Schéma náhradních axiómech nebo schématu substitučních axiomů , je schéma z axiómů z teorie množin zaveden v roce 1922 nezávisle Abraham Fraenkel a Thoralf Skolem . Zajišťuje existenci množin, které nemohly být získány v teorii množin Ernsta Zermela , a nabízí tak axiomatický rámec věrnější teorii množin Georga Cantora . Přidáním schématu náhradního axiomu k Zermelově teorii získáme Zermelo-Fraenkelovu teorii označovanou ZFC nebo ZF v závislosti na tom, zda rozumíme axiomu volby . Stručně řečeno, často říkáme náhradní schéma nebo substituční schéma .
Toto schéma rozšiřuje schéma axiomů pro porozumění Zermelově teorii. Jeho užitečnost nepřijde okamžitě do hry. To umožňuje, mimo jiné, aby se „dost“ ordinals , například na definici „sekvence“ ve Cantorův alephs , A sekvence - indexovány ordinals - sestav, které jsou samy řadové a které představují . Kardinály v přítomnosti axiom volby.
Neformálně náhradní schéma uvádí, že vzhledem k množině tvoří obrazy jejích prvků funkčním vztahem množinu.
Řekněme to, může to znít jednodušeji, než ve skutečnosti je. Je třeba upřesnit, co se rozumí „funkčním vztahem“. Je to „dílčí funkce“ (v intuitivním smyslu, nikoli v teoretickém), nad třídou všech množin, která je definována vzorcem v jazyce teorie. Celý zájem o axiom spočívá v případech, kdy tento funkční vztah neodpovídá funkci teorie studovaných množin, kterou je pak třeba definovat jako množinu (v podstatě množinu dvojic ). Jinými slovy, můžeme mluvit o funkční třídě . Konkrétní případy, kdy funkční třída není správnou třídou, lze odvodit z axiomů Zermelovy teorie (viz Pár (matematika) ).
Dalším způsobem, jak uvést náhradní schéma, ekvivalentní za přítomnosti schématu porozumění , je navíc říci, že omezení funkční třídy na množinu definuje funkci (což může být částečná funkce na dotyčné množině).
Axiom je psán v jazyce teorie množin následovně. Za prvé, vzhledem k predikátu se dvěma argumenty, tj. Vzorec F se dvěma volnými proměnnými x a y plus libovolné parametry a 1 ... a p , musíme napsat, že vztah mezi x a y popsaný tímto vzorcem je funkční ( a 1 ... a p se opravuje):
∀ x ∀ y ∀ y ' [(F x y má 1 … a p a F x y' má 1 … a p ) ⇒ y = y ' ].Můžeme tedy formálně napsat schéma axiomu následovně (použití velkých písmen pro A a B , které nemá žádný konkrétní význam - v teorii množin existují pouze množiny - je užitečné pouze pro čitelnost):
∀ a 1 ... a p {∀ x ∀ y ∀ y ' [(F x y má 1 ... a p a F x y' a 1 ... a p ) ⇒ y = y ' ] ⇒ ∀ A ∃ B ∀ y [ y ∈ B ⇔ ∃ x ( x ∈ A a F x y má 1 … a p )]}to pro jakýkoli vzorec F, který nemá jiné volné proměnné než x , y , a 1 ,…, a p .
Pro každý predikát F existuje axiom : je to schéma axiomů. Vzorec F, parametry a 1 … a p a množina A jsou pevné, takto definovaná množina B je jedinečná axiomem extenzivity .
Varianta substitučního schématu, jak je uvedeno výše, je předpokládat, že kromě toho, že je funkční, je ve vesmíru definován vztah definovaný F (s výše uvedenými notacemi), proto přidáváme hypotézu
∀ a 1 … a p ∀ x ∃ y F x y a 1 … a p .V tomto případě můžeme použít označení y = ϕ ( x ) pro funkční třídu F x y (parametry bychom samozřejmě mohli přidat). Pokud A je množina, množina získaná nahrazením z funkčního vztahu F je pak označena {ϕ ( x ) | x ∈ A }.
Když f je funkce (ve smyslu množiny párů) definovaná na A , označíme také
{ f ( x ) | x ∈ A } = {y | ∃ x ∈ A y = f ( x )}(množina, jejíž existence je odůvodněna schématem porozumění).
Takto upravené schéma axiomu je zjevně důsledkem původního schématu. Naopak, jakmile máme funkční vztah definovaný alespoň v jednom prvku a z A a jehož obraz budeme tímto vztahem nazývat b , doplníme vztah F přidružením b, kdekoli F není definován. Původní schéma axiomu jsme tedy odvodili z jeho upravené podoby, s výjimkou případu, kdy je funkční vztah omezený na A prázdný. Tento případ je užitečný pouze pro definování prázdné sady. A tak je nutné uvést axiom prázdného množiny, aby se z upravené podoby odvodila původní forma, zejména aby se odvodila schéma axiomů porozumění v celé své obecnosti.
Schéma náhradního axiomu je užitečné například pro definice indukcí v dobrém pořadí . V Zermelově teorii množin, tj. Při absenci náhradního schématu, tedy nemůžeme dokázat, že jakákoli dobře uspořádaná množina je izomorfní s von Neumannovým ordinálem .
Ale schéma nahrazení je „k ničemu“, pokud je funkční vztah ve hře množina párů , to znamená, pokud se jedná o funkci ve smyslu teorie množin. V tomto případě je schéma srozumitelných axiomů , které je snáze srozumitelné a použitelné, v zásadě dostatečné ( k vytvoření dvojic je zapotřebí dvojice axiomů - viz článek Pár ).
Kromě toho je schéma axiomů porozumění je důsledkem - dalo by se dokonce říci, zvláštní případ - režimu náhradního. Podobně je axiom dvojice odvozen z náhradního schématu v přítomnosti axiomu množiny částí (viz každý z těchto článků).
Schéma axiomu kolekce je formou náhradního schématu, kde je odstraněna podmínka funkčnosti relace. Uvádí, že vzhledem k tomu, nastavenou A a vztah definovaný vzorcem (označený F níže), pak existuje sada C, tak, že každý prvek A má obraz vztahem je v C .
∀ a 1 … a p ∀ A ∃ C ∀ x ∈ A (∃ y F x y a 1 … a p ⇒ ∃ y ∈ C F x y a 1 … a p )Výsledkem tohoto schématu axiomu je schéma náhradního axiomu, používající chápající schéma axiomu. Ve skutečnosti, v případě, že poměr je definován vzorcem F je funkční, všechny nalezené poznamenat, B výše definovaný jako podmnožina prvků C ve vztahu k prvku A .
Schéma sběru je demonstrováno z náhradního schématu a dalších axiomů ZF za přítomnosti základního axiomu . V tomto případě je možné definovat pořadovou hodnost množiny (viz článek Axiom nadace ). Vzhledem k tomu, že je dán vzorec F, můžeme napsat nový vzorec, který k prvku A přidruží sadu prvků s minimální hodností ve vztahu k F s tímto prvkem. To definuje funkční vztah, a proto můžeme použít náhradní schéma. Aplikováním axiomu shledání na získanou množinu získáme množinu C, která splňuje schéma sběru pro A a F.