Metrické vlastnosti úseček a rovin
V euklidovské geometrie , to znamená, že v rovině a v prostoru opatřeného vzdálenosti a skalární součin , že vedení a roviny mají metrické vlastnosti umožňující charakterizovat jim díky bodem a vektorem , přičemž normální . Můžeme také vypočítat vzdálenost, která je odděluje od daného bodu, nebo vypočítat vzdálenost, která odděluje dvě čáry nebo dvě roviny. Můžeme také vypočítat úhel tvořený dvěma přímkami nebo dvěma rovinami.
V tomto článku jsme rovině nebo prostoru poskytli ortonormální souřadný systém, ve kterém jsou vyjádřeny všechny souřadnice. Libovolná přímka roviny y má rovnici typu ux + vy + h = 0, kde ( u , v ) se liší od (0, 0) a libovolná rovina prostoru má rovnici ve tvaru ux + vy + wz + h = 0, kde ( u , v , w ) se liší od (0, 0, 0).
Čára v euklidovské rovině
Přímka, sklon a směr vektor
Pokud přímka ( D ) rovnice ux + vy + h = 0 není rovnoběžná s osou y , takže pokud v není nula, má rovnici ve tvaru
y=naX+b{\ displaystyle y = sekera + b}s
na=-uproti,b=-hproti{\ displaystyle a = - {\ frac {u} {v}}, \, b = - {\ frac {h} {v}}}Sklon přímky je skutečný a .
Pokud budeme nazývat α je úhel mezi x- ose a vedení ( D ), α lze odvodit:
na=opálení(α)⇔α=arktan(na).{\ displaystyle a = \ tan (\ alpha) \ Leftrightarrow \ alpha = \ arctan (a).}Vektor je směrovým vektorem ( D ), Vektor je dalším směrovým vektorem.
d→(-proti,u){\ displaystyle {\ vec {d}} (- v, u)}d→′(1,na){\ displaystyle {\ vec {d}} '(1, a)}
Vektor kolmý na čáru
Dovolit být bod na přímce ( D ), jehož rovnice v ortonormálním souřadném systému je dána vztahem:
M(X,y){\ displaystyle M (x, y)}
(1)uX+protiy+h=0{\ displaystyle (1) \ qquad ux + vy + h = 0}
a konkrétní bod ( D ), máme:
M0(X0,y0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0})}
(2)uX0+protiy0+h=0{\ displaystyle (2) \ qquad ux_ {0} + vy_ {0} + h = 0}
Odečtením (2) od (1) získáme:
u(X-X0)+proti(y-y0)=0{\ displaystyle u (x-x_ {0}) + v (y-y_ {0}) = 0}
Když si všimneme vektoru souřadnic ( u , v ) , vyjádříme (1) takto:
NE→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}
NE→⋅M0M→=0{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} \ cdot {\ overrightarrow {M_ {0} M}} = 0}
Řádek rovnice ux + vy + h = 0 je tedy kolmý na vektor . Vektor se nazývá pravý normální vektor ( D ).
NE→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}NE→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}
Pokud přímka ( D ) není rovnoběžná s osou y , může být dána rovnicí typu:
y=naX+b{\ displaystyle y = sekera + b}Vektor je vektor kolmý k ( D ).
NE→(-na,1){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} (- a, 1)}
Přímka procházející bodem a kolmá k danému nenulovému vektoru
Dovolit být bod a nenulový vektor . Bod M patří přímce ( D ), která prochází a je kolmá k ní , právě když:
M(X,y){\ displaystyle M (x, y)}NE→(u,proti){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} (u, v)}M0(X0,y0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0})}NE→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}
NE→⋅M0M→=0{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} \ cdot {\ overrightarrow {M_ {0} M}} = 0}
Přímka D , která prochází a je kolmá na , má tedy následující rovnici:
M0(X0,y0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0})}NE→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}
u(X-X0)+proti(y-y0)=0{\ displaystyle u (x-x_ {0}) + v (y-y_ {0}) = 0 \,}
Algebraická vzdálenost od bodu k přímce
Nechť H je bod vystupují z na D , který je tedy taková, že je kolmá k ( D ).
