Zákon o vnitřním složení

V matematiky , konkrétně v algebry , An vnitřní kompozice právo se aplikuje , což ve dvou prvků set E , spojuje element E . Jinými slovy, jedná se o binární operaci, při které je E stabilní .

Přidání a násobení v množině přirozených čísel jsou klasické příklady vnitřního práva složení.

Tyto vnitřní a vnější zákony kompozice se používají k definování algebraické struktury , které zabírají privilegované místo v obecné algebry .

Prezentace

Všichni máme od základní školy celkem dobrou představu o konceptu operací, jako je sčítání, odčítání, násobení nebo dělení. (Vnitřní) provoz v sadě je vnitřní vztah v tomto souboru, která, s libovolnými dvěma prvky této množiny, se nazývají operandy , případně spojuje třetí, unikátní, nazvaný výsledek , a to vždy ve stejné sadě.

Aby považovaná operace byla účinně zákonem vnitřního složení , musí mít význam bez ohledu na dva prvky zvolené množiny (formálně říkáme, že operace musí být definována všude). Tak :

• dělení není zákonem vnitřního složení v ℝ , protože nemůžeme dělit nulou: například „3/0“ nedává smysl. Ale stejné dělení je zákonem vnitřního složení v ℝ * (množina reálných čísel zbavených 0). Nakonec tato stejná operace není zákonem interního složení v ℤ *, protože 2/3 není relativní celé číslo .
• odčítání může, ale nemusí, být vnitřním zákonem složení v závislosti na uvažované množině čísel:
  • pokud jde o množinu obvyklých čísel, známých jako přirozená celá čísla {0, 1, 2, 3, ...}, není to jedna, protože například „3 - 5“ n nevede k žádným těchto obvyklých čísel.
  • pokud naopak zvolíme množinu relativních celých čísel, která kromě přirozených celých čísel obsahuje záporná celá čísla {..., –3, –2, –1}, pak je odčítání skutečně zákonem vnitřní kompozice .

V podstatě vnitřní kompozice právo v nastaveném E , nebo jednoduše zákona v E , je proces, který poskytuje výsledek do E pro všechny možné dvojic prvků E .

Příklady

V sadě relativních čísel, přidávání je vnitřní zákon kompozice má mimo jiné následující vlastnosti, které budou definovány formálněji v druhé části článku:

• 0 je pro tento zákon neutrální prvek : jeho přidání k libovolnému číslu dává toto číslo znovu: například 5 + 0 = 5 a 0 + 8 = 8;
• pro jakékoli celé číslo existuje další číslo, jeho opak (obecný termín je symetrický prvek ), například přidaný k prvnímu, dává neutrální prvek zpět na 0. Opak je označen jako počáteční znaménko se změněným číslem. Takže: 3 + (–3) = 0;
• můžeme vyměnit dva prvky kolem znaménka „   “: 3 + 5 = 5 + 3 = 8. Říkáme, že operace je komutativní  ;+{\ displaystyle +}
• při přidání více než dvou můžeme prvky seskupit podle potřeby: 3 + 5 + 4 lze vypočítat dvěma způsoby:
  • nejprve vypočítáním 3 + 5 = 8 a poté přidáním 4 k výsledku,
  • nebo výpočtem 5 + 4 = 9 před výpočtem 3 + 9.

Tyto dvě metody vedou ke stejnému výsledku, který si všimneme: (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4). Říkáme, že operace je asociativní .

Tyto čtyři vlastnosti, existenci neutrálního prvku , existenci symetrie , komutativitu , asociativitu lze najít pro jiné množiny a další zákony. Můžeme tedy studovat všechny překlady (tj. Posunutí v přímce: například pohybovat se 3 metry doleva a 2 metry nahoru) a vnitřní kompoziční zákon pro tuto množinu, kompozice  : kompozice dvou překladů sestávajících jednoduše z provedení prvního posunutí, poté druhého. Pro složení se nacházejí stejné vlastnosti jako pro přidání:

• neutrální je nula překlad, spočívající v nepohybuje;
• symetrie překladu spočívá v provádění stejné posunutí v opačném směru (3 m vpravo a 2 m dolů pro předchozí příklad): pokud ano oba postupně, to je, jako bychom dělali nulového posunutí;
• můžeme provést posuny v požadovaném pořadí, najdeme komutativitu a asociativitu .

