Akustická rezonance

Akustické rezonance je tendence systémového zvuku absorbovat více energie, když je frekvence jejích kmitů dosáhne své vlastní frekvenci vibrací (frekvence rezonance ), takže víc než to dělá na jiných frekvencích.

Rezonanční objekt bude mít pravděpodobně více než jednu rezonanční frekvenci, zejména při harmonických nejsilnějších rezonancích. Bude vibrovat snadno na těchto frekvencích a méně silně na jiných frekvencích. „Vybírá“ svou rezonanční frekvenci ze složitého buzení, jako je buzení pulzem nebo širokopásmovým šumem. Ve skutečnosti filtruje všechny frekvence kromě své rezonance.

Akustická rezonance je důležitým faktorem pro výrobce hudebních nástrojů , protože většina akustických nástrojů využívá rezonátory, jako jsou struny a tělo houslí , délka trubice flétny a tvar bubnové membrány .

Rezonance řetězce

Struny pod napětím, stejně jako v nástrojích, jako jsou loutny , harfy , kytary , klavíry , housle a tak dále, mají rezonanční frekvence přímo související s hmotou, délkou a napětím struny. Vlnová délka, která vytvoří první rezonanci na řetězci, je dvojnásobkem délky řetězce. Vyšší rezonance odpovídají vlnovým délkám, které jsou celkovým počtem dělení základní vlnové délky. Odpovídající frekvence souvisejí s rychlostí v vlny pohybující se po akordu rovnicí:

{\ displaystyle f = {nv \ nad 2L}}

kde L je délka lana (pro lano upevněné na koncích) a „n“ = 1, 2, 3… Rychlost vlny v laně nebo drátu souvisí s jeho napětím „T“ a hmotností na jednotka délky ρ:

{\ displaystyle v = {\ sqrt {T \ over \ rho}}}

Frekvence tedy souvisí s vlastnostmi řetězce podle rovnice:

{\ displaystyle f = {n {\ sqrt {T \ nad \ rho}} \ nad 2L} = {n {\ sqrt {T \ nad m / L}} \ nad 2L}}

kde „T“ je napětí, ρ je hmotnost na jednotku délky a „m“ je celková hmotnost.

Vyšší napětí a kratší délky zvyšují rezonanční frekvence. Když je struna vzrušena impulsní funkcí (sevření prstů nebo úder kladivem), struna vibruje na všech frekvencích přítomných v pulzu (impulsní funkce teoreticky obsahuje „všechny“ frekvence). Tyto frekvence, které nejsou jednou z rezonancí, jsou rychle filtrovány a utlumeny, takže zůstávají pouze harmonické vibrace, které slyšíme jako hudební nota.

Rezonance vzduchové trubice

Rezonance vzduchové trubice souvisí s délkou trubice, jejím tvarem a zda má uzavřené nebo otevřené konce. Hudebně užitečné tvary trubek jsou kuželovité a válcovité (viz Perce ). Potrubí, které je na jednom konci uzavřeno, se nazývá „zastaveno“, zatímco potrubí „otevřené“ je otevřené na obou koncích. Moderní orchestrální flétny se chovají jako otevřené válcové trubky; klarinety a dechové nástroje se chovají jako uzavřené válcové trubky; a saxofony , hoboje a fagoty jako uzavřené kuželové trubky. Vibrační sloupy vzduchu mají také rezonance na harmonických, jako jsou struny.

Válce

Podle konvence se tuhý válec, který je otevřený na obou koncích, nazývá „otevřený“ válec; zatímco tuhý válec, který je otevřený pouze na jednom konci a který má tuhý povrch na druhém konci, se označuje jako „uzavřený“ válec.

Rezonance otevřené-otevřené trubice

Otevřené válcové trubice rezonují přibližně při frekvencích

{\ displaystyle f = {nv \ nad 2L}}

kde „n“ je celé číslo (1, 2, 3…) představující rezonanční režim, „L“ je délka trubice a „V“ je rychlost zvuku ve vzduchu (která je přibližně 344 metrů za sekundu při 20 ° C a na úrovni hladiny moře).