M(X,y){\ displaystyle M (x, y)}HM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {HM}}}
Přímka kolmá na D a procházející M orientovaná ve směru vektoru , ukazuje, že algebraická vzdálenost mezi M a ( D ) je dána vztahem:
NE→(u,proti){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} (u, v)}
dna(H,M)=uX+protiy+hu2+proti2{\ displaystyle d _ {\ mathrm {a}} (H, M) = {\ frac {ux + vy + h} {\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2}}}}}V nejvyšší hodnotě:
‖HM→‖=|uX+protiy+h|u2+proti2{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {HM}} \ | = {\ frac {| ux + vy + h |} {\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2}}}}}
Normální rovnice přímky
V souřadnicovém systému označme jednotkový vektor kolmý doprava ( D ), orientovaný od O do ( D ), hodnota φ pak představuje úhel . Také si všimneme vzdálenosti mezi počátkem O souřadného systému a přímkou D.
(Ó,i→,j→){\ displaystyle (\ mathrm {O}, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}NE→(cosφ,hříchφ){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} (\ cos \ varphi, \ sin \ varphi)}(i→,NE→){\ displaystyle ({\ vec {i}}, {\ vec {\ mathrm {N}}})}p{\ displaystyle p}
Rovnice (1) se píše:
Xcosφ+yhříchφ-p=0{\ displaystyle x \ cos \ varphi + y \ sin \ varphi -p = 0}
Úhly dvou čar
Nechť D a D 'jsou dvě řady rovnic
(D):uX+protiy+h=0{\ displaystyle (D): ux + vy + h = 0 \,}
(D′):u′X+proti′y+h′=0{\ displaystyle (D '): u'x + v'y + h' = 0 \,}
Úhel tvořený dvěma přímkami je znám podle jeho tečny:
opálení(D,D′)=opálení(NE→,NE′→)=uproti′-u′protiuu′+protiproti′{\ displaystyle \ tan (D, D ') = \ tan ({\ vec {\ mathrm {N}}}, {\ vec {\ mathrm {N}'}}) = {\ frac {uv'-u ' v} {uu '+ vv'}}}
Křižovatka dvou čar
Nechť přímky ( D 1 ) a ( D 2 ) jsou příslušné kartézské rovnice:
u1X+proti1y+h1=0,u2X+proti2y+h2=0{\ displaystyle u_ {1} x + v_ {1} y + h_ {1} = 0, \ quad u_ {2} x + v_ {2} y + h_ {2} = 0 \,}tak :
- pokud : řádky jsou zmatené;u2u1=proti2proti1=h2h1{\ displaystyle {\ frac {u_ {2}} {u_ {1}}} = {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} = {\ frac {h_ {2}} {h_ {1 }}}}
- pokud : řádky jsou striktně paralelní;u2u1=proti2proti1≠h2h1{\ displaystyle {\ frac {u_ {2}} {u_ {1}}} = {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} \ neq {\ frac {h_ {2}} {h_ { 1}}}}
- if : přímky jsou sečny a souřadnice průsečíku jsou řešením systému tvořeného (1) a (2).u2u1≠proti2proti1{\ displaystyle {\ frac {u_ {2}} {u_ {1}}} \ neq {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}}}
Nosník definovaný dvěma přímkami
Paprsek je množina přímek rovnice:
αD1+βD2=0{\ displaystyle \ alpha D_ {1} + \ beta D_ {2} = 0}Pózováním ;
λ=βα{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ beta} {\ alfa}}}
D1+λD2=0{\ displaystyle D_ {1} + \ lambda D_ {2} = 0}.
