V matematice je funkce sigmoidu (nazývaná také S-křivka ) definována:
pro všechny skutečnéale zobecníme to na jakoukoli funkci, jejíž výraz je:
To představuje distribuční funkci tohoto logistického zákonem . Často se používá v neuronových sítích, protože je diferencovatelný , což je omezení pro algoritmus backpropagation Werbos. Forma derivace její inverzní funkce je extrémně jednoduchá a snadno se vypočítá, což zlepšuje výkonnost algoritmů.
Sigmoidní křivka generuje rafinovací transformací část logistických křivek a je tedy privilegovaným zástupcem.
Sigmoidní křivka má pro asymptoty linie rovnice y = 0 a y = 1 . Jeho středem symetrie je bod I se souřadnicí (0; 1/2), který je také inflexním bodem, protože v tomto bodě je druhá derivace nulová.
Pro křivku sigmoidu s parametrem λ je derivace v inflexním bodě λ / 4 . Tato vlastnost umožňuje snadno parametrizovat sigmoid sledováním sklonu v inflexním bodě (rovna derivaci).
Vlastnosti sigmoidní funkce lze vysvětlit vlastnostmi její derivace . Ve skutečnosti se to rovná
,které se mohou proměnit
kde y se pohybuje od 0 do 1.
Tato diferenciální rovnice znamená, že variace y jako funkce x (často času , navíc ve fyzice , chemii nebo marketingu ) je úměrná jak pokroku y z 0, tak dráze, kterou zbývá projít, abychom dospěli k 1, proporcionalitě byl přidělen koeficient λ .
Tato diferenciální rovnice je zvláštním případem modelu Verhulst a má logistické funkce pro další řešení .
Druhá derivace má také některé vlastnosti: lze ji transformovat
.který ověřuje, že inflexní bod je střed y = 1 / 2 . Ostatní inflexní body se nacházejí na koncích křivky ( y = 0 a y = 1 ), jsou to spíše asymptotické body nekonečného poloměru.
Sigmoidní funkci lze vyjádřit pomocí hyperbolické tangensové funkce , jejíž reprezentativní křivka má také tvar S, ale jejíž asymptoty mají rovnice y = -1 a y = 1 . Vskutku,
proto
.V kontextu modelování, obvykle pro modelování biologických systémů, se jako sigmoidy používají následující dvě funkce:
Tuhost těchto funkcí nazývaných také „Hill sigmoid“ je popsána parametrem n a inflexní bod je považován za θ . Matematicky však tyto funkce nejsou sigmoidní a inflexní bod není v θ , ale v .