p -skupina

V matematice a přesněji v algebře je p -skupina pro dané prvočíslo p skupina (konečná nebo nekonečná), jejíž každý prvek má pro řád mocninu p . Významným příkladem p -skupiny je Sylow p -subgroups z konečného skupiny .

Vlastnosti

Každá podskupina a jakékoliv kvocient z p -skupina je p -skupina.
Naopak, pokud H je p - podskupina odlišit ze skupiny G , a v případě, že kvocient G / H je p - skupina, pak G je p - skupina.
Z předchozího bodu můžeme vyvodit, že polopřímým produktem dvou p -skupin je p -skupina.
Omezenou součet rodiny (konečný nebo nekonečný) z p -skupiny je p -skupina.
Konečná skupina je p -skupina tehdy a jen tehdy, jestliže jeho objednávka je síla prvočísla p .
Ve skupině p je-li index podskupiny konečný, pak je tento index mocí p .
Jakákoli netriviální konečná p -skupina má netriviální střed ( triviální míníme redukovaný na neutrální prvek).
Jakákoli konečná p- skupina je tedy nilpotentní řešitelná .
Nechť G je konečná p -skupina řádu p n . Pro jakékoli přirozené číslo r menší nebo rovné n , G připouští alespoň jednu podskupinu řádu p r .

Demonstrace

Jakákoli podskupina a kvocient p -skupiny je p -skupina.

Ve skutečnosti má prvek podskupiny H skupiny G stejné pořadí v G a v H a pořadí obrazu prvku x konečného řádu podle homomorfismu (zde kanonický morfismus skupiny na kvocientu tato skupina) dělí řád x .

Pokud H je normální p -subgroup ze skupiny G , a v případě, že kvocient G / H je p -skupina, pak G je p -skupina.

Nechť x je prvek G , q pořadí jeho třídy v G / H , a r pořadí prvku x q (který patří do H ), pak qr je mocnina p a x qr = 1.

Konečná skupina je p -skupina právě tehdy, když její pořadí je mocninou prvočísla p .

Nechť G je konečná skupina řádu n . Předpokládejme nejprve, že n je síla p . Použitím Lagrangeovy věty rozdělí řád libovolného prvku G řád n na G, a je tedy mocninou p , takže G je p -skupina. Naopak, předpokládejme, že řád kteréhokoli prvku G je mocninou p a dokažeme, že řád n prvku G je mocninou p . Pro libovolného prvočíselného dělitele q z n , podle Cauchyho věty , G připouští prvek řádu q , takže q je síla p, proto q = p . Jediným možným primárním dělitelem n je tedy p , takže n je mocnina p .

V p -skupině G , je-li index podskupiny H konečný, je tento index mocí p.

Pokud H má konečný index, pak jeho jádro H G (tj. Průsečík jeho konjugátů ) také, takže G / H G je konečná p -skupina. Jeho pořadí [ G : H G ] je potom mocninou p, takže také [ G : H ] (který jej rozděluje).

Každá netriviální konečná p -skupina má netriviální centrum.

Nechť G je netriviální konečná p -skupina. Jeho pořadí je tedy nenulová síla p . Studie účinku konjugací z G na sobě poskytuje rovnici tříd . Umožňuje vyjádřit kardinála středu Z ( G ) v podobě:

Card (Z (G)) = Card (G) - \ sum _ {i} {\ frac {Card (G)} {Card (Z_ {i})}},

kde Z i jsou podskupiny G odlišné od G , takže součet indexovaný pomocí i je součtem nenulových mocnin p . Z toho vyplývá, že mohutnost Z ( G ) je dělitelná p, a proto se nemůže rovnat 1, což doplňuje důkaz.

Jakákoli konečná p- skupina je tedy nilpotentní řešitelná.

Jakákoli nilpotentní skupina je rozpustná, takže stačí ukázat, že G je nilpotentní. Dokažme to indukcí na n , přičemž pořadí G má být rovno p n .
Pokud je n rovno nule , je skupina triviální, proto nilpotentní.
Nechť n > 0 a předpokládejme, že vlastnost platí pro jakoukoli mocninu menší nebo rovnou n - 1. Nechť Z je střed skupiny, je rozlišovací a netriviální, takže G / Z je p-skupina objednat sílu p menší nebo rovnou n - 1 a je nilpotentní. Skutečnost, že G / Z je nilpotentní, ukazuje, že G je.