Pak máme tři případy:
- pokud D 1 a D 2 se protínají v jednom bodě, je paprsek je všechny přímkami procházejícími A .D1+λD2=0{\ displaystyle D_ {1} + \ lambda D_ {2} = 0}
- pokud jsou D 1 a D 2 přísně rovnoběžné, paprsek je sada přímek přesně rovnoběžných s D 1 .D1+λD2=0{\ displaystyle D_ {1} + \ lambda D_ {2} = 0}
Podmínky pro tři různé řádky, které mají být souběžné nebo paralelní
Řádky rovnic:
D1:u1X+proti1y+h1=0{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {1}: u_ {1} x + v_ {1} y + h_ {1} = 0 \,},
D2:u2X+proti2y+h2=0{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {2}: u_ {2} x + v_ {2} y + h_ {2} = 0 \,}, a
D3:u3X+proti3y+h3=0{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {3}: u_ {3} x + v_ {3} y + h_ {3} = 0 \,}jsou souběžné nebo paralelní, pokud:
|u1proti1h1u2proti2h2u3proti3h3|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} u_ {1} & v_ {1} & h_ {1} \\ u_ {2} & v_ {2} & h_ {2} \\ u_ {3} & v_ {3} & h_ {3} \ end {vmatrix}} = 0}
Přímka v euklidovském prostoru
Vzdálenost od bodu k libovolné přímce v prostoru
Případ, kdy je přímka definována průsečíkem dvou rovin
Ve vesmíru studujeme přímku definovanou průsečíkem dvou rovin rovnic:
(P1):u1X+proti1y+w1z+h1=0{\ displaystyle (P_ {1}): u_ {1} x + v_ {1} y + w_ {1} z + h_ {1} = 0 \,}
(P2):u2X+proti2y+w2z+h2=0{\ displaystyle (P_ {2}): u_ {2} x + v_ {2} y + w_ {2} z + h_ {2} = 0 \,}
Rovina ( Q ) kolmá na ( P 1 ) patří do svazku rovin .
P1+λP2=0{\ displaystyle P_ {1} + \ lambda P_ {2} = 0}
( Q ) bude kolmá na ( P 1 ) proλ=-(u12+proti12+w12)u1u2+proti1proti2+w1w2{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {- (u_ {1} ^ {2} + v_ {1} ^ {2} + w_ {1} ^ {2})} {u_ {1} u_ {2} + v_ {1} v_ {2} + w_ {1} w_ {2}}}}
Nechť H 1 , H Q a H jsou ortogonální projekce bodu M na ( P 1 ), ( Q ) a ( D ), z toho odvodíme .
MH2=MH12+MHQ2{\ displaystyle MH ^ {2} = MH_ {1} ^ {2} + MH_ {Q} ^ {2}}
MH 1 a MH Q budou vypočítány, jak je podrobně popsáno níže.
Případ, kdy je čára definována bodem a nenulovým vektorem směru
Vzdálenost MH je dána vztahem
MH=‖MM0→∧PROTI→‖‖PROTI→‖{\ displaystyle MH = {\ frac {\ | {\ overrightarrow {MM_ {0}}} \ klín {\ vec {\ mathrm {V}}} \ |} {\ | {\ vec {\ mathrm {V}} } \ |}}}
Čáry kolmé k rovině
Rovina definovaná rovnicí ux + vy + wz + h = 0 , čáry kolmé k rovině jsou všechny čáry, které mají směrový vektor . Přímka D procházející bodem a kolmá na a pro rovnice:
NE→(u,proti,w){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} (u, v, w)}M0(X0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}(P):uX+protiy+wz+h=0{\ displaystyle (P): ux + vy + wz + h = 0}
X-X0u=y-y0proti=z-z0w{\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {u}} = {\ frac {y-y_ {0}} {v}} = {\ frac {z-z_ {0}} {w}} }
v případě, že žádná ze skutečností, u , v , w , není nula.