Sada relativních celých čísel s přidáním a sada překladů se složením mají tyto jednoduché společné vlastnosti. Množina a zákon, které mají tyto čtyři konkrétní vlastnosti, se v algebře nazývají abelianská skupina . Obecně algebra pak bude snažit hledat složitější vlastnosti vyplývají z těchto prvních čtyř. Tyto nové vlastnosti pak budou platit také pro množinu relativních celých čísel i pro překlady a pro jakoukoli jinou množinu a jakýkoli jiný zákon vnitřního složení se strukturou abelianské skupiny, aniž by to bylo nutné. Restart pro každého.

Formální definice

Volal vnitřní složení právo na nastaveném E některý implementace tohoto produktu Cartesian E × E v E . ∗{\ displaystyle * \,}

Sada E opatřená zákonem o vnitřním složení představuje algebraickou strukturu zvanou magma a označenou „( E , )“. ∗{\ displaystyle * \,} ∗{\ displaystyle * \,}

Několik triviálních příkladů pro neprázdnou množinu E :

• konstantní mapy: pokud c patří do E  : ∀ x ∈ E , ∀ y ∈ E ,   x y   = c  ;∗{\ displaystyle \, *}
• aplikace vybírá termín nalevo: ∀ x ∈ E , ∀ y ∈ E ,   x y   = x  ;∗{\ displaystyle \, *}
• aplikace vybírá termín vpravo: ∀ x ∈ E , ∀ y ∈ E ,   x y   = y .∗{\ displaystyle \, *}

Speciální prvky

Čtverce a deriváty

• o prvku se říká, že je čtvercový, pokud:   vs.{\ displaystyle c \,}∃ X∈E, X∗X=vs.{\ displaystyle \ existuje \ x \ v E, \ x * x = c \,}

Naopak, každý prvek x   má jedinečný čtverec, obvykle označený „  x 2  “. Pokud je zákon poznamenán aditivně, použije se termín dvojitý přednostně před výrazem čtvercový . Příklad: v ℤ je dvojnásobek 3 (pro přidání) 6 a jeho čtverec (pro násobení) je 9.

• o prvku se říká, že je idempotentní (řádu 2) nebo projektor, pokud:   s{\ displaystyle s \,}s∗s=s{\ displaystyle s * s = s \,}

Jinými slovy, tento prvek je jeho vlastní čtverec . Příklady:

• každý neutrální prvek zákona je pro tento zákon idotivní;
• v jakékoli číselné sadě, která je obsahuje, jsou 0 a 1 jedinými idempotentními prvky pro násobení.

Neutrály a deriváty

Prvek se říká: E{\ displaystyle e}

• neutrální vlevo, pokud  ;∀X∈EE∗X=X{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad e * x = x}
• neutrální vpravo, pokud  ;∀X∈EX∗E=X{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad x * e = x}
• neutrální, když je neutrální vpravo a vlevo.

Příklady

• V ℝ je neutrální prvek sčítání 0 a násobení 1.
• V množině částí množiny X je prázdná množina neutrální pro spojení a množina X neutrální pro křižovatku .

Cokoli, co je neutrální nalevo nebo napravo, je idempotentní.

Pokud je neutrální prvek vlevo a neutrální prvek vpravo, pak zákon připouští jedinečný neutrální prvek a jakýkoli neutrální prvek vlevo nebo vpravo se mu rovná.

Pokud je neutrální prvek  : E{\ displaystyle e}

• o prvku se říká, že je involutivní, pokud . s{\ displaystyle s}s∗s=E{\ displaystyle s * s = e}Jediným involutivním a idempotentním prvkem je neutrální prvek;
• o prvku se říká, že je symetrický nalevo od prvku si . Prvek je poté symetrický napravo od prvku .na{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}na∗b=E{\ displaystyle a * b = e}b{\ displaystyle b}na{\ displaystyle a}

Absorbenty a deriváty

Prvek se říká: na{\ displaystyle a}

• absorbent vlevo, pokud  :;∀X∈Ena∗X=na{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad a * x = a}
• absorbent vpravo, pokud  :;∀X∈EX∗na=na{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad x * a = a}
• absorpční, pokud je absorpční zprava a zleva.

Příklady

• V ℝ je 0 pro absorpci absorpční.
• V sadě částí sady X je prázdná sada absorpční pro průnik a sada X je absorpční pro spojení.

Jakýkoli absorpční prvek vlevo nebo vpravo je idempotentní.

Pokud je absorpční prvek vlevo a absorpční prvek vpravo, pak zákon připouští jediný absorpční prvek a jakýkoli absorpční prvek vlevo nebo vpravo se mu rovná.