Přesnější rovnice s ohledem na délkovou korekci je uvedena níže:

{\ displaystyle f = {nv \ nad 2 (L + 0,8d)}}

kde d je průměr rezonanční trubice. Tato rovnice kompenzuje skutečnost, že přesný bod, ve kterém se zvuková vlna odráží od otevřeného konce, není dokonale v koncové části trubice, ale v malé vzdálenosti od trubice.

Poměr odrazu je o něco menší než 1; otevřený konec se nechová jako nulová akustická impedance ; na druhou stranu má konečnou hodnotu, nazývanou radiační impedance, která závisí na průměru trubice, vlnové délce a typu pravděpodobného odrazu kolem otvoru trubice.

Rezonance uzavřené otevřené trubice

Uzavřený válec bude mít rezonance přibližně

{\ displaystyle f = {(2n-1) v \ nad 4L}}

S n přirozené číslo. Tento typ elektronky má svou základní frekvenci o jednu oktávu nižší než u otevřeného válce (tj. Poloviční frekvenci) a může produkovat pouze liché harmonické, „f“, „3f“, „5f“ ... vzhledem k otevřená trubice.

Oprava zohledňující průměr kužele by byla

${\ displaystyle f = {(2n-1) v \ nad 4 (L + 0,4d)}}$

s "n" přirozeným číslem.

Šišky

Otevřená kónická trubice, tj. Ve formě komolého kužele s otevřenými oběma konci, bude mít rezonanční frekvence přibližně stejné jako frekvence otevřené válcové trubice stejné délky.

Rezonanční frekvence zastavené kuželové trubice - kužel nebo celý kmen se zavřeným koncem - splňují složitější podmínku:

{\ displaystyle kL = n \ pi - \ tan ^ {- 1} (kx}

)

kde je vlnová délka „k“

{\ displaystyle k = 2 \ pi f / v}

a „x“ je vzdálenost od malého konce kufru k vrcholu. Když je „x“ malé, tj. Když je kužel téměř kompletní, stane se to

{\ displaystyle k (L + x) \ přibližně n \ pi}

což dává rezonanční frekvence přibližně stejné jako u otevřeného válce, jehož délka se rovná "L" + "X". Jinými slovy, plná kónická trubice se chová přibližně jako otevřená válcová trubka stejné délky a toto chování se nemění, pokud je plný kužel nahrazen uzavřeným komolým kuželem.

Obdélníkový box nebo místnost

Pro obdélníkový rámeček jsou rezonanční frekvence dány vztahem:

{\ displaystyle f_ {l, m, n} = {v \ nad 2} {\ sqrt {\ vlevo ({\ ell \ nad L_ {x}} \ vpravo) ^ {2} + \ vlevo ({m \ nad L_ {y}} \ vpravo) ^ {2} + \ vlevo ({n \ nad L_ {z}} \ vpravo) ^ {2}}}}

kde je rychlost zvuku, L x , L y a L Z jsou rozměry krabice, a , a nejsou-negativní celá čísla. Všimněte si však, že , a nemohou všechny rovnat nule. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ upsilon}$ $\ Ell$ $ne$ $m$ $\ Ell$ $ne$ $m$

Demonstrace

Abychom předpověděli frekvence, které budou zesíleny odrazy na stěnách, studujeme dvě vlny stejné amplitudy šířící se v opačném směru a hledáme všechny frekvence, pro které se na stěnách tvoří tlaky.

${\ displaystyle {\ underline {p_ {1}}} ({\ vec {r}}, t) = P. {\ sqrt {2}}. \ mathrm {e} ^ {j (\ omega .t- { \ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}})} = P. {\ sqrt {2}}. \ mathrm {e} ^ {j (\ omega .t-k_ {x} .x-k_ {y} .y-k_ {z} .z)}}$

${\ displaystyle {\ underline {p_ {2}}} ({\ vec {r}}, t) = P. {\ sqrt {2}}. \ mathrm {e} ^ {j (\ omega .t + { \ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}})} = P. {\ sqrt {2}}. \ mathrm {e} ^ {j (\ omega .t + k_ {x} .x + k_ {y} .y + k_ {z} .z)}}$

Můžeme vyjádřit tlak vyplývající ze superpozice dvou vln.