Pokud je pouze jedna z reálných rovna nule, například u = 0, systém se stane:
X=X0y-y0proti=z-z0w{\ displaystyle x = x_ {0} \ qquad {\ frac {y-y_ {0}} {v}} = {\ frac {z-z_ {0}} {w}}}
Pokud jsou dvě reálné hodnoty nula, například u = v = 0, systém se stane:
X=X0y=y0{\ displaystyle x = x_ {0} \ qquad y = y_ {0}}
Vzdálenost mezi dvěma přímkami v prostoru
Nechť přímka ( D 0 ) procházející a směr je vektor a ( D 1 ) přímka procházející a směrM0(X0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}PROTI→0(na0,b0,vs.0){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {0} (a_ {0}, b_ {0}, c_ {0})}M1(X1,y1,z1){\ displaystyle M_ {1} (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}PROTI→1(na1,b1,vs.1){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1} (a_ {1}, b_ {1}, c_ {1})}
Pokud jsou vektory a jsou nezávislé, je objem zabudovaného tělesa roven | k |. Tato skutečná hodnota se vypočítá pomocí smíšeného produktu :
PROTI→0{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {0}}PROTI→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1}}M0M1→,PROTI→0,PROTI→1{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M_ {1}}}, {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {0}, {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1}}
k=(M0M1→,PROTI→0,PROTI→1){\ displaystyle k = ({\ overrightarrow {M_ {0} M_ {1}}}, {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {0}, {\ vec {\ mathrm {V}}} _ { 1})}Plocha základny tělesa je dána vztahem
‖Ž→‖{\ displaystyle \ | {\ vec {\ mathrm {W}}} \ |} jako
Ž→=PROTI→0∧PROTI→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {W}}} = {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {0} \ klín {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1}}
Vzdálenost mezi dvěma řádky se potom rovná d=|k|‖Ž→‖{\ displaystyle d = {\ frac {| k |} {\ | {\ vec {\ mathrm {W}}} \ |}}}
Jsou-li vektory kolineární, pak jsou dvě přímky rovnoběžné a vzdálenost, která je odděluje, odpovídá vzdálenosti, která odděluje bod M 1 od přímky D 0 .
Letadlo v euklidovském prostoru
Vektor kolmý k rovině
Dovolit být bodem roviny ( P ), jehož rovnice v ortonormálním souřadném systému je dána vztahem:
M(X,y,z){\ displaystyle M (x, y, z)}
(1bis)uX+protiy+wz+h=0{\ displaystyle (1 \ mathrm {bis}) ux + vy + wz + h = 0}
Za konkrétní bod P dostaneme:
M0(X0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}
(2bis)uX0+protiy0+wz0+h=0{\ displaystyle (2 \ mathrm {bis}) ux_ {0} + vy_ {0} + wz_ {0} + h = 0}
Odečtením (2bis) od (1bis) získáme:
u(X-X0)+proti(y-y0)+w(z-z0)=0{\ displaystyle u (x-x_ {0}) + v (y-y_ {0}) + w (z-z_ {0}) = 0}
Když si všimneme vektoru souřadnic ( u , v , w ), vyjádříme (1bis) takto:
NE→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}
NE→⋅M0M→=0{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} \ cdot {\ overrightarrow {M_ {0} M}} = 0}
Rovina P rovnice ux + vy + wz + h = 0 je tedy kolmá k vektoru a tento vektor se nazývá vektor kolmý k rovině P.
NE→(u,proti,w){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} (u, v, w)}
Pokud není koeficient w nula, pak rovina neobsahuje přímku rovnoběžnou s osou z a rovnici roviny lze zapsat:
z=naX+by+vs.{\ displaystyle z = ax + by + c}s = - u / w , b = - v / w a c = - h / w . Složkový vektor (- a , - b , 1) je vektor kolmý k rovině.
Rovina procházející bodem a kolmá k danému nenulovému vektoru
Dovolit být bod a nenulový vektor . Bod M patří rovině P, která prochází a je kolmá na , právě když:
M(X,y,z){\ displaystyle M (x, y, z)}NE→(u,proti,w){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} (u, v, w) \,}M0(X0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}NE→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}
NE→⋅M0M→=0{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} \ cdot {\ overrightarrow {M_ {0} M}} = 0}
Rovina P, která prochází a je kolmá na , má proto následující rovnici:
M0(X0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}NE→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}
u(X-X0)+proti(y-y0)+w(z-z0)=0{\ displaystyle u (x-x_ {0}) + v (y-y_ {0}) + w (z-z_ {0}) = 0 \,}
Algebraická vzdálenost z bodu do roviny
Nechť H je projekce na ( P ) s kolmým na ( P ).
