Cassiniho projekce
Cassini výstupek (někdy také známý jako Cassini-Soldner nebo Pájka projekci ) je kartografických popsaný César-François Cassini de Thury v roce 1745. Je to příčně k ekvidistantní válcová projekce , v tom smyslu, kde je možné vidět, jak aplikace ekvirectangulární projekce po otočení zeměkoule tak, aby se z centrálního poledníku stal rovník.
Vzhledem k tomu, že Země je koule, projekce se skládá z následujících operací:
X=arcsin(cosφhříchλ)y=arktan(opáleníφcosλ){\ displaystyle x = \ arcsin (\ cos \ varphi \ sin \ lambda) \ qquad y = \ arctan \ left ({\ frac {\ tan \ varphi} {\ cos \ lambda}} \ vpravo)}![{\ displaystyle x = \ arcsin (\ cos \ varphi \ sin \ lambda) \ qquad y = \ arctan \ left ({\ frac {\ tan \ varphi} {\ cos \ lambda}} \ vpravo)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c161122e8f3ddb6400e2a9636037edc744c6b15)
kde λ je zeměpisná délka vzhledem k centrálnímu poledníku a φ je zeměpisná šířka. Když jsou tyto rovnice naprogramovány, je tangenciální funkce oblouku ve skutečnosti funkcí atan2 , přičemž první argument sin ( φ ) a druhý argument cos φ cos λ .
Chcete-li obrátit tuto projekci, provedou se následující operace:
ϕ=arcsin(hřích(y+ϕ0)cos(X))λ=arktan2(opálení(X),cos(y+ϕ0)){\ displaystyle \ phi = \ arcsin (\ sin (y + \ phi _ {0}) \ cos (x)) \ qquad \ lambda = \ arctan 2 (\ tan (x), \ cos (y + \ phi _ {0}))}![{\ displaystyle \ phi = \ arcsin (\ sin (y + \ phi _ {0}) \ cos (x)) \ qquad \ lambda = \ arctan 2 (\ tan (x), \ cos (y + \ phi _ {0}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2adf7c982ca0e03bce2dfa17ac3a36466e4740a6)
V praxi byly s touto projekcí vždy použity elipsoidní modely, což značně komplikuje jeho matematický vývoj, ale je užitečné pro geodetickou praxi. Nicméně použití projekce Cassini bylo projekcí Mercator zcela nahrazeno přinejmenším v nejdůležitějších agenturách provádějících kartografii.
Zkreslení
Zóny umístěné podél centrálního poledníku a v jejich kolmici vidí zachované vzdálenosti. Všude jinde je zkreslení velké ve směru sever-jih a mění se s druhou mocninou vzdálenosti od centrálního poledníku. Čím více se zóna podélně táhne, tím více je pozorováno zkreslení.
Projekce Cassini tedy funguje lépe s úzkými oblastmi a méně s širokými oblastmi.
Eliptický tvar
Cassiniho projekce je obecně známá ve své sférické formě, ale lze ji také zobecnit na elipsoidní model.
Operace vedoucí k transformaci v této projekci jsou následující:
NE=(1-E2hřích2(ϕ))-1/2{\ displaystyle N = (1-e ^ {2} \ sin ^ {2} (\ phi)) ^ {- 1/2}}
T=opálení2(ϕ){\ displaystyle T = \ tan ^ {2} (\ phi)}
NA=λcos(ϕ){\ displaystyle A = \ lambda \ cos (\ phi)}
VS=E21-E2vs.Ós2(ϕ){\ displaystyle C = {\ frac {e ^ {2}} {1-e ^ {2}}} cos ^ {2} (\ phi)}
X=NE(NA-TNA36-(8-T+8VS)TNA5120){\ displaystyle x = N (A-T {\ frac {A ^ {3}} {6}} - (8-T + 8C) T {\ frac {A ^ {5}} {120}})}
y=M(ϕ)-M(ϕ0)+NEopálení(ϕ)(NA22+(5-T+6VS)NA424){\ displaystyle y = M (\ phi) -M (\ phi _ {0}) + N \ tan (\ phi) ({\ frac {A ^ {2}} {2}} + (5-T + 6C ) {\ frac {A ^ {4}} {24}})}
kde M () představuje jižní vzdálenost .
Zpětné projekce lze dosáhnout pomocí následujících operací:
ϕ′=M-1(M(ϕ0)+y){\ displaystyle \ phi '= M ^ {- 1} (M (\ phi _ {0}) + y)}![{\ displaystyle \ phi '= M ^ {- 1} (M (\ phi _ {0}) + y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db360b9c2c3fb4b8df8173a560ddc8982cd12dd8)
Pokud pak aϕ′=π2{\ displaystyle \ phi '= {\ frac {\ pi} {2}}}
ϕ=ϕ′{\ displaystyle \ phi = \ phi '}
λ=0{\ displaystyle \ lambda = 0}
jinak vypočítat T a N jako dříve pomocí then
ϕ′{\ displaystyle \ phi '}![{\ displaystyle \ phi '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5304c739c4deec1d259e3235a419e6177fe77a)
R=(1-E2)(1-E2sine2ϕ′)-3/2{\ displaystyle R = (1-e ^ {2}) (1-e ^ {2} sin ^ {2} \ phi ') ^ {- 3/2}}
D=X/NE{\ displaystyle D = x / N}
ϕ=ϕ′-opáleníϕ′NER(D22-(1+3T)D424){\ displaystyle \ phi = \ phi '- \ tan \ phi' {\ frac {N} {R}} ({\ frac {D ^ {2}} {2}} - (1 + 3T) {\ frac { D ^ {4}} {24}})}
λ=(D-TD33+(1+3T)TD515)cosϕ′{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {(DT {\ frac {D ^ {3}} {3}} + (1 + 3T) T {\ frac {D ^ {5}} {15}})}} \ cos \ phi '}}}
Poznámky a odkazy
-
(in) „ Cassini-Soldner - Help “ , Environmental Systems Research Institute, Inc. (přístup 9. června 2016 )
-
(in) John P. Snyder, Zploštění Země: Dva tisíce let mapových projekcí ,1993, 365 s. ( ISBN 0-226-76747-7 , číst online ) , s. 74–76.
externí odkazy
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">