Když zákon připouští absorbující prvek , je prvek považován za nilpotentní (řádu 2), pokud . 0{\ displaystyle 0}X{\ displaystyle x}X∗X=0{\ displaystyle x * x = 0}

Střed konstrukce

Prvek je považován za centrální, pokud . vs.{\ displaystyle c}∀X∈EX∗vs.=vs.∗X{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad x * c = c * x}

Dvoustranné neutrální a absorpční prvky jsou ústřední.

Volal centrum z E a píšeme Z ( E ), všechny hlavní prvky E .

Pravidelné a deriváty

Prvek se říká s∈E{\ displaystyle s \ v E}

• normální vlevo nebo zjednodušené vlevo, pokud:

∀ (X,y)∈E2 (s∗X=s∗y⇒X=y){\ displaystyle \ forall \ (x, y) \ v E ^ {2} \ (s * x = s * y \ Rightarrow x = y)} ;

• regulární vpravo nebo zjednodušený vpravo, pokud:

∀ (X,y)∈E2 (X∗s=y∗s⇒X=y){\ displaystyle \ forall \ (x, y) \ v E ^ {2} \ (x * s = y * s \ Rightarrow x = y)};

• pravidelné nebo zjednodušené, když je pravidelné napravo a nalevo  ;
• rozdělovač nuly vlevo, pokud existuje absorpční prvek (zjevně jedinečný), odlišný od, a pokud:;na{\ displaystyle a}s{\ displaystyle s}∃ r∈E (r≠na∧s∗r=na){\ displaystyle \ existuje \ r \ v E \ (r \ neq a \ klín s * r = a)}
• dělitel nula vpravo , pokud je absorpční člen liší od a: .na{\ displaystyle a}s{\ displaystyle s}∃ r∈E (r≠na∧r∗s=na){\ displaystyle \ existuje \ r \ v E \ (r \ neq a \ klín r * s = a)}

K dělitele z nuly jsou nepravidelné . Nilpotentní prvky jiné než absorpční prvek jsou nulovými děliteli .

Páry prvků

Páry prvků mohou mít také konkrétní vlastnosti:

• dva prvky a bude se říci, že permutable nebo komutační pokud:r{\ displaystyle r \,}s{\ displaystyle s \,}r∗s=s∗r{\ displaystyle r * s = s * r \,}
• dva permutovatelné prvky a bude o nich řečeno, že jsou symetrické nebo invertibilní, pokud: r{\ displaystyle r \,}s{\ displaystyle s \,}
  • existuje neutrální prvek ,E{\ displaystyle e \,}
  • a :;r∗s=E{\ displaystyle r * s = e}
• dva permutovatelné prvky a budou se nazývat dělitele nuly nebo dezintegranty, pokud: r{\ displaystyle r \,}s{\ displaystyle s \,}
  • existuje absorpční prvek ,na{\ displaystyle a \,}
  • a žádný z těchto dvou prvků se nerovná ,na{\ displaystyle a \,}
  • a :;r∗s=na{\ displaystyle r * s = a}

Příklad: pro relativní celá čísla je 0 neutrální pro sčítání, absorbent pro násobení a pravý neutrál pro odčítání.

Vlastnosti

Některé vlastnosti zákonů vnitřního složení, které jsou obzvláště zajímavé, získaly jméno. Nechť magma ( E , ); zákon může vykazovat následující vlastnosti: ∗{\ displaystyle * \,}∗{\ displaystyle * \,}

Existence pozoruhodných prvků

Říká se zákon

• sjednotit vlevo, pokud je vlevo neutrální prvek . Zákon může mít několik neutrálních prvků vlevo, za předpokladu, že nemá neutrální prvek vpravo;
• sjednotit vpravo, pokud je vpravo neutrální prvek. Zákon může představovat několik neutrálních prvků vpravo, za předpokladu, že nepředstavuje neutrální prvek vlevo;
• unified (někdy unitary ) if there is a neutral element (which is then unique).

Pravidelnost a související vlastnosti

• ∗{\ displaystyle * \,}se říká, že pravidelný nalevo nebo simplifiable na levé straně , pokud všechny prvky E jsou pravidelné na levé straně , tj. v případě:

∀ (X,y,z)∈E3, (X∗y=X∗z)⇒(y=z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ v E ^ {3}, \ (x * y = x * z) \ Rightarrow (y = z) \,}

• ∗{\ displaystyle * \,}je řekl, aby byl pravidelný na pravé straně nebo zjednodušitelný na pravé straně, pokud jsou všechny prvky E jsou pravidelné na pravé straně , tj. pokud:

∀ (X,y,z)∈E3, (y∗X=z∗X)⇒(y=z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ v E ^ {3}, \ (y * x = z * x) \ Rightarrow (y = z) \,}

• ∗{\ displaystyle * \,}se říká, že pravidelný nebo simplifiable -li všechny prvky E jsou pravidelné , tj. pokud:

∀ (X,y,z)∈E3, [ (X∗y=X∗z)∨(y∗X=z∗X) ]⇒(y=z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ v E ^ {3}, \ [\ (x * y = x * z) \ lor (y * x = z * x) \] \ Rightarrow (y = z) \,} Zákon je řádný právě tehdy, je-li pravidelný vlevo a řádný vpravo .