M(X,y,z){\ displaystyle M (x, y, z)}HM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {HM}}}
Přímka kolmá na ( P ) a procházející M , orientovaná ve směru vektoru , ukazuje, že algebraická vzdálenost mezi M a ( P ) je dána vztahem:
NE→(u,proti,w){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} (u, v, w)}
dna(H,M)=uX+protiy+wz+hu2+proti2+w2{\ displaystyle d _ {\ mathrm {a}} (H, M) = {\ frac {ux + vy + wz + h} {\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2 }}}}}V nejvyšší hodnotě:
‖HM→‖=|uX+protiy+wz+h|u2+proti2+w2{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {HM}} \ | = {\ frac {| ux + vy + wz + h |} {\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2} }}}}Úhly dvou rovin
Nechť ( P ) a ( P ' ) jsou dva plány rovnic
(P):uX+protiy+wz+h=0{\ displaystyle (P): ux + vy + wz + h = 0 \,}
(P′):u′X+proti′y+w′z+h′=0.{\ displaystyle (P '): u'x + v'y + w'z + h' = 0.}
Geometrický úhel ( P , P ' ) se určí pomocí úhlu normálních vektorů(NE→,NE→′){\ displaystyle ({\ vec {\ mathrm {N}}}, {\ vec {\ mathrm {N}}} ')}
cos(P,P′)=|cos(NE→,NE→′)|=|NE→⋅NE→′|‖NE→‖‖NE→′‖=|uu′+protiproti′+ww′|u2+proti2+w2×u′2+proti′2+w′2{\ displaystyle \ cos (P, P ') = | \ cos ({\ vec {\ mathrm {N}}}, {\ vec {\ mathrm {N}}}') | = {\ frac {| {\ vec {\ mathrm {N}}} \ cdot {\ vec {\ mathrm {N}}} '|} {\ | {\ vec {\ mathrm {N}}} \ | \ | {\ vec {\ mathrm { N}}} '\ |}} = {\ frac {| uu' + vv '+ ww' |} {{\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2}}} \ krát {\ sqrt {u '^ {2} + v' ^ {2} + w '^ {2}}}}}}
hřích(P,P′)=|hřích(NE→,NE→′)|=‖NE→∧NE→′‖‖NE→‖‖NE→′‖=(protiw′-proti′w)2+(wu′-uw′)2+(uproti′-protiu′)2u2+proti2+w2×u′2+proti′2+w′2{\ displaystyle \ sin (P, P ') = | \ sin ({\ vec {\ mathrm {N}}}, {\ vec {\ mathrm {N}}}') | = {\ frac {\ | { \ vec {\ mathrm {N}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {N}}} '\ |} {\ | {\ vec {\ mathrm {N}}} \ | \ | {\ vec {\ mathrm {N}}} '\ |}} = {\ frac {\ sqrt {(vw'-v'w) ^ {2} + (wu'-uw') ^ {2} + (uv'-vu ' ) ^ {2}}} {{\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2}}} \ krát {\ sqrt {u '^ {2} + v' ^ {2} + w '^ {2}}}}}}
Z hlediska numerické aplikace je tvar s kosinem přesnější, když je úhel blízký π / 2 + k π , a tvar se sinusem je přesnější, když je úhel blízký 0 + k π .
Zvláštní případ: úhel největšího sklonu
Úhel největšího sklonu je největší úhel vytvořený mezi jakoukoli rovinou a vodorovnou rovinou. Obrazovým způsobem lze úhel největšího sklonu definovat jako úhel vytvořený mezi ( přímou ) trajektorií koule volně cirkulující v této nespecifikované rovině a vodorovnou rovinou.
