Těžké kyvadlo
Těžké kyvadlo nazýváme jakékoli pevné těleso pohyblivé kolem osy (v zásadě vodorovné), které neprochází jeho těžištěm a není umístěno v gravitačním poli . Po posunutí ze své rovnovážné polohy (stabilní), ve které je těžiště svisle k ose, začne těleso oscilovat na obou stranách této takzvané rovnovážné polohy. Kyvadlové hodiny, houpačka atd. Představují těžká kyvadla.
Nejjednodušším případem je kyvadlo složené z malého těžkého předmětu připevněného k drátu (nebo tyči) zanedbatelné hmotnosti před objektem. Takové kyvadlo se nazývá jednoduché těžké kyvadlo .
Jednoduché těžké kyvadlo má historický význam, protože Galileo jej studoval podrobně a vědecky.
Teoretické studium jednoduchého modelu těžkého kyvadla
Pohybová rovnice
Uvažujeme jednoduché těžké kyvadlo o hmotnosti m , které se pohybuje ve vzdálenosti l od osy (délka drátu nebo tyče, považována za neroztažitelnou a bez hmoty). Nechť θ je úhel mezi sestupnou svislou osou a kyvadlovou tyčí, v okamžiku t a θ 0 maximální úhel. Označíme g na zrychlení a gravitace .
Zanedbáním tření je mechanická energie kyvadla, součet kinetické energie a potenciální energie, konstantní a rovná se:
Em=Evs.+Ep=12ml2θ˙2+mGl(1-cosθ)=mGl(1-cosθ0){\ displaystyle E_ {m} = E_ {c} + E_ {p} = {\ frac {1} {2}} ml ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + mgl (1 \ cos \ theta) = mgl (1- \ cos \ theta _ {0})} s
θ˙=dθdt{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}
Odvozením výše uvedeného vztahu s ohledem na čas získáme po zjednodušení:
θ¨+Glhříchθ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + {\ frac {g} {l}} \ sin \ theta = 0}Tato rovnice je rovnicí neharmonického oscilátoru , to znamená nesinusového. Doba T kmitání nezávisí na hmotnosti, ale závisí na amplitudě pohybu.
Přibližné vyjádření období malých oscilací
Pro slabé oscilace lze diferenciální rovnici přibližně napsat:
θ¨+Glθ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + {\ frac {g} {l}} \ theta = 0}Je tedy vidět, že pro malé amplitudy umožňující přiblížit sinus podle jeho úhlu se kyvadlo „chová jako“ harmonický oscilátor . Perioda je poté nezávislá na amplitudě. Tento jev se nazývá isochronism malých kmitů . Toto období je pak vyjádřeno jednoduše:
T0=2πlG{\ displaystyle T_ {0} = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}
Přesné vyjádření periody oscilací
Oddělením proměnných v rovnici pro zachování energie získáme:
l2G(dθdt)2=cosθ-cosθ0{\ displaystyle {\ frac {l} {2g}} \ vlevo ({\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} \ vpravo) ^ {2} = \ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}}a kořenem výrazu dostaneme . Perioda T oscilací má hodnotu čtyřnásobku času potřebného k přechodu z 0 na θ 0 , proto:
dt=l2Gdθcosθ-cosθ0{\ displaystyle \ mathrm {d} t = {\ sqrt {\ frac {l} {2g}}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}}}}}
T=4l2G∫0θ0dθcosθ-cosθ0=4lGK.(hříchθ02){\ displaystyle T = 4 {\ sqrt {\ frac {l} {2g}}} \ int _ {0} ^ {\ theta _ {0}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}}}} = 4 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}} K \ left (\ sin {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ vpravo)}kde K je úplný eliptický integrál prvního druhu . Pokud se zeptáme , máme vývoj v sérii:
y=hříchθ02{\ displaystyle \ gamma = \ sin {\ theta _ {0} \ přes 2}}
K.(y)=π2∑ne=0∞[(2ne)!22ne(ne!)2]2y2ne=π2(1+y24+9y464...)=π2(1+θ0216+11θ043072+...){\ displaystyle K (\ gamma) = {\ frac {\ pi} {2}} \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {(2n)!} {2 ^ {2n } (n!) ^ {2}}} \ vpravo] ^ {2} \ gamma ^ {2n} = {\ frac {\ pi} {2}} \ vlevo (1 + {\ frac {\ gamma ^ {2 }} {4}} + {\ frac {9 \ gamma ^ {4}} {64}} \ dots \ right) = {\ frac {\ pi} {2}} \ left (1 + {\ theta _ { 0} ^ {2} \ přes 16} + {11 \ theta _ {0} ^ {4} \ přes 3072} + ... \ right)}Tím, že vezmeme výraz období pro malé oscilace, získáme jako výraz období:
T0=2πlG{\ displaystyle T_ {0} = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}
T=T0(1+θ0216+11θ043072+...){\ displaystyle T = T_ {0} \ left (1 + {\ frac {\ theta _ {0} ^ {2}} {16}} + {11 \ theta _ {0} ^ {4} \ přes 3072} + ... \ vpravo)}Přibližné množství období je známé jako Bordův vzorec . Viz tabulka hodnot v podrobném článku. Lze si pamatovat, že při úhlu θ 0 50 ° je perioda o 5% větší než ta, která je dána jednoduchým vzorcem, a že korekce v důsledku druhého členu je vnímatelná pouze při úhlech větších než 70 °.
T0(1+θ0216){\ displaystyle T_ {0} \ left (1 + {\ frac {\ theta _ {0} ^ {2}} {16}} \ right)}T0=2πlG{\ displaystyle T_ {0} = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}
Případ složeného kyvadla
Pohybová rovnice
U jakéhokoli těžkého kyvadla nelze účinek setrvačnosti na rotaci snížit na hmotu bodu umístěnou v těžišti. Je to celá těleso, které se otáčí, a jeho setrvačnost je charakterizována jeho momentem setrvačnosti zaznamenaným J a vzdáleností l od těžiště k ose (pro jednoduché kyvadlo J = m l 2 ). Nechť θ je úhel mezi sestupnou svislou osou a přímkou spojující osu kyvadla se středem setrvačnosti. Jeho mechanická energie má hodnotu:
Em=Evs.+Ep=12Jθ˙2+mGl(1-cosθ)=mGl(1-cosθ0){\ displaystyle E_ {m} = E_ {c} + E_ {p} = {\ frac {1} {2}} J {\ dot {\ theta}} ^ {2} + mgl (1- \ cos \ theta ) = mgl (1- \ cos \ theta _ {0})}Derivace této rovnice dává:
θ¨+mGlJhříchθ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + {\ frac {mgl} {J}} \ sin \ theta = 0}
Vyjádření období
Pohybová rovnice je srovnatelná s jednoduchého kyvadla, nahradí se . Můžeme tedy použít stejné závěry přepsáním výsledků. Zejména :
lG{\ displaystyle {\ frac {l} {g}}}JmGl{\ displaystyle {\ frac {J} {mgl}}}
- Při nízkých amplitudách je také ověřen izochronismus oscilací a odpovídající období je vyjádřeno jako funkce J pomocí:
T0=2πJmGl{\ displaystyle T_ {0} = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {J} {mgl}}}}- Přesná hodnota období je: se stejným vývojemT=4J2mGl∫0θ0dθcosθ-cosθ0=4JmGlK.(hříchθ02){\ displaystyle T = 4 {\ sqrt {\ frac {J} {2mgl}}} \ int _ {0} ^ {\ theta _ {0}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ sqrt {\ cos \ theta - \ cos \ theta _ {0}}}} = 4 {\ sqrt {\ frac {J} {mgl}}} K \ left (\ sin {\ frac {\ theta _ {0}} {2}} \ vpravo)}T≈T0(1+θ0216+11θ043072+...){\ displaystyle T \ přibližně T_ {0} \ vlevo (1 + {\ frac {\ theta _ {0} ^ {2}} {16}} + {11 \ theta _ {0} ^ {4} \ přes 3072 } + ... \ vpravo)}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">