Nechť G je konečná p -skupina řádu p n . Pro jakékoli přirozené číslo r menší nebo rovné n , G připouští alespoň jednu podskupinu řádu p r .
Protože G je řešitelný, má každý kvocient sekvence G -Jordan-Hölderovy prvočíslo jako řád . Toto pořadí, dělení pořadí G , se musí rovnat p . Toto prohlášení jasně následuje. (Můžeme dokonce ukázat, že počet podskupin objednávky p r o G je shodné s 1 modulo p .)

Jakékoliv jiné než abelian konečný p -skupina má alespoň jeden non- vnitřní automorfismus řádu mocninou p .
Jakýkoli automorfismus p -skupiny G řádu p n indukuje automorfismus kvocientu G její Frattiniho podskupinou Φ ( G ) = G p [ G , G ] . Tento podíl je základní skupina abelian (en) ( ℤ / p ℤ ) d , jehož automorphism skupina GL ( d , F p ) , z řádu ( p d - 1) ( p d - p ) ( p d - p 2 )… ( P d - p d –1 ). Jádro z kanonického morfismu z Aut ( G ) do Aut ( G / Φ ( G )) má za účelem dělitelem p d ( n - d ) .

Poznámka: jakákoli skupina řádu p 2 je abelian . Ve skutečnosti, pokud Z je (netriviální) centrum takové skupiny G, pak G / Z je cyklické (kvůli řádu 1 nebo p ), proto je G generováno spojením Z a singletonu, takže G je abelian. (Je tedy buď cyklický, nebo produkt dvou cyklických skupin řádu p .)

Poznámky a odkazy

Poznámky

Tato definice je v souladu se Scottem 1987 , s. 91; Calais 1984 , s. 295; Rotman 1999 , s. 73; Hall 1976 , str. 45; M. Reversat a B. Bigonnet, Algèbre pour la license, Cours et cvičení corrigés , Dunod, 2000, str. 51. Na druhé straně N. Bourbaki , Algebra , sv. I, Paříž, 1970, kap. I, § 6, č. 5, def. 9, s. I.72, volá p -skupinu, pro dané prvočíslo p konečnou skupinu, jejíž pořadí je mocninou p . Tato definice Bourbakiho se objevuje také v (en) S. Lang, Algebra , Addison-Wesley, 1978, s. 2 a Perrin 1996 , str. 9.
Rotman 1999 , s. 76.
(de) Wolfgang Gaschütz (de) , „ Nichtabelsche $p$ -Gruppen besitzen äussere $p$ -Automorphismen “ , J. Algebra , sv. 4,1966, str. 1–2 ( číst online ).
(in) Philip Hall , „ Příspěvek k teorii skupin řádu nejvyšší moci “ , Proc. Lond. Matematika. Soc. , II, sv. 36,1933, str. 29-95 ( zbMATH 59.0147.02 ).
Tato vlastnost je standardním cvičením v učebnicích algebry, například Perrin 1996 , s. 34.

Reference

J. Calais, Elements of group theory , Paris, PUF ,1984, 3 e ed. ( ISBN 978-2-13-038465-6 )
(en) Marshall Hall, Jr. , Theory of Groups [ detail vydání ]
Serge Lang , Algebra [ detail vydání ]
Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detail vydání ]
(en) Joseph J. Rotman (en) , An Introduction to the Theory of Groups [ detail editions ]
(en) WR Scott, Group Theory , Dover ,1987( 1 st ed. 1964) ( číst řádek )

Podívejte se také

Související články

Heisenbergova skupina na F str
Skupina Prüfer
Sylowovy věty
Frattiniho věta
Tarski monster group (cs)
pravidelná p-skupina (v)
Pro-p-group (en)

Bibliografie

(en) Yakov Berkovich a Zvonimir Janko , Groups of Prime Power Order , sv. 1 ( ISBN 978-3110204186 ) a 2 ( ISBN 978-3110204193 ) , De Gruyter, 2008

Externí odkaz

Kurz skupinové teorie od N. Jacona z University of Franche-Comté