Dynamický torzor

Dynamický torsor je matematický nástroj použit v mechanice těles při použití základního principu dynamiky .

Definice

Dovolme být referenčním rámcem R a tělesem S, pro které definujeme pole hustoty ρ. Vektor zrychlení lze definovat v kterémkoli bodě M tělesa . Z tohoto vektorového pole můžeme definovat dynamický moment vzhledem k danému bodu A, označený : Γ→(M){\ displaystyle {\ vec {\ Gamma}} (\ mathrm {M})}δ→NA(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R})}

δ→NA(S/R)=∫SNAM→∧Γ→(M,S/R)ρ(M)dPROTI{\ displaystyle {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = \ int _ {\ mathrm {S}} {{\ overrightarrow {\ mathrm {AM}} } \ wedge {\ vec {\ Gamma}} (\ mathrm {M}, \ mathrm {S / R}) \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV}}}

Vyjadřuje se v kg m 2  s −2 nebo v N m .

Často označujeme d m = ρ (M) dV hmotnost prvku nekonečně malého objemu dV kolem bodu M:

δ→NA(S/R)=∫SNAM→∧Γ→(M,S/R)dm{\ displaystyle {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = \ int _ {\ mathrm {S}} {{\ overrightarrow {\ mathrm {AM}} } \ wedge {\ vec {\ Gamma}} (\ mathrm {M}, \ mathrm {S / R}) \ mathrm {d} m}}

Lze definovat dynamický moment ve srovnání s každým bodem A tělesa. Dynamický moment tak tvoří vektorové pole. Toto pole je ekviprojektivní  : jedná se tedy o torzor , který se nazývá dynamický torzor.

Demonstrace

Jeden vynechá odkazy na plné S a na referenční snímek R, aby se odlehčily notace.

My máme

δ→B-δ→NA=∫(BM→-NAM→)∧Γ→(M)dm=∫BNA→∧Γ→(M)dm=BNA→∧∫Γ→(M)dm=BNA→∧NA→{\ displaystyle {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {B}} - {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {A}} = \ int ({\ overrightarrow {\ mathrm {BM}} } - {\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}}) \ wedge {\ vec {\ Gamma}} (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} m = \ int {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}} } \ wedge {\ vec {\ Gamma}} (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} m = {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}} \ wedge \ int {\ vec {\ Gamma}} (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} m = {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}} \ klín {\ vec {\ mathcal {A}}}}

nebo

NA→=∫Γ→(M)dm{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {A}}} = \ int {\ vec {\ Gamma}} (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} m}

je nezávislý na bodě.

Existuje výslednice, pole je tedy ekviprojektivní.

Je třeba poznamenat, že pokud jde o kinetický torzor, a na rozdíl od kinematického torzoru není nutné předpokládat, že těleso je nedeformovatelné.

Výsledný

Výsledek torzoru se nazývá množství zrychlení a zaznamená se . Je definován (viz ukázka výše): NA→(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {A}}} (\ mathrm {S / R})}

NA→(S/R)=∫SΓ→(M,S/R)ρ(M)dPROTI=∫SΓ→(M,S/R)dm{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {A}}} (\ mathrm {S / R}) = \ int _ {\ mathrm {S}} {{\ vec {\ Gamma}} (\ mathrm {M}, \ mathrm {S / R}) \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV}} = \ int _ {\ mathrm {S}} {{\ vec {\ Gamma}} (\ mathrm {M}, \ mathrm {S / R}) \ mathrm {d} m}}

Je vyjádřena v kg m s -2 nebo N . Všimněte si, že

NA→(S/R)=mΓ→(G/R){\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {A}}} (\ mathrm {S / R}) = m {\ vec {\ Gamma}} (\ mathrm {G / R})}

kde G označuje centrum setrvačnosti a m celkovou hmotnost pevného S.

Redukční prvky

Stejně jako všechny torzory může být dynamický torzor reprezentován redukčními prvky v bodě, to znamená daty výsledného vektoru a hodnotou dynamického momentu v konkrétním bodě A. Pak si všimneme

D(S/R)NA={NA→(S/R)δ→NA(S/R)}NA/R{\ displaystyle {{\ mathcal {D}} (\ mathrm {S / R})} _ {\ mathrm {A}} = {\ begin {Bmatrix} {\ vec {\ mathcal {A}}} (\ mathrm {S / R}) \\ {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) \ end {Bmatrix}} _ {\ mathrm {A / R}}}

Vztah s kinetickým torzem

Dynamický moment lze odvodit z momentu hybnosti pomocí

δ→NA(S/R)=ddt[σ→NA(S/R)]+m⋅PROTI→NA/R∧PROTI→G(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ vlevo [{\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) \ right] + m \ cdot {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {\ mathrm {A / R}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {\ mathrm {G}} (\ mathrm {S / R})}

Speciální případy

V případě tělesa pouze v překladu máme

D(S/R)G={mna→G/R0→}G/R{\ displaystyle {{\ mathcal {D}} (\ mathrm {S / R})} _ {\ mathrm {G}} = {\ begin {Bmatrix} m {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G / R}} \\ {\ vec {0}} \ end {Bmatrix}} _ {\ mathrm {G / R}}}

V případě tělesa pouze v rotaci kolem jeho osy symetrie:  těžiště je na ose rotace a máme z→{\ displaystyle {\ vec {z}}}

D(S/R)G={0→Jáθ¨z→}G/R{\ displaystyle {{\ mathcal {D}} (\ mathrm {S / R})} _ {\ mathrm {G}} = {\ begin {Bmatrix} {\ vec {0}} \\\ mathrm {I} {\ ddot {\ theta}} {\ vec {z}} \ end {Bmatrix}} _ {\ mathrm {G / R}}}

kde I je moment setrvačnosti S vyjádřený v kg⋅m 2 a je úhlové zrychlení v rad⋅s −2 . θ¨{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}}}

Pokud je rychlost A nulová nebo kolineární s rychlostí středu setrvačnosti tělesa, odvozuje se dynamický torzor přímo z kinetického torzoru , a to:

D(S/R)NA=ddt[VS(S/R)NA]{\ displaystyle {{\ mathcal {D}} (\ mathrm {S / R})} _ {\ mathrm {A}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left [{{\ mathcal {C}} (\ mathrm {S / R})} _ {\ mathrm {A}} \ right]}

Bibliografie

• Michel Combarnous , Didier Desjardins a Christophe Bacon , Mechanika pevných látek a systémy pevných látek , Dunod , kol.  "Vyšší vědy",2004, 3 e  ed. ( ISBN  978-2-10-048501-7 ) , str.  99-103

Podívejte se také

• Torsor
• Statický torzor
• Kinematický torzor
• Kinetický torzor

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">