Asociativita a analogické vlastnosti

Zákon říká: ∗{\ displaystyle *}

• asociativní, pokud: ∀(X,y,z)∈E3X∗(y∗z)=(X∗y)∗z{\ displaystyle \ forall \ left (x, y, z \ right) \ v E ^ {3} \ quad x * (y * z) = (x * y) * z}. Asociativita zákona umožňuje obejít se při opakování zákona bez závorek; většina zajímavých zákonů je asociativních (příklady: sčítání, násobení, složení binárních vztahů …);
• alternativa, pokud: ∀(X,y)∈E2[X∗(X∗y)=(X∗X)∗ya(X∗y)∗y=X∗(y∗y)]{\ displaystyle \ forall \ left (x, y \ right) \ v E ^ {2} \ quad \ left [x * (x * y) = (x * x) * y \ quad {\ text {a}} \ quad (x * y) * y = x * (y * y) \ right]}. Tato vlastnost je slabší než asociativita;
• asociativní síly, pokud, je-li prvek složen sám několikrát, pořadí, ve kterém jsou tyto kompozice provedeny, neovlivňuje výsledek (z čehož vyplývá zejména :). X∗(X∗X)=(X∗X)∗X{\ displaystyle x * (x * x) = (x * x) * x}Když je tato vlastnost ověřena, je možné zavést pojem síly prvku (odtud název vlastnosti):
  • n- ta síla prvku x , obvykle označená x n , se rovná výsledku složení x podle ( n - 1) krát sama se sebou; tak, x 1 = x , x 2 = x x , x 3 = x x x ,  atd.∗{\ displaystyle *} ∗{\ displaystyle *} ∗{\ displaystyle *} ∗{\ displaystyle *}
  • pokud navíc zákon představuje neutrální prvek e , nastavíme x 0 = e∗{\ displaystyle *}
  • pokud je navíc prvek x invertovatelný ( viz níže ), nastavíme x –n = ( x n ) -1 .

Další vlastnosti

Říká se zákon∗{\ displaystyle *}

• integruje, pokud připouští absorbující prvek a pokud žádný prvek není dělitelem nuly;
• komutativní, pokud.∀ (X,y)∈E2X∗y=y∗X{\ displaystyle \ forall \ (x, y) \ v E ^ {2} \ quad x * y = y * x}

Výše uvedený seznam vlastností není vyčerpávající. V tomto odstavci se však budeme zabývat pouze jedním dalším případem: v algebraických strukturách zahrnujících několik zákonů mají některé z těchto zákonů vlastnosti týkající se jiných zákonů. Nejdůležitějším z těchto relativních zákonů je distributivita.

• Zákon je distribuční nalevo s ohledem na jiný zákon, pokud:∗{\ displaystyle *} ⊥{\ displaystyle \ bot}∀ (X,y,z)∈E3X∗(y⊥z)=(X∗y)⊥(X∗z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ v E ^ {3} \ quad x * (y \ bot z) = (x * y) \ bot (x * z) \,}
• Zákon je správně distribuční ve vztahu k jinému zákonu, pokud:∗{\ displaystyle *} ⊥{\ displaystyle \ bot}∀ (X,y,z)∈E3(X⊥y)∗z=(X∗z)⊥(y∗z){\ displaystyle \ forall \ (x, y, z) \ v E ^ {3} \ quad (x \ bot y) * z = (x * z) \ bot (y * z) \,}
• Zákon je distribuční ve vztahu k jinému zákonu, pokud je distribuční ve vztahu k pravému i levému∗{\ displaystyle *}⊥{\ displaystyle \ bot}⊥{\ displaystyle \ bot}

Například multiplikace je distribuční s ohledem na sčítání.