Vzhledem k rovnici vodorovné roviny:
(P′):u′X+proti′y+h′=0{\ displaystyle (P '): u'x + v'y + h' = 0 \,}
Úhel největšího sklonu je dán vztahem:
cos(P,P′)=|cos(NE→,NE→′)|=|uu′+protiproti′|u2+proti2+w2×u′2+proti′2{\ displaystyle \ cos (P, P ') = | \ cos ({\ vec {\ mathrm {N}}}, {\ vec {\ mathrm {N}}}') | = {\ frac {| uu ' + vv '|} {{\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2}}} \ krát {\ sqrt {u' ^ {2} + v '^ {2}}} }}}
Kolmé roviny
Roviny ( P ) a ( P ' ) jsou kolmé, pokud jsou vektory normální a jsou kolmé, což znamená
NE→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}}}NE→′{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {N}}} '}
uu′+protiproti′+ww′=0.{\ displaystyle uu '+ vv' + ww '= 0.}
Křižovatka dvou rovin
Nechť ( P 1 ) a ( P 2 ) jsou roviny příslušných kartézských rovnic:
u1X+proti1y+w1z+h1=0{\ displaystyle u_ {1} x + v_ {1} y + w_ {1} z + h_ {1} = 0 \,}
u2X+proti2y+w2z+h2=0{\ displaystyle u_ {2} x + v_ {2} y + w_ {2} z + h_ {2} = 0 \,}
Tak :
- pokud : plány jsou zmatené;u2u1=proti2proti1=w2w1=h2h1{\ displaystyle {\ frac {u_ {2}} {u_ {1}}} = {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} = {\ frac {w_ {2}} {w_ {1 }}} = {\ frac {h_ {2}} {h_ {1}}}}
- pokud : letadla jsou striktně paralelní;u2u1=proti2proti1=w2w1≠h2h1{\ displaystyle {\ frac {u_ {2}} {u_ {1}}} = {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} = {\ frac {w_ {2}} {w_ {1 }}} \ neq {\ frac {h_ {2}} {h_ {1}}}}
Kromě předchozích případů se obě roviny protínají. Jejich společná linie má jako rovnici rovnice dvou rovin.
Balíček plánů
Balíček rovin definovaných rovinami P 1 a P 2 je množina rovin řešení rovnice:
αP1+βP2=0{\ displaystyle \ alpha P_ {1} + \ beta P_ {2} = 0}Pózováním ;
λ=βα{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ beta} {\ alfa}}}
P1+λP2=0{\ displaystyle P_ {1} + \ lambda P_ {2} = 0}(s podmínkou P 2 = 0 pak λ odpovídá nekonečnu).
- pokud se ( P 1 ) a ( P 2 ) protínají v přímce ( D) , paprsek je množina rovin procházejících ( D ).P1+λP2=0{\ displaystyle P_ {1} + \ lambda P_ {2} = 0}
- pokud jsou ( P 1 ) a ( P 2 ) striktně rovnoběžné, paprsek je sada rovin striktně rovnoběžných s ( P 1 ).P1+λP2=0{\ displaystyle P_ {1} + \ lambda P_ {2} = 0}
Podmínka, aby tři roviny měly společnou přímku nebo byly rovnoběžné
Nechť rovnice rovnice jsou:
(P1):u1X+proti1y+w1z+h1=0{\ displaystyle (P_ {1}): u_ {1} x + v_ {1} y + w_ {1} z + h_ {1} = 0}(P2):u2X+proti2y+w2z+h2=0{\ displaystyle (P_ {2}): u_ {2} x + v_ {2} y + w_ {2} z + h_ {2} = 0}(P3):u3X+proti3y+w3z+h3=0{\ displaystyle (P_ {3}): u_ {3} x + v_ {3} y + w_ {3} z + h_ {3} = 0}Pokud je α , β , γ ne nula taková, že:
αP1+βP2+yP3=0{\ displaystyle \ alpha P_ {1} + \ beta P_ {2} + \ gamma P_ {3} = 0}pro všechny x , y a z,
Tento vztah vyjadřuje, že ( P 1 ) a ( P 2 ) jsou základní roviny paprsku obsahujícího ( P 3 ).
Plán a determinantní rovnice
Rovina definovaná bodem a dvěma nekolineárními vektory
Dovolit být bod a dva vektory a ne kolineární. Bod M ( x , y , z ) patří rovině ( P ) procházející a směrů, a to pouze tehdy, když existují dvě reálné oblasti λ a μ takové, že . Tato rovnost vyjadřuje, že jsou koplanární.
