Van der Pol oscilátor

Van der Pol oscilátor je nepřetržitého dynamický systém s jedním stupněm volnosti . Je popsána souřadnicí $x$ $($ $t$ $)$ ověřující diferenciální rovnici zahrnující dva parametry: řádnou pulzaci $ω$ $0$ a koeficient nelinearity $ε$ . Když $ε$ $= 0$ , tento oscilátor se redukuje na čistý harmonický oscilátor .

Nese jméno Balthasar van der Pol .

Dějiny

Oscilátor Van der Pol vynalezl nizozemský fyzik Balthasar van der Pol, zatímco byl zaměstnán v laboratořích společnosti Philips . Van der Pol zjištěno, že tento obvod obsahující jednu elektronka vyvinuty stabilní oscilace, které se nazývají „ relaxační oscilace “ a které se označují dnes jako limitní cykly z elektrických obvodů . Když jsou tyto obvody buzeny na frekvenci blízké frekvenci limitního cyklu, vytvoří se vazba , tj. Řídicí signál vloží svou frekvenci proudu. Van der Pol a jeho kolega Van der Mark publikovali v roce 1927, že při určitých kontrolních frekvencích dochází k nepravidelnému hluku . Tento hluk byl vždy spuštěn v blízkosti přirozených vazebních frekvencí. To byl jeden z prvních důkazů o existenci deterministického chaosu .

Van der Polova rovnice našla mnoho aplikací ve fyzikálních a biologických vědách . Například, v biologii, Fitzhugh a Nagumo vyvinuli dva - rozměrný verzi tohoto dynamického systému popsat akční potenciál z neuronů . Rovnice byla také použita v seismologii k modelování interakce desek při poruše .

Zdarma oscilátor

Diferenciální rovnice volného oscilátoru je zapsána:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - \ varepsilon \ omega _ {0} \ vlevo (1-x ^ {2} (t) \ right) {\ frac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}} + \ omega _ {0} ^ {2} x (t) = 0. }

Když $ε \neq 0$ , má tento disipativní systém pravidelnou dynamiku charakterizovanou atraktorem ve formě limitního cyklu , znázorněného na obrázku níže (kde jsme nastavili $ω 0 = 1$ ):

Nucený oscilátor

Když je tento oscilátor excitován harmonickým členem na pulzu $ω$ , jeho diferenciální rovnice se stává:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - \ varepsilon \, \ omega _ {0} \ vlevo (1- x ^ {2} (t) \ right) {\ frac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ x (t) = \ omega _ {0} ^ {2} \, X \ cos (\ omega t)}

Poznámky

(in) K. Tomita, „ Pravidelně vynucené nelineární oscilátory “ , Chaos , Arun V. Holden, Manchester University Press,1986, str. 213-214 ( ISBN 0719018110 ).
ML Cartwright , „ Balthazar van der Pol “, J. London Math. Soc. , N O 35,1960, str. 367-376 ( číst online ).
B. Van der Pol , „ O relaxačních oscilacích “, London, Edinburgh a Dublin Phil. Mag. & J. ze Sci. , 2 e série, n o 7,1927, str. 978-992.
B. Van der Pol a J. Van der Mark , " Frekvence demultiplication ", Nature , n o 120,1927, str. 363-364.
T. Kanamaru , " Van der Pol oscilátoru " Scholarpedia , 2 E série, n o 1,2007, str. 2202 ( číst online ).
Jean-Marc Ginoux , " Van der Pol a historii relaxačních kmitů: Ke vzniku pojmů " Chaos , n o 22,2012( DOI 10.1063 / 1.3670008 )
R. FitzHugh ,, „ podněty a fyziologické stavy v teoretických modelů nervových membrán “, biofyziky J. , n o 1,1961, str. 445-466.
J. Nagumo , S. Arimoto a S. Yoshizawa , „ Aktivní pulzní přenosová linka simulující nervový axon “, Proc. IRE , n o 50,1962, str. 2061-2070.
J. Cartwright , V. Eguiluz , E. Hernandez-Garcia a O. Piro , „ Dynamika elastických excitabilních médií “, International Journal of Bifurcation and Chaos Appl. Sci. Ryt. , N o 9,1999, str. 2197–2202.

Podívejte se také

Související články

externí odkazy

Interaktivní Flash animace ( prezentace ).
Applet

Bibliografie

Jean-Marc Ginoux, Dějiny teorie nelineárních oscilací: Od Poincarého po Andronova , Hermann ,2015.
James Gleick ( překlad Christian Jeanmougin), La Théorie du Chaos [„Chaos: Making a New Science“], Paříž, Flammarion , kol. "Fields",1988( dotisk 1999, 2008), 431 s. ( ISBN 978-2-08-081219-3 a 2-08081-219-X ) , s. 41-43obsahuje podrobný popis trubkového oscilátoru van der Pol. Poté, co v roce 1988 v New York Times publikoval článek se stejným tématem , obdržel Gleick od čtenáře novin elektronický obvod podobný obvodu Van der Pol. Dotyčný článek: (in) David Colman , „ There No Quiet Without Noise “ , New York Times ,11. července 2011( číst online , konzultováno 11. července 2011 )
Hervé Reinhard , Diferenciální rovnice: Základy a aplikace , Paříž, Gauthier-Villars , kol. "ΜB",1988, 450 s. ( ISBN 2-04-015431-0 ) , „8 - Periodické rovnice a řešení“
(en) Balthazar van der Pol a J. van der Mark, „ Heartbeat považována za relaxační oscilace, a elektrické Model of the Heart “ , Philosophical Magazine Supplement , n o 6,1928, str. 763-775.
(en) Shawnee L. Mc Murran a James J. Tattersall, „ Cartwright a Littlewood na van der Polově rovnici, harmonická analýza a nelineární diferenciální rovnice “ , Contemporary Mathematics , Riverside, CA, American Mathematical Society (Providence, RI, 1997), ne o 208,1995, str. 265-276.