Mahlerova věta
Mahler teorém poskytuje analogický vývoj Taylorovy řady pro spojité funkce s hodnotami p -adic a jejichž variabilní nabývá hodnot p -adic. Věta byla prokázána Kurtem Mahlerem .
V kombinatorice představuje Pochhammerův symbol indexovaný faktoriál:
(X)k=X(X-1)(X-2)⋯(X-k+1){\ displaystyle (x) _ {k} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-k + 1) \,}.
Označíme si provozovatel rozdíl definované
Δ{\ displaystyle \ Delta}
(ΔF)(X)=F(X+1)-F(X){\ displaystyle (\ Delta f) (x) = f (x + 1) -f (x) \,}.
Takže máme
Δ(X)ne=ne(X)ne-1{\ displaystyle \ Delta (x) _ {n} = n (x) _ {n-1} \,}to znamená, že spojení příbuznosti mezi operátorem a touto posloupností polynomů je analogické se spojením mezi skutečnou diferenciací a posloupností, jejíž n- tý člen je .
Δ{\ displaystyle \ Delta}Xne{\ displaystyle x ^ {n}}
Příkaz - Pokud je spojitá funkce s p -adickými hodnotami a jejichž proměnná přebírá p -adické hodnoty , pak
F{\ displaystyle f}
F(X)=∑k=0∞(ΔkF)(0)k!(X)k{\ displaystyle f (x) = \ součet _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(\ Delta ^ {k} f) (0)} {k!}} (x) _ {k} \,}.
Na rozdíl od řady se složitými hodnotami, kde jsou podmínky velmi omezující (viz Carlsonova věta (en) ), potřebujeme pouze kontinuitu.
Pokud je polynom s koeficienty v každém komutativní oblasti z charakteristických nulu, identita zůstává v platnosti.
F{\ displaystyle f}
Poznámky a odkazy
(fr) Tento článek je částečně nebo zcela převzat z článku
anglické Wikipedie s názvem
„ Mahlerova věta “ ( viz seznam autorů ) .
-
(in) K. Mahler , „ Interpolační řada pro spojité funkce p-adické proměnné “ , J. Reine Angew. Matematika. , sv. 199,1958, str. 23–34, Matematický Recenze odkaz
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">