${\ displaystyle {\ underline {p}} ({\ vec {r}}, t) = {\ underline {p_ {1}}} ({\ vec {r}}, t) + {\ underline {p_ { 2}}} ({\ vec {r}}, t)}$

${\ displaystyle {\ underline {p}} ({\ vec {r}}, t) = P. {\ sqrt {2}}. \ mathrm {e} ^ {j. \ omega .t}. \ left ( \ mathrm {e} ^ {j.k_ {x} .x} + \ mathrm {e} ^ {- j.k_ {x} .x} \ vpravo). \ left (\ mathrm {e} ^ {j. k_ {y} .y} + \ mathrm {e} ^ {- j.k_ {y} .y} \ vpravo). \ left (\ mathrm {e} ^ {j.k_ {z} .z} + \ mathrm {e} ^ {- j.k_ {z} .z} \ vpravo)}$

Podle Eulerových vzorců . ${\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ theta} + {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} \ theta}} {2}}}$

${\ displaystyle {\ underline {p}} ({\ vec {r}}, t) = 2. P. {\ sqrt {2}}. \ mathrm {e} ^ {j. \ omega .t}. \ cos (k_ {x} .x). \ cos (k_ {y} .y). \ cos (k_ {z} .z)}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} p ({\ vec {r}}, t) & = \ mathrm {Re} \ left [{\ underline {p}} ({\ vec {r}}, t) \ vpravo] \\\ & = 2. P. {\ sqrt {2}}. \ cos (\ omega .t). \ cos (k_ {x} .x). \ cos (k_ {y} .y). \ cos (k_ {z} .z) \ end {zarovnáno}}}$

Aby došlo k rezonanci, musí být na stěnách pozorováno tlakové břicho; rozměry místnosti (délka , šířka , výška ) musí respektovat: $L_x$ ${\ displaystyle L_ {y}}$ $L_z$

${\ displaystyle k_ {x} .L_ {x} = \ ell. \ pi \; \ \ ell \ in \ mathbb {N}}$ ,
${\ displaystyle k_ {y} .L_ {y} = m. \ pi \; \ m \ v \ mathbb {N}}$ ,
${\ displaystyle k_ {z} .L_ {z} = n. \ pi \; \ n \ v \ mathbb {N}}$ .

${\ displaystyle k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} = {\ sqrt {k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2}} } = {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ ell. \ pi} {L_ {x}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {m. \ pi} {L_ {y }}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {n. \ pi} {L_ {z}}} \ right) ^ {2}}}}$

Takto získáme přirozené frekvence skříně nebo místnosti, frekvence, pro které sledujeme vznik stojatých vln:

${\ displaystyle f_ {l, m, n} = {\ frac {v} {\ lambda}} = {\ frac {vk} {2 \ pi}} = {\ frac {v} {2}} {\ sqrt {\ left ({\ frac {l} {L_ {x}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {m} {L_ {y}}} \ right) ^ {2} + \ vlevo ({\ frac {n} {L_ {z}}} \ vpravo) ^ {2}}}}$ .

Rezonance a hudební skladby

Skladatelé začali dělat rezonanci předmětem určitých skladeb. Alvin Lucier použil nástroje a generátory akustických sinusových vln k prozkoumání rezonance velkých i malých objektů v mnoha svých kompozicích. Komplex inharmonicités crescendo a decrescendo djembe a dalších bicích nástrojů interaguje s rezonancemi ostatních místností v Koan of James Tenney . Přestože Pauline Oliveros a Stuart Dempster nikdy nepsali notu pro perkuse, pravidelně vystupují ve velkých doznívajících prostorách, jako je například nádrž Fort Warden Reservoir s osmi miliony galonů, která má reverb se 45sekundovým rozpadem.

Zdroje

Překlad anglického článku na Wikipedii.

Reference

Albert Lavignac (1846-1916). Hudba a hudebníci . Paříž, Librairie Delagrave, 1938.
Jacques Jouhaneau, Elementary Notions of Acoustics, 2. vydání, 5.1 a 5.2, CNAM, TEC & DOC, 2000
Nederveen, Cornelis Johannes, Akustické aspekty dechových nástrojů . Amsterdam, Frits Knuf, 1969.
Rossing, Thomas D. a Fletcher, Neville H., Principles of Vibration and Sound . New York, Springer-Verlag, 1995.

Podívejte se také