Poznámka: pokud je navíc pravidelná a jednotná, pak je její neutrální prvek pro zákon nutně pohlcující . To mimo jiné vysvětluje, proč v komutativním poli neutrální prvek prvního zákona nemá symetrický podle druhého zákona. ⊥{\ displaystyle \ bot}∗{\ displaystyle *}

Reverzibilita

Tato důležitá vlastnost si zaslouží samostatný odstavec. Budeme umístit sebe v magma ( E , ), jehož jednotný zákon budeme předpokládat, proto má neutrální prvek . Potom je možné definovat následující pojmy: ∗{\ displaystyle * \,}E{\ displaystyle e \,}

• prvek se říká, že je symetrizovatelný vlevo nebo invertibilní vlevo, pokud:s{\ displaystyle s \,}

∃ s′∈E, s′∗s=E{\ displaystyle \ existuje \ s '\ v E, \ s' * s = e \,} s ' se pak nazývá symetrický prvek nalevo od s  ;

• prvek se říká, že je symetrizovatelný vpravo nebo invertibilní vpravo, pokud:s{\ displaystyle s \,}

∃ s′∈E, s∗s′=E{\ displaystyle \ existuje \ s '\ v E, \ s * s' = e \,} s ' se pak nazývá symetrický prvek napravo od s  ;

• Jakýkoli prvek, který lze převrátit vlevo, je obyčejný vlevo a podobně vpravo. Pokud E je konečný je obrácený je pravda, protože jakékoliv injekce z E do E je pak surjektivní (viz vlastnosti bijekce ).
• o prvku se říká, že je symetrizovatelný nebo invertibilní, když je invertibilní vpravo a vlevo a dva symetrické jsou stejné;s{\ displaystyle s \,}

y je pak nazýván symetrický prvek ze s .

• zákon je řekl, aby byl symetrizovatelný na levé straně nebo invertibilní na levé straně, pokud jsou všechny prvky E jsou invertibilní na levé straně ;∗{\ displaystyle * \,}
• zákon je říkán být pravý-symetrizable nebo pravý- invertible jestliže všechny prvky E jsou right-invertible  ;∗{\ displaystyle * \,}
• zákon je řekl, aby byl symetrizovatelný nebo invertibilní jestliže všechny prvky E jsou invertible .∗{\ displaystyle * \,}

Pokud je zákon navíc asociativní , existuje pro prvky symetrizovatelné vlevo (respektive vpravo ) jedinečnost jejich symetrických vlevo (resp. Vpravo). A pokud je prvek s symetrizovatelný vpravo a vlevo, pak jeho symetrické prvky vlevo a vpravo jsou nutně stejné a tento prvek je proto symetrizovatelný. Jeho symetrie se pak obvykle označuje „  s -1  “. ∗{\ displaystyle * \,}

Příklady:

• 2 není symetrizovatelný pro přidání v přirozených číslech  ;
• 2 je symetrizovatelný, se symetrickým –2, pro přidání v relativních celých číslech  ;
• 2 není pro produkt invertibilní v relativních celých číslech;
• 2 je pro produkt v racionální podobě inverzní, inverzně 1/2 .

Poznámka :

Když je zákon zaznamenán aditivně, symetrický je spíše nazýván opačný , a když je zákon zaznamenán multiplikativně, symetrický je spíše nazýván inverzní .

Počet zákonů vnitřního složení na množině s n prvky

Nechť E je množina s n prvky.

Počet zákonů vnitřního složení na E je počet zobrazení od E × E do E , tj.

ne(ne2){\ displaystyle n ^ {(n ^ {2})}}.

Můžeme také spočítat, kolik z nich je komutativních. Komutativní zákon na E je zcela určen jeho hodnotou x✲y = y✲x pro páry { x, y } a jeho hodnotou x✲x pro singletony { x }. Počet těchto dvojic a jedináčci je , počet komutativních zákonů na E je proto Γne2=(ne+12)=ne(ne+1)2{\ displaystyle \ Gamma _ {n} ^ {2} = {n + 1 \ vyberte 2} = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}

nene(ne+1)/2 {\ displaystyle n ^ {n (n + 1) / 2} ~}.

Podívejte se také

• Univerzální algebra
• Morfismus

Poznámka

1. Toto použití výrazu „binární operace“ je inspirováno anglickým výrazem „binary operation“ , který se používá místo „zákona složení“. V matematice může slovo „  operace  “ označovat i něco jiného než zákon vnitřního složení.

Reference

• N. Bourbaki , Prvky matematiky , sv.  II: Algebra, kapitoly 1 až 3 , Berlín, Springer,1970( Repr.  2007), 2 th  ed. ( ISBN  978-3-540-33849-9 , online prezentace )
• Serge Lang , Algebra [ detail vydání ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">