\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {11}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {13}} + {\ frac {1} {17}} \ vpravo) + \ vlevo ({\ frac {1} {19}} + {\ frac {1} {23}} \ vpravo) + \ cdots}

Při použití prvočísel bratrance do 2 42 odhadl Marek Bolf v roce 1996 hodnotu B 4 na

B 4 ≈ 1,1970449.

Tato konstanta by neměla být zaměňována s Brunovou konstantou pro čtyřčata prvočísel, což je také uvedeno B 4 .

Reference

1. číslicový hlavní pár bratranců
2. 474435381 · 2 98394 - 1 . Prime Stránky .

Další čtení

• David Wells , Prime Numbers: The Mysterious Figures in Math , John Wiley & Sons ,2011, 288  s. ( ISBN  978-1-118-04571-8 a 1-118-04571-8 ) , str.  33
• (en) Benjamin Fine a Gerhard Rosenberger , Teorie čísel: úvod prostřednictvím distribuce prvočísel , Boston, Birkhäuser,2007, 206  s. ( ISBN  978-0-8176-4472-7 a 0-8176-4472-5 )
• Marek Wolf , Náhodná procházka prvočísly , sv.  250,Února 1998, 335–344  s. ( DOI  10.1016 / s0378-4371 (97) 00661-4 )

Externí odkaz

(en) Eric W. Weisstein , „  Cousin Primes  “ , na MathWorld

(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z anglického článku Wikipedie s názvem „  Cousin prime  “ ( viz seznam autorů ) .