M0(X0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}PROTI→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1}}PROTI→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {2}}M0(X0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}PROTI→1{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1}}PROTI→2{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {2}}M0M→=λPROTI→1+μPROTI→2{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M}} = \ lambda {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1} + \ mu {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {2} }M0M→,PROTI→1,PROTI→2{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M}}, {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1}, {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {2}}
Který dává tím, že představuje smíšený produkt těchto tří vektorů ve formě determinantu:
det(M0M→,PROTI→1(na1,b1,vs.1),PROTI→2(na2,b2,vs.2))=0{\ displaystyle \ det ({\ overrightarrow {M_ {0} M}}, {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1} (a_ {1}, b_ {1}, c_ {1}), {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {2} (a_ {2}, b_ {2}, c_ {2})) = 0}Jeho rovnice je:
|X-X0na1na2y-y0b1b2z-z0vs.1vs.2|=(b1vs.2-vs.1b2)(X-X0)+(vs.1na2-na1vs.2)(y-y0)+(na1b2-b1na2)(z-z0)=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {0} & a_ {1} & a_ {2} \\ y-y_ {0} & b_ {1} & b_ {2} \\ z-z_ {0 } & c_ {1} & c_ {2} \ end {vmatrix}} = (b_ {1} c_ {2} -c_ {1} b_ {2}) (x-x_ {0}) + (c_ {1 } a_ {2} - a_ {1} c_ {2}) (y-y_ {0}) + (a_ {1} b_ {2} -b_ {1} a_ {2}) (z-z_ {0} ) = 0}že můžeme psát ve formě uX+protiy+wz+h=0{\ displaystyle ux + vy + wz + h = 0}
Rovina definovaná dvěma body a vektorem
Dovolit být dva body a nekolineární vektor v .
M1(X1,y1,z1),M2(X2,y2,z2){\ displaystyle M_ {1} (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}), M_ {2} (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}PROTI→1(na,b,vs.){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1} (a, b, c)}M1M2→{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {1} M_ {2}}}}
Bod M patří rovině procházející a směru právě tehdy, pokud jsou tři vektory: koplanární, proto:
M1(X1,y1,z1),M2(X2,y2,z2){\ displaystyle M_ {1} (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}), M_ {2} (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}PROTI→1(na,b,vs.){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {1} (a, b, c)}M1M→,M1M2→,PROTI→{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {1} M}}, {\ overrightarrow {M_ {1} M_ {2}}}, {\ vec {\ mathrm {V}}}}
det(M1M→,M1M2→,PROTI→)=0{\ displaystyle \ det ({\ overrightarrow {M_ {1} M}}, {\ overrightarrow {M_ {1} M_ {2}}}, {\ vec {\ mathrm {V}}}) = 0}Jeho rovnice je:
|X-X1X2-X1nay-y1y2-y1bz-z1z2-z1vs.|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {1} & x_ {2} -x_ {1} & a \\ y-y_ {1} & y_ {2} -y_ {1} & b \\ z -z_ {1} & z_ {2} -z_ {1} & c \ end {vmatrix}} = 0}
Rovina definovaná třemi nezarovnanými body
Nechť jsou tři nevyrovnané body.
M1(X1,y1,z1),M2(X2,y2,z2),M3(X3,y3,z3){\ displaystyle M_ {1} (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}), M_ {2} (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}), M_ {3} ( x_ {3}, y_ {3}, z_ {3})}
Analogicky k výše uvedenému je rovnice roviny procházející těmito třemi body:
|X-X1X2-X1X3-X2y-y1y2-y1y3-y2z-z1z2-z1z3-z2|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {1} & x_ {2} -x_ {1} & x_ {3} -x_ {2} \\ y-y_ {1} & y_ {2} -y_ {1} & y_ {3} -y_ {2} \\ z-z_ {1} & z_ {2} -z_ {1} & z_ {3} -z_ {2} \ end {vmatrix}} = 0}
Související články
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">