Frattini podskupina

Nechť G je skupina (v matematickém smyslu). Prvky G , které patří do jakékoli maximální podskupiny z G tvoří podskupinu z G , který nazýváme Frattini podskupina z G a který označíme cp ( G ). Pokud G připouští alespoň jednu maximální podskupinu, můžeme hovořit o průsečíku jejích maximálních podskupin a Φ ( G ) se rovná tomuto průsečíku. Pokud G nemá žádnou maximální podskupinu, Φ ( G ) se rovná G integer.

Nepotřebné prvky skupiny

Říkáme nadbytečný prvek (nebo měkký prvek ) jedné skupiny G jakýkoliv prvek z G , která má následující vlastnosti: všechna část X z G tak, že X ∪ { x } je součástí generování G je sama součástí generování G . X{\ displaystyle x}

Věta  -  Frattiniho podskupina Φ ( G ) G je množina nadbytečných prvků G

Demonstrace

• Nechť x je nadbytečný prvek G ; prokážme, že x patří do Φ ( G ). To je dokázat, že x patří do každé podskupiny maximálně G . Nechť M je maximální podskupina G ; To je dokázat, že x patří do M . Předpokládejme absurdní, x nepatří k M . Takže, protože M je maximální podskupina G , M ∪ { x } je generátor G . Vzhledem k tomu, x je zbytečný, to znamená, že M je generátor G , který je absurdní, protože podle definice maximálním podskupině M je vlastní podmnožina G . Získaný rozpor dokazuje, že jakýkoli nadbytečný prvek patří do podskupiny Frattini.
• K prokázání hovořit, předpokládejme, že x není nadbytečný prvek G a dokázat, že x není Frattini podskupina G . Jde o prokázání, že existuje maximální podskupina G, která nezahrnuje x . Vzhledem k tomu, x není nadbytečný v G , je součástí X z G , která nevytváří žádné G , a která je taková, že X ∪ { x } generuje G . Je jasné, že podskupina G generovaná X nezahrnuje x (jinak by tato podskupina obsahovala generující část X ∪ { x } a byla by tedy úplně G , jinými slovy X by byla generující část G ). Sada E podskupin G, která obsahuje X a nezahrnuje x, je tedy neprázdná. Na druhou stranu je jasné, že spojení množiny zcela uspořádané zahrnutím prvků E, to znamená podskupin G obsahujících X a bez x , je samo o sobě podskupinou G obsahující X a bez x . To ukazuje, že množina E, seřazená inkluzí, je indukční. Podle lemmatu Zorn , tato sada připouští maximální prvek, nebo M . Pojďme dokázat, že M je maximální podskupina G . Předpokládejme absurdní M není maximální podskupina G . Existuje tedy podskupina K z G taková, že M <K <G . Dokažme, že K patří k E , to znamená, že K obsahuje X a nezahrnuje x . Je zřejmé, že K obsahuje X . Pokud K sestávala z x , by měl obsahovat generátor část X ∪ { x } a G , a je tedy roven G celku, což je v rozporu s předpoklady o K . Tak, K patří k E a hypotéza M <K odporuje maximality z M v E . Tento rozpor dokazuje, že M je maximální podskupina G , proto protože M nezahrnuje x , existuje maximální podskupina G, která nezahrnuje x , což, jak jsme viděli, doplňuje demonstraci.

Vlastnosti podskupiny Frattini

• Frattini podskupina G je charakteristický podskupina z G .
  Odůvodnění. To snadno vyplývá z toho, že obraz podskupiny maximálně G podle automorphism G je opět maximální podskupina G .

• Nechť G je skupina, jejíž podskupina Frattini je konečného typu . (Toto je případ, například, pokud G je konečná .) Pokud H je podskupina G jako G = H cp ( G ), potom H = G .
  Odůvodnění. Protože Φ ( G ) je konečného typu, můžeme zvolit prvky x 1 ,…, x n, které generují Φ ( G ). Hypotéza, G = H Φ ( G ), naznačuje, že H ∪ {x 1 , ..., x n } je generátor G . Vzhledem k tomu, x n patří cp ( G ) a je proto zbytečné prvek G , to znamená, že H ∪ {x 1 , ..., x n - 1 } je generátor G . Postupně se čerpá, že H je generátor G . Vzhledem k tomu, H je podskupina G , to znamená, že H = G .
• Předchozí vlastnost zůstane pravdivá, pokud nahradíme hypotézu „Φ ( G ) je konečného typu“ hypotézou „G je konečného typu“: Nechť G je skupina konečného typu. (Toto je případ, například, pokud G je konečná .) Pokud H je podskupina G jako G = H cp ( G ), potom H = G .
  Odůvodnění. Předpokládejme, že H se nerovná celému G. Vzhledem k tomu, G je konečně generované, to znamená, že existuje maximální podskupina M a G obsahující H . Pak M obsahuje H i (podle definice Φ ( G )) Φ ( G ), takže M obsahuje H Φ ( G ), což je v rozporu s hypotézou G = H Φ ( G ).
• Jako příklad skupiny G , pro které není pravda, že pouze podskupina H z G tak, že G = H Φ ( G ), nebo G . Vezměme pro G skupinu, která není redukována na neutrální prvek a nemá maximální podskupinu. (Víme, že tomu tak je například v případě, že G je aditivní skupina racionálních čísel. ) Potom, podle definice Frattiniho podskupiny, Φ ( G ) je G celá, takže vztah G = H Φ ( G ) probíhá s H = 1 <G.
• Nechť G je skupina. Pokud je Φ ( G ) konečné (což se stává zejména v případě, že G je konečné), je nilpotentní.
  Odůvodnění. Jelikož Φ ( G ) je konečné, stačí dokázat, že je nilpotentní , a prokázat, že všechny jeho podskupiny Sylow jsou normální . Nechť P je podskupina Sylow of ( G ). Protože Φ ( G ) je v G normální , Frattiniho argument dává G = Φ ( G ) N G ( P ). Protože Φ ( G ) je konečný a tím spíše konečný typ, výsledkem předchozí poznámky je G = N G ( P ), jinými slovy P je normální v G, a proto také v Φ ( G ). Jak jsme viděli, znamená to, že Φ ( G ) je nilpotentní.
• Konečný skupina G je nilpotentní tehdy a jen tehdy, pokud Φ ( G ) obsahuje derivát G ' a G .
  Odůvodnění. Je-li skupina G (konečná nebo ne), je nilpotentní, jakýkoliv maximální podskupina M z G je normální v G a kvocient skupina je cyklická prvního řádu , a proto má tento faktor je komutativní, tedy derivát G ' je obsažen v M . To platí pro jakoukoli maximální podskupinu M z G , z toho vyplývá, že derivace G ' je obsažena v Φ ( G ).
  Předpokládejme nyní, že G je konečné a že Φ ( G ) obsahuje G '. Jako každá podskupina maximálně G obsahuje cp ( G ), každá podskupina maximálně G obsahuje G ' a je normální v G . Protože G je konečný, znamená to, že G je nilpotentní .
• Frattiniho podskupina konečné p -skupiny G se rovná G'G p . Kvocient G / Φ ( G ) je proto p - základní skupina abelian  (en) , to znamená, že se výkon z ℤ / p ℤ . Toto je Frattiniho věta .

Dějiny

Frattiniho podskupinu poprvé studoval Giovanni Frattini v roce 1885 v článku, kde zejména prokázal tvrzení ekvivalentní skutečnosti, že Frattiniho podskupina konečné skupiny je nilpotentní.

Poznámky a odkazy

1. Calais 1984 , s.  267
2. Luisa Paoluzzi, Interní matematická agregace, Skupiny , online .
3. Následující důkaz uvádí Scott 1987 , s. 1.  159. Viz také Calais 1984 , str.  267.
4. Scott 1987 , str.  160-161.
5. View (in) PM Cohn , Basic Algebra: Groups, Rings and Fields , 2003 prop. 2.6.2, s. 46, náhled v Knihách Google .
6. K tomuto tvrzení viz Scott 1987 , str.  162, prohlášení 7.3.14.
7. Následující ukázka viz Scott 1987 , s. 1.  162, druhá část dem. od 7.3.13.
8. Viz například (in) JS Rose, Kurz teorie skupiny , UPC ,1978( číst online ) , s.  266-267, teorie. 11.3.
9. (in) Joseph J. Rotman  (in) , An Introduction to The Theory of Groups [ maloobchodní vydání ], 4 th ed., Vydání z roku 1999, teor. 5,40, s.  117.
10. (de) Bertram Huppert  (en) , Endliche Gruppen , roč.  Já, Springer , kol.  "  Grundi." matematika. Wiss.  „( N O  134),2013( 1 st  ed. 1967) ( číst čára ) , str.  272, th. 3.14.
11. (It) G. Frattini, „Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni“, Atti della Reale Accademia dei Lincei , Rendiconti , série 4, roč. 1, s.  281-285 a 455-457.
12. (in) Hans Kurzweil  (de) a Bernd Stellmacher , Theory of Finite Groups, An Introduction , Springer,2004, 388  s. ( ISBN  978-0-387-40510-0 , číst online ) , s.  105 a 376.
13. (de) Evropská matematická informační služba , elektronický výzkumný archiv pro matematiku , databáze Jahrbuch .

• Josette Calais , Elements of group theory , Paris, PUF ,1984
• (en) WR Scott , Teorie skupiny , Dover ,1987, 2 nd  ed. , 479  s. ( ISBN  978-0-486-65377-8 , číst online )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">