V geometrii v prostoru je rovnoběžnostěn (nebo rovnoběžnostěn ) těleso, jehož šest ploch je rovnoběžníků . Je to paralelogram, co je krychle na náměstí a jaká je dlažba na obdélník .
V afinní geometrii , kde se bere v úvahu pouze pojem rovnoběžnosti, lze rovnoběžnostěn definovat jako
V euklidovské geometrii , kde pojmy vzdálenosti a úhlu hmoty, rozlišujeme konkrétní hranolů: na krychli , jejíž stěny jsou všechny čtverce, tím přímo nebo pravoúhlý rovnoběžnostěn blok , jehož stěny jsou všechny obdélníky, tím rhombohedron , jehož stěny jsou všechny diamanty .
Rovnoběžník je trojrozměrná verze rovnoběžníku .
Slovo je řeckého původu ( παραλληλεπιπεδον , parallelepipedon ) skládající se ze dvou řeckých slov: παράλληλος ( parallêlos , „paralelní“) a ἐπίπεδον ( epipedon , „rovinná plocha“).
Parallelepiped má:
Umístíme-li se do souřadnicového systému definovaného vrcholem a třemi vektory zkonstruovanými hranami vyplývajícími z tohoto vrcholu, jsou souřadnice všech 8 vrcholů ve tvaru ( ε 1 , ε 2 , ε 3 ), kde ε 1 , ε 2 a ε 3 mohou být 0 nebo 1. Rovnoběžnost je základním prvkem triclinické retikulární soustavy .
Vezmeme-li rovnoběžnostěn jako hranol, můžeme jako základ vzít kteroukoli ze šesti tváří.
Každá plocha je rovnoběžník a má střed symetrie, díky čemuž je rovnoběžnostěn zonohedron .
V euklidovské geometrii je tvar rovnoběžnostěnu zcela určen délkou tří hran vycházejících z vrcholu a hodnotou tří úhlů, které mezi nimi tvoří. Délky tří hran lze zvolit libovolně, ale úhly, které tvoří, jsou vzájemně závislé.
Objem rovnoběžnostěnu je součinem plochy jeho základny krát jeho výšky.
Pokud vektory konstruované třemi hranami ze stejného vrcholu jsou a = ( a 1 , a 2 , a 3 ), b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) a c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) kde jsou souřadnice uvedeny v ortonormálním souřadnicovém systému, objem paralelogramu se rovná absolutní hodnotě smíšeného součinu tří vektorů, což odpovídá absolutní hodnotě determinantu matice vytvořené ze souřadnic vektorů .
Když je rovnoběžnostěn definován délkami a , b a c tří hran vycházejících ze stejného vrcholu a úhlů α, β a γ, které mezi nimi tvoří, jeho objem je:
Objem čtyřstěnu postaveného na třech okrajích, který je výsledkem stejného vrcholu rovnoběžnostěnu, se rovná jedné šestině objemu rovnoběžnostěnu.
Rovnoběžník má vývoj podobný chodníku, ale ve vzoru rovnoběžnostěn se rovnoběžníky stejné dvojice objevují ve dvou různých orientacích. Tento vzor ilustruje skutečnost, že tři úhly rovnoběžníků sdílejících stejný vrchol musí ověřovat následující řadu nerovností: