Inverzní funkce

{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {x}}}

Hodnocení	${\ displaystyle {\ frac {1} {x}}}$
Reciproční	${\ displaystyle {\ frac {1} {x}}}$
Derivát	${\ displaystyle - {\ frac {1} {x ^ {2}}}}$
Primitiv	${\ displaystyle \ ln \ zelená x \ zelená + C}$

Hlavní charakteristiky

Sada definic	$\ mathbb {R} ^ {*}$
Sada obrázků	$\ mathbb {R} ^ {*}$
Parita	zvláštní

Speciální hodnoty

Limit v + ∞	0
Limit v −∞	0

Zvláštnosti

Asymptoty	$x = 0$ $y = 0$
Pevné body	-1; 1

V matematiky je inverzní funkce je funkce , která spojuje jeho inverzní , označil jakoukoliv nenulovou reálné . Je třeba poznamenat následující: $X$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {x}}}$

{\ displaystyle f: {\ begin {cases} \ mathbb {R} ^ {*} \ to \ mathbb {R} ^ {*} \\ x \ mapsto f (x) = \ displaystyle {\ dfrac {1} { x}}. \ end {cases}}}

Variace

Tato funkce je striktně klesající na intervalu $] -\infty, 0 [$ o skutečné striktně záporný a striktně klesající na intervalu $] 0, + \infty [$ pozitivní real, s 0 jako „zakázané hodnota“ (pól). Ale na ℝ * to přísně neklesá, protože pokud a <0 < b , ponecháme nerovnost 1 / a <0 <1 / b .

Inverzní funkce se navzájem nezruší a nepřipouští maximum nebo minimum na ℝ *, ani na $] -\infty, 0 [$ nebo na $] 0, + \infty [$ .

Jeho limit je 0 v $+ \infty$ a v $-\infty$ . Tato funkce tak umožňuje modelovat určitý počet chování, která se snižují, ale která představují „ spodní hranici “ (funkce nemají sklon k $-\infty$ ), jako je gravitace a elektrostatická síla, které jsou v 1 / r 2 .

V 0, její omezení na levé straně je $-\infty$ a na pravé straně, $+ \infty$ .

Grafické znázornění

Grafické znázornění z inverzní funkce je hyperbola .

Rovnice hyperbola připouští dvě asymptoty : horizontální (osa x, s rovnicí y = 0) a vertikální (osa y, s rovnicí x = 0). Tyto dvě asymptoty jsou (v ortonormálním souřadnicovém systému ) kolmé , hyperbola je považována za rovnostrannou (její výstřednost stojí za to ). ${\ displaystyle y = {\ frac {1} {x}}}$ $\ sqrt2$

Na druhé straně si všimneme, že středem symetrie této hyperboly je bod (0, 0), který překládá skutečnost, že inverzní funkce je lichá funkce .

Nakonec si všimneme, že tato hyperbola (H) má osu symetrie : přímku rovnice y = x . Bod ( x , y ) skutečně patří (H) právě tehdy, když bod ( y , x ) patří (H) ( y = 1 / x je ekvivalentní x = 1 / y ). Tato vlastnost umožňuje grafiku si uvědomit, že inverzní funkce je involuce , to znamená, že si bijection , který je jeho vlastní reciproční : . Nebo opět, pro jakékoli nenulové reálné x je inverzní hodnota inverzní funkce x rovna x . ${\ displaystyle f \ circ f = \ mathrm {id} _ {\ mathbb {R} ^ {*}}}$

Derivace inverzní funkce

Derivát inverzní funkce je funkce definována: $f '$

{\ displaystyle f ': {\ begin {cases} \ mathbb {R} ^ {*} \ to \ mathbb {R} ^ {*} \\ x \ mapsto f' (x) = \ displaystyle - {\ dfrac { 1} {x ^ {2}}}. \ End {cases}}}

Demonstrace

Nechť je libovolný nenulový reálný. Pro všechny skutečné takové máme: $X$ $h$ ${\ displaystyle 0 <| h | <| x |}$

{\ displaystyle {\ dfrac {f (x + h) -f (x)} {h}} = {\ frac {1} {h}} \ vlevo ({\ dfrac {1} {x + h}} - {\ dfrac {1} {x}} \ right) = {\ frac {1} {h}} \ left ({\ dfrac {x- (x + h)} {x (x + h)}} \ right ) = {\ dfrac {-1} {x (x + h)}}}

Takže , to znamená: . ${\ displaystyle \ lim _ {h \ až 0} {\ dfrac {f (x + h) -f (x)} {h}} = {\ dfrac {-1} {x ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle f '(x) = - {\ dfrac {1} {x ^ {2}}}}$

Ilustrace :

Derivace bodu v úsečce 1 má proto sklon tečny ke křivce inverzní funkce v bodě souřadnic (1, 1) hodnotu –1. ${\ displaystyle y = {\ dfrac {1} {x}}}$ ${\ displaystyle - {\ dfrac {1} {1 ^ {2}}} = - 1}$

Inverzní funkce je konkávní v intervalu $] -\infty, 0 [$ a konvexní nad $] 0, + \infty [$ .

Primitiva inverzní funkce

Přirozený logaritmus, nebo přirozený logaritmus, zaznamenaný $ln$ , je definován v podrobném článku jako funkce $] 0, + \infty [$ v ℝ, jehož derivací je inverzní funkce a jehož hodnota na 1 je 0. Primitivy na $] 0, + \infty [$ inverzní funkce jsou tedy funkce tvaru $x \mapsto (ln x ) + C$ , kde C je libovolná reálná konstanta.

Abstraktní inverzní funkce

Obecně můžeme definovat inverzní funkci ve skupině pomocí $F$ $(G, \ krát)$

{\ displaystyle \ forall x \ in G \ quad f (x) = x ^ {- 1}.}

Reverz tedy umožňuje rozšířit na záporné celočíselné exponenty pojem síly čísla (nebo prvku skupiny) nastavením pro jakékoli kladné celé číslo n : x –n = ( x n ) -1 .

Podívejte se také