Pozitivní samouspojující matice

Symetrický skutečná matrice (nebo: vlastní - přidal skutečný ) se říká, že pozitivní nebo pozitivně semidefinitní , pokud je spojena symetrická bilineární forma je pozitivní . Obecněji se o složité čtvercové matici říká, že je pozitivní, pokud je asociovaná seskvilineární forma ( hermitovská ) pozitivní , přičemž matice je nutně spojena sama .

Skutečný případ

Definice

Říkáme, že skutečná symetrická matice M řádu n je kladná (nebo kladná semitečná), pokud splňuje jednu z následujících ekvivalentních vlastností:

M je pozitivní prvek (en) o skutečné C * algebra M n, n (ℝ) , tj. Jeho spektrum je součástí ℝ + .
Symetrický bilineární forma spojena s M , je pozitivní: pro všechny sloupce matice x s n reálných prvků, x T Mx ≥ 0 (kde x T označuje provedena matrice z x ).
K vlastní čísla z M (které jsou nutně reálné) jsou pozitivní nebo nula.
Existuje reálná matice N tak, že M = N T N .
Všechny hlavní nezletilým z M jsou pozitivní nebo nula: pro všechny neprázdné část I z {1, ..., n } je determinant z submatice M I I z M (vytvořené z prvků s indexy řádků a sloupců v I ) je kladné nebo nulové.

Říká se, že je pozitivní určitý, pokud je také invertibilní .

Důkaz rovnocennosti

1. a 3. jsou jasně rovnocenné.

Charakter 2. znamená, že M definuje na ℝ n pozitivní kvadratická forma , vlastnost, že na 3. ℝ n , jak je vidět euklidovském prostoru s skalární součin , M definuje pozitivní autoadjoint endomorfismů . Ekvivalence mezi 2. a 3. pochází z této dvojité interpretace ve světle Gaussovy redukce a spektrální věty . Protože libovolná skutečná symetrická matice je diagonalizovatelná (srov. Spektrální rozklad ), existuje ortogonální matice P (jejíž sloupce jsou vlastní vektory M ) a diagonální matice D (jejíž úhlopříčné koeficienty jsou vlastní hodnoty M ) tak, že M = PDP T . $\ langle x, y \ rangle = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {x_ {i} y_ {i}}$

Pokud je 2. pravda, věděli jsme, že vlastní hodnoty skutečné symetrické matice jsou skutečné, uvidíme aplikací 2. na vlastní vektory, že 3. je pravda.

Vzhledem k tomu, P -1 = P T je matice M je kongruentní s diagonální matice D . Takže naopak, pokud 3. je pravda, pak 2. je pravda.

Pokud je 4. pravda ( M = N T N ), pak platí 2.. $\ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {n}, x ^ {{\ mathsf {T}}} Mx = \ left (Nx \ right) ^ {{\ mathsf {T}}} \ left (Nx \ vpravo) = \ | Nx \ | ^ {2} \ geqslant 0$

Naopak, pokud je 2. (tedy 3.) pravdivá, můžeme odvodit skutečnou matici N takovou, že M = N T N (matice N není jedinečná; je to tehdy, když vnucujeme, že je buď sama pozitivní, srov. § “ vlastnosti“ níže ): stačí definovat matice delta jako diagonální matice, jejíž diagonální termíny jsou odmocniny z těch D , a pro nastavení N = a P T , protože pak N T N = M . Chceme-li pozitivní symetrické matice, potom požádat spíše N = P , delta P T .

Pokud 4. (nebo 2. nebo 3.) platí pro M, pak 4. platí také pro hlavní vedlejší podmatice M , proto platí 5..

Naopak, předpokládejme, že je 5. pravdivé a dokážeme 2 .. Pro libovolné p od 1 do n jsou všichni hlavní nezletilí p- té dominantní hlavní submatice M p , hypotéza, pozitivní nebo nulová proto (podle vyjádření charakteristiky polynom jako funkce těchto ) det (ε I p + M p )> 0 pro všechna ε> 0. Podle Sylvestrova kritéria je tedy ε I n + M (definitivní) pozitivní, takže ověřuje 2. Dedukujeme, že M také tím, že ε má sklon k 0.

Ve zbytku tohoto článku budeme označovat množinu čtvercových matic řádu symetrických se skutečnými koeficienty a část vytvořených kladných matic. $\ mathcal {S} _n$ $ne$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n}}$

Příklady

Dovolme být skutečnou funkcí reálných proměnných, definovanou na otevřeném místě , diferencovatelnou v sousedství bodu tohoto otevřeného a dvakrát diferencovatelnou v tomto bodě. Pokud dosáhne lokálního minima v , jeho hesenská matice je kladná y ( nutná podmínka neomezené optimality druhého řádu ). $F$ $ne$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $X$ $F$ $X$
Vzhledem k náhodnému vektoru s hodnotami, ve kterých každá komponenta připouští rozptyl, definujeme jeho kovarianční matici pomocí $(T_ {1}, \ dots, T_ {n})$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ Gamma = {\ Big (} {\ mathrm {cov}} (T_ {i}, T_ {j}) {\ Big)} \ in {\ mathcal {S}} _ {n}.$ To je pozitivní. Ve skutečnosti pro jakoukoli matici sloupců se známými skutečnými prvky : $X$ $ne$ $x_ {1}, \ tečky, x_ {n}$ $x ^ {{\ mathsf {T}}} \ Gamma x = {\ mathrm {Var}} (x_ {1} \, T_ {1} + \ cdots + x_ {n} \, T_ {n}) \ geqslant 0.$ Je pozitivní definitivní právě tehdy, když jediná lineární kombinace, která je jistá, je ta, u které jsou všechny koeficienty nulové. $T_ {1}, \ dots, T_ {n}$
Libovolná matice Gram je pozitivně spojená.
Dovolit být symetrická reálná matice, jejíž úhlopříčné členy jsou kladné a definované $NA$ $B$ $B _ {{ij}} = {\ frac {A _ {{ij}}} {{\ sqrt {A _ {{ii}} A _ {{jj}}}}}}.$ Pak je kladný semi-definitivní, právě když je. Myslíme zejména na korelaci . $NA$ $B$
Snížení některých extra-diagonálních podmínek kladné konečné matice je operace, která nemusí nutně zachovávat pozitivitu (i když se poloměry Gerschgorinových disků zmenšují). V níže uvedeném protikladu je kladná určitost, i když to není: $NA$ $B$ $A = {\ begin {pmatrix} 10 & 9 & 7 \\ 9 & 10 & 9 \\ 7 & 9 & 10 \\\ end {pmatrix}}, B = {\ begin {pmatrix} 10 & 8 & 2 \ \ 8 & 10 & 8 \\ 2 & 8 & 10 \\\ end {pmatrix}}.$

Vlastnosti

Jakákoli pozitivní symetrická reálná matice připouští jedinečnou pozitivní symetrickou skutečnou druhou odmocninu . Více formálně: ${\ displaystyle \ forall M \ in {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+} \ quad \ existuje N \ v {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+} \ quad N ^ { 2} = M.}$ Tento výsledek (jehož část „ existence “ je ukázána v části „Definice“ výše ) se zobecňuje na n -té kořeny .
Pokud jsou dvě symetrické reálné matice M a N kladné a dojíždějící , pak MN je kladná symetrická.
Charakterizací 2. článku „Definice“ je průsečík polovičních mezer (v nekonečném počtu). Pro charakterizaci 5. je semi-algebraická množina (en) báze ( tj. D. Charakterizovaná konečným počtem polynomiálních nerovností). ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$
Charakterizace § „Definice“ ukazují, že jde o uzavřený konvexní kužel, který není prázdný . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n}}$
V euklidovském prostoru (opatřeném obvyklým skalárním součinem: což znamená stopa ) se zapíše normální kužel a tečna k v ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ langle A, B \ rangle: = \ operatorname {tr} (AB)}$ $\ operatorname {tr}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {N} _ {{\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}} {(A)} = (- {\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}) \ cap (A ^ {\ bot}) \ quad {\ text {et}} \ quad \ operatorname {T} _ {{\ mathcal {S}} _ {n} ^ {+}} {(A)} = \ {D \ in {\ mathcal {S}} _ {n} \ mid \ forall v \ in \ ker A \; \; v ^ {\! \ Top \!} Dv \ geqslant 0 \}.}$

Složitý případ

Rozšiřujeme předchozí vlastnosti a definice na komplexní matice.

Nechť M je čtvercová matice řádu n . Říká se, že je pozitivní, pokud splňuje jednu z následujících ekvivalentních vlastností:

M je kladný prvek komplexu C * -algebra M n, n (ℂ).
M je samo-spojené (nebo: Hermitian ) a všechny jeho vlastní hodnoty jsou kladné nebo nulové.
Forma sesquilinear spojené s M je (Hermitian) pozitivní : pro všechny sloupce matrice Z s n složitých prvků, z * Mz je pozitivní reálné (kde z * označuje , připojeného matice z Z ).
K dispozici je komplexní matice N tak, že M = N * N .

Říká se, že je pozitivní určitý, pokud je také invertibilní.

Poznámky

Matice by neměla být apriorně spojena sama : tato vlastnost je důsledkem každé z charakterizací, zejména - na rozdíl od skutečného případu - pozitivity přidružené formy.
V prostoru hermitovských matic řádu n se částečný řád spojený s kladnými maticemi konvexního kužele nazývá řád Lowner (en) (pojmenovaný podle Charlese Loewnera ).

Každá kladná (hermitovská) matice připouští jedinečnou kladnou (hermitovskou) druhou odmocninu .

Poznámky a odkazy

Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku s názvem „ Pozitivní matice “ (viz seznam autorů ) .

Jean-Pierre Ramis , André Warusfel a kol. „ Matematika typu„ vše v jednom “pro licenci 2: kompletní kurz, příklady a opravená cvičení , Dunod ,2014( číst online ) , s. 134.
Pozitivita dominantních hlavních nezletilých není dostatečná, o čemž svědčí matice . ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}$
(in) Roger A. Horn a Charles R. Johnson, Matrix Analysis , Cambridge University Press ,2013, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1985) ( číst on-line ) , str. 439, ukažte, že 5. ⇒ 3.
Příklad konstantních funkcí ukazuje, že nemusí být nutně kladně definitivní
Úplný důkaz naleznete v článku „Pozitivní matice“ článku o odmocninách matice .