P0-matice

V matematice , je P0-matrix je reálná čtvercová matice , jejíž hlavní nezletilí jsou pozitivní . Tyto matice zasahují do studia problémů lineární komplementarity . Příbuzným pojmem je pojem P-matic .

Definice

Poznamenáváme níže submatici tvořenou z jejích prvků s indexy řádků a sloupcovými indexyMJá,J{\ displaystyle M_ {já, J}}M{\ displaystyle M}Já{\ displaystyle I}J.{\ displaystyle J.}

P0-matice  -  Říkáme, že skutečná čtvercová matice je P0-matice, pokud platí jedna z následujících ekvivalentních vlastností: M∈Rne×ne{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ krát n}}

1. Všechny hlavní nezletilí o pozitivní: pro všechny neprázdné ,M{\ displaystyle M}Já⊂{1,...,ne}{\ displaystyle I \ podmnožina \ {1, \ ldots, n \}}detMJá,Já⩾0{\ displaystyle \ det M_ {I, I} \ geqslant 0}
2. pro jakýkoli non-nula vektoru , můžeme najít index takový, že a ,X∈Rne{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}i{\ displaystyle i}Xi≠0{\ displaystyle x_ {i} \ neq 0}Xi(MX)i⩾0{\ displaystyle x_ {i} (Mx) _ {i} \ geqslant 0}
3. jakéhokoli neprázdné, že skutečné vlastní čísla ze pozitivní,Já⊂{1,...,ne}{\ displaystyle I \ podmnožina \ {1, \ ldots, n \}}MJá,Já{\ displaystyle M_ {já, já}}
4. pro každou pozitivně definitní diagonální matice , nezvratné.D{\ displaystyle D}M+D{\ displaystyle M + D}

Označíme množinu P0 matic libovolné objednávky. Říkáme P0-matricitě vlastnost matice, ke které patří . P0{\ displaystyle \ mathbf {P_ {0}}}P0{\ displaystyle \ mathbf {P_ {0}}}

Název těchto matic navrhli Fiedler a Pták (1966), kteří také ukázali rovnocennost mezi definicemi 1 a 2. Výraz 4 matice P0 je způsoben Chenem a Harkerem (1993).

Okamžité vlastnosti

Z definice 1 to odvodíme

• M∈P0{\ displaystyle M \ in \ mathbf {P_ {0}}}jen tehdy ,M⊤∈P0{\ displaystyle M ^ {\ top \!} \ in \ mathbf {P_ {0}}}
• pokud je symetrický, pak právě a jen v případě, že je pozitivní semi-definitivní ,M{\ displaystyle M}M∈P0{\ displaystyle M \ in \ mathbf {P_ {0}}}M{\ displaystyle M}
• P0∩Rne×ne{\ displaystyle \ mathbf {P_ {0}} \ cap \ mathbb {R} ^ {n \ krát n}}je uzavřen ,Rne×ne{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n \ krát n}}
• je - li kladný semi-definitivní , pakM+M⊤{\ displaystyle M + M ^ {\! \ nahoru \!}}M∈P0.{\ displaystyle M \ in \ mathbf {P_ {0}}.}

Složitost

Ověření, že matice uvedená v je P0-matice, je problémem co-NP-complete . Qne×ne{\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {n \ krát n}}

Dodatky

Poznámka

1. (in) Mr. Fiedler, Pták V. (1966). Některá zevšeobecnění pozitivní jednoznačnosti a monotónnosti. Numerische Mathematik , 9, 163–172. doi
2. (en) B. Chen, PT Harker (1993). Metoda interního pokračování pro problémy lineární komplementarity. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , 14, 1168–1190. doi
3. (in) P. Tseng (2000). Co-NP - úplnost některých problémů s klasifikací matic. Mathematical Programming , 88, 183–192.

Související články

• Lineární komplementarita
• P-matice

Obecné práce

• (en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Problém lineární komplementarity . Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
• (en) RA Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Témata maticové analýzy . Cambridge University Press, New York, NY